В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Удобнее это делать,однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис. 10.5). Обозначив через Р осевую равнодействуюшую внешних сил, йв получим а,„2ятйипд = Р. (10.2) Рис. 10.0 Отсюда легко найти меридианальное напряжение а,н. Таким образом, согласно безмоментной теории, напряжения а и а~ в оболочке можно определить из уравнений равновесия. Третье главное напряжение — напряжение надавливания между слоями оболочки — предполагаем малым, и напряженное состояние оболочки считаем двухосным. Действительно, наибольшее значение радиального напряжения по абсолютной величине равно нормальному давлению р, в то время как ае1 и сг~, согласно уравнению Лапласа, имеют значения порядка Рр,а(И и РР~/Ь. Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета с использованием безмоментной теории, докажем две следующие теоремы.
Т е о р е м а 10.1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р на плошадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси.
Положим, задана поверхность Г (рис. 10.6), на которую действует равномерно распределенное давление р. Требуется определить проекцию на ось х равнодействующей сил давления. Эта проекция Р будет, очевидно, равна Р = рсоз~оЫР, Г где у — угол между нормалью к поверхности и осью х. ПлоРис. 10.0 шадь проекции элемента НГ на плоскость Х, перпендикулярную к оси х, равна ИГ' = ИГ соз ~р, Следовательно, Р =р ИГ'=РР'. Р Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующей сил давления на ось х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость Х, а затем умножить давление на площадь этой проекции, что и требовалось доказать. 400 Т е о р е м а 10.2.
Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (рис. 10.7), то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Рис. 10,7 Вертикальная составляющая сил давления для площадки ИГ, согласно теореме 10.1, будет равна произведению давления, действующего на эту площадку, на проекцию площадки на уровень жидкости, т.е. рНГ'. Так как р = ух, где 7— плотность жидкости, то вертикальнал сила, действующая на площадку НГ, будет Тя йг '. Но х ИГ' — объем элементарной призмы, расположенной над площадкой Н'. Суммарная искомая сила будет, следовательно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью Г.
Поясняя полученный результат, следует указать, что найденная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость. Так, во всех трех случаях, представленных на рис. 10.8, сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же, Рис. то.в 4ат равной весу жидкости в объеме вышерасположенного цилиндра АЗССР. Рассмотрим некоторые примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах.
П р и м с р 10.1. Сферическая оболочка радиусом гь я толщиной Л находится под деиствием виутреивего давления р (рис. 10.9, а). Определить иапряжевия, возиккающке в оболочке. а Рмс. 10.9 для сферическом облочки роз м рз = В. Из условия полкой симметрии следует ам = щ. Согласно формуле Лапласа (10.1), имеем рд ою —- аг = —.
2Л ' Напрямевиое состояиие является двухосиым (рис. 10.9, б), поэтому рд щ =ог= —. 2Л Наимепьшее иапряжеиие аз принимаем равным пулю. По теории Мора, иезависимо от величииы Л, рд емм = из Лез = 2Л (10.3) П р и и е р 10.2. Цялиидрический сосуд (рис. 10.10, а) иаходится под действием виутревиего давлепяя р. Радиус пилиидра Я, толщииа Л. Определить папряжеиия. 011' ) ° 4 ~Р е Рис. 10.10 402 Отсекаем поперечным сечением часхь цклиидра (ркс.
10.10, 6) и составляем для пее уравненке разновеска (10.2): ег» 2кЯЬ = Р. Осевая составляющая снл давления, незавксимо от формы днмша, сагласяо теореме 10.1, будет ранив Р = хрх~р. Таким образом, рВ е»г = — ° 2Ь' Пля цилиндра Лм = со, Ш = В. ПОэтОИ)" вз формулы Лапласа (10.1) находим рВ а1 --— Ь ' т.е. окружное напряжемие оказывается вдвое ббльшнм меркднанального. Элемент АВСР, выделенный из цилиндрической оболочхп, находится в двухосном напрвягенном состоямии (рнс. 10.10, е): а1=Ш; аз =а»; аз =0 Эквивалентное напряжение рЯ о...
= ш — Ьаз = —. Ь (10.4) Пля цилиндра, ках видим, эквивалентное наиряженме оказывается в два раза ббльшим, чем для сферической оболочки тога же радиуса и том же толщины. П р и и е р 10.3. Полусферический сосуд радиусам Л н толшмной и (рис, 10.11, о) заполнен жкдкастью, платность которой т. Определить напряжение в сосуде н построить эпюры е»„Ш и о,„,. Рис. 10.11 Нормальным коническим сеченмем с углом 2р прк вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки (ркс. 10.11,, 6) и составляем для нее уравнение равновесмя (10.2), где Р— равнодействующая сила давления жидкости. Согласно теореме 10.2, сила Р равна весу жмдкостм в объеме, расположенном выше отсеченной части оболочки. Введем вспомогательный угол 4г н определнм объем АВСЕЮ (см. рнс.
10.11, 6): 1« = / 2зггз ма 4«созе «Эе«й, е нлн К = — з«2з(1 — соз Эз). 2 з 3 Тахнм образом, находнм Р м — ХЯЭ 7(1 — СОЗ ЭЗ); 2 3 3 7В~ 1 — сове «з е»« —— (10.5) ЗЬ жпэ э« Обра«даемся теперь х уравкенюо Лапласа (10.1): Р» = Р« = ««~ Р = 7~сов«э. Подставляя а»«, нахаднм нэ этого уравнения 7лз ( 1 — сое «Р « а« = — Зсозе«вЂ” зл ~ мв Ч« (10.6) Согласно вырав«епням (10.3) и (10.б), строим зпюры а»«н «г«, представленные на рнс. 10.12.
