В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 56
Текст из файла (страница 56)
10.30). При этом Йй — = д. ~Ь Перемещение ю будем отсчитывать от оси цилиндра. Относительное удлинение с отрезка АВ (рис. 10.31), расположенного на расстоянии з от срединной поверхности, складывается из двух составляющих: из удлинения к0 срединной Я23 поверхности и удлинения, обусловленного искривлением образующей цилиндра, Последнее слага емое имеет вид яИд/~Ь. Полное удлинение слоя АВ будет Нд . с, = со + у —. (10.30) Ых Удлинение в окружном направле- нии су - -пг/Я. (10.31) Рис.
зо.зз Этим удлинениям соответствуют напряжения ак и сгу, связан- ные с ними законом Гука: Е Е аф = — 2 (ек + /геу); ау = — (уу + фяк), 1-ф 1 — /г2 нли, согласно выражениям (10.30) и (10.31), Г / пг Ю~ а = — ~со+,и — +я — ); ,г~, о я /' Е / И Ид'1 ау = ~ ого + — + /гк — /' . гак! (10.32) Рассмотрим элемент цилинпрической оболочки с размерами Нк н г/у (рис. 10.32). Нормальные силы в площадках Ь Ыу н ЬНх, отнесенные к единице дуги сечения, будут +Л/2 +Л/2 /'г' = а Ыг; -Л/2 -Л/2 В сечениях цилиндра (иак осевых, так и поперечных) возникают изгибающие моменты и нормальные силы. Их определяют через напряжения ак и ау, аналогично тому, как это делали для круглой пластины.
Рис. 10.32 Определим в этих же сечениях изгибающие моменты +Ь/2 +Л/2 Ме = пяя Н»; Мя — — пяг Ыя. -е/2 -Л/2 Учитывая выражения (10.29) и (10.32), запишем силы г/, и Фю моменты М и Мя в зависимостк от перемещения ип ЕЬ / в'1 ЕИ /е д/ = — ~се+р — ~~ 1ук= — ~ — +/зло, (10.33) г 1, 12~" 2=1 2 ~В ,12ю,12 М,= —; М =рв —, ~/яз ' " ~Ь2 ' Ейз 12(1 — ~2)' Теперь обратимся к уравнениям равновесия. Снова рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами Ь, Йх, оу и к его граням приложим равнодействующие силы и моменты, которые равны произведению Фэ, .г/я и Мэ, Мк на пу и Их соответственно (рис.
10.33). Кроме четырех перечисленных силовых факторов, прикладываем поперечную силу Я Ыу. Внешние силы характеризуются давлением р = р(х). При переходе от грани с координатой х к грани с координатой х + Нх силы получают приращения. В осевых сечениях по свойствам симметрии силовые факторы остаются одинаковыми. Проектируя силы на ось цилиндра, получаем первое уравнение равновесия ИФя = О, Ф~ = сопзг. нлн Щ 7Уя — ж р — —, Их В' Наконец, третье уравнение равновесия составим, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси, касательной к дуге нормального сечения (на рис. 10.33 это ось у): Я Ирах = НМ Ну, (10.35) Это значит, что осеввл сила определяется условиями нагружения цилиндра на торцах.
В дальнейшем будем считать эти условия заданными и силу Же — известной. Проектируя силы на направление радиуса, получим второе уравнение равновесия — Р7я Нх — — Й~ НУ + Р Ых НУ = О, Ну откуда (10.36) ИМ Их Остальные уравнения равновесия вследствие симметрии удовлетворяются тождественно при любых значениях действуюших усилий. Теперь преобразуем полученные уравнения. Из уравнений (10.33) исключаем ее, а из (10.35) и (10.36) — поперечную силу Я. В результате получим Ей Жк — — — ге + РР7„ (10.37) У вЂ” *=р- —. ~1хэ я Исключаем из этих уравнений Ля. ~РМя ЕЬ,и =Р ю 51х. ь1я3 = Р3 и Наконец, воспользовавшись первым выражением (10.34), прихоцим к уравнению относительно опного неизвестного — перемещения еп (10.38) где (10.39) Как виним, решение рассматриваемой запачи сводится к цифференциальному уравнению (10.38), которое было получено для изгиба стержня на упругом основании (см.
3 4.7). Родственность этих задач несомненна. Цилиндрическую оболочку можно рассматривать как совокупность совместно изгибающихся полосок, связанных между собой упругими силами (рис. 10.34). При симметричном нагружении все полоски изгибаются одинаково, и радиальная составляющая сил Лз в каждом сечении, как и для стержня на упругом основании, пропорциональна местному прогибу и. Рис. 10.34 Если уравнение (10.38) решено и функция ш найдена, то по формулам (10.34) определяем моменты Мз и М„из уравнения (10.37) — силу Лю а из (10.36) — поперечную силу ,1з, Я= —, Дяз (10.40) Наибольшие напряжения находим по формулам (10.32) при г = +И/2 илн г = -/в/2: Исключив отсюда при помощи выражений (10.33~ и (10.34) величины (ев + рш/1в), (,иев + а/л), а также и ш/пхз и и И~в/Их~, находим й1в бМ, Л~.
8юв Ь /вз ' в т Ьз Таким образом, через перемещение ш мы выразили внутренние силы, а затем и напряжения. Решение уравнения (10.38) имеет вид ш = е ~~(С1 в1пах+ Сз сов йх)+ +е+ *(Сзв1пйх+Свсовйх)+и'. (10.42) где и' — частное решение, которое находится в зависимости от закона изменения р вдоль образующей. Лля опрепеления четырех постоянных необходимо задать четыре граничных условия к затем решить систему из четырех уравнений.
В большинстве случаев эта система оказывается, как говорят, слабо связанной и распадается на две системы из пвух уравнений. С достаточной степенью точности постоянные С1 и Сз можно определить независимо от постоянных Сз и С4. Объясняется зто тем, что слагаемые, входящие в функцию (10.42), имеют различный характер. Первое слагаемое представляет собой быстро затухающую функцию, второе — является функцией быстро возрастающей. Если длина цилиндра 1 достаточно велика, и функция е «*(С1 в1пля+ СЗ сов их) прн значениях х, близких к 1, принимает исчезающе малые значения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрестности второго торца не зависит от условий в окрестности 423 первого.
Таким образом, для достаточно длинного цилиндра имеется возможность проанализировать нцлряженное состояние в области малого *, пренебрегал возрастающей функцией е+й*(С3 вгп)гх + С4 созйх), т.е. полагал Сз = С4 = О. Точно так же, полагал С1 = Сз = О и сохраняя только возрастающее слагаемое, можно проанализировать напряженное состояние цилиндра при значениях х, близких к П Применение выведенных формул рассмотрим на конкретном примере. П р н м е р 10.9.
Длинная цилнндрнческав труба, нмеюшая на конце месткнй фланец, нагружена внутренним давлением р (рнс. 10.35). Требуется определить изгнбные напрямеккя в окрестности фланца. Рмс. 10.30 Будем считать, что осевая растягиваюшая сила Фе равна нулю. Так как давление р от я не зависит, частное решение уравнения (10.38) имеет вид ш Р 4«'Р' Подставим ш' в выражение (10А2): ш = е «~(С1 з1п «я+ Сз соя «я)+ а+ е(Сз юп«я + Сз сов «я) +— 4«зВ Прн достаточно большом значении я перемешеиве ш доямко быть, очевидно, величиной постоянной.
Этому