Как видим, напряжения о»«п е«в нпжней точке сферы равны. В верхней точке а«пмеет отрицательное значение. Там, где е и е«будут одного знака, имеем е« вЂ” — ещ, ез = е«, «гз = О с,«« = ૠ— йпз = е». Там, где е»«н е«имеют разные знаки, е« = е»«« еэ = О, ез = е«, о,„, = «г» — йе«. Эпюра эхвнвелентного напряжения (см.
рнс. 10.12) имеет, таким образом, нэпом в точхе, где е«меняет знак. Если Й > 1/2, расчетное напряженке для сосуда равно е,„*," = — (1+ й), За где по-прежнему й = пг р/а«.«. Ф Т~ «(в — /1+1! угг ,В Рис. 10.12 404 Нвлпчме в верхней части сосуда напрюкеннй сжатия а» является в данном случае вполке закономерным. Меридианальное напряжение а,э в заме закрепления является, ачевндно, растягивающмм. Так как давлемке р здесь мало, та равновесие выделенного эяемента (рис. 10.13) возмоя»на тольхо прм сжммаюшсм окружном иапряженвм э». Если бы сосуд был закреплен в нижней частм, та это явление пе имела бы места, поскольку ва верхней кромке а»э размялось бы нулю, Рис.
10.13 Рис. 10.14 Возияхмовенме с»кммающкх ыапрюкенкй и» прп внутреннем давленым свойствемно ме только сфермчесяому сосуду, Например, в цилиндрическом баке, заполненном жкдиастью (ркс. 10.14), в зоне перехода от пнлиыдрмческай части к днищу также могут возмнкать прм определенных уславмях сжммаюшме напра»кения. Чтобы оболочка не теряла устойчмвость, ее необходимо в этом месте укреплять. П р м м е р 10.4. Определить напря»кения в торообразном баллоне, нагруженном внутреннмм давленмем р.
Размеры баллона даны ыа рис. 10.15, а. Выделим сеченными, нормальными к поверхности, часть торообрээыой оболочхи (рмс. 10.15, 6). Составим для нее уравнение равновесмя м определим»гю» ээ» 2 я Л (а + 21 ив»э) э! п»з = ря ((э + Я з!п»э) — а ]; РИ 2а+ Нв!пм аэ» =— 2Л а+ Яма з» Обращаясь к уравыеыию Лаыласа (10.1), получаем а+ Яэ!пе» Р» = е»п и Рэ» = и; Подставляя рэ„р» и а;„в уравнение (10.1), находим а» = рМ/2Л. 406 Рмс. 10.10 Наибольшее напряженке аж возвихает во вмутрепмих точках торообраэмой оболочки прм ф = -я/2: ргг 2а — гг 2Л а — и Так как напряжения е,„'" и а~ имеют общий знак, то рА 2а — Я аз я=от 2Л а — Я (10.7) 1().3. Изгиб круглых симметрично нагруженных пластин Выше было рассмотрено растяжение оболочки, не связанное с ее изгибом.
Теперь рассмотрим случай изгиба, не связанного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примере изгиба пластин. Теория изгиба пластин представляет собой детально разработанный раздел прикладной теории упругости. Ниже мы остановимся только иа простейших задачах этого раздела. 406 В частном случае, прм а ж О, тор обращается в сферу и выражение (10.7) совпадает с выражемкем (10.2), получемкым для сферы. Прм а ж оо тор обрагдается в пмлипдр.
Тогда выражепяе (10.7) совпадает с вырыкепием (10.4). Прм а = Я периметр внутреннего круга обращается в нуль и Под действием внешних сил, перпендикулкрных к срединной плоскости, пластина меняет свою кривизну. Это изменение кривизны происходит, как правило, одновременно в двух плоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая упругая поваркивать. Форма упругой поверхности характеризуется законом изменения прогибов пластины. При расчете пластин считают, что прогиб ю существенно меньше толщины пластины Й.
Именно в этом предположении можно изгиб пластины рассматривать независимо от растяжения. Пластины, удовлетворяющие этому условию, называют иногда тонкими плитами. Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной, рассчитывают с учетом растяжения срединной поверхности. Теория изгиба пластин и оболочек основана на некоторых упрощающих предположениях. Первым из них является преп- положение о иеизмемиосгаи нормали, или так называемая гиаоп~еза Кирхгофа. Принимается, что точки, расположенные на некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до деформации, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности. Такое предположение, как и гипотеза плоских сечений стержня, выражает тот факт, что угловыми деформациям оболочек можно пренебречь по сравнению с угловыми перемещениями.
Это приемлемо в той мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с другими ее размерами. Будем, палее, считать, что нормальные напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с изгибными напряжениями, т.е. нада- вливание между слоями пластины отсутствует. Аналогичное допущение принимали ранее при выводе формул поперечного изгиба стержня и при исследовании напряженного состояния оболочек по безмоментной теории. Перейдем теперь к определению напряжений в круглых пластинах. Рассмотрим пласткну, имеющую постоянную толщину а, нагруженную силами, симметрично расположенными Ркс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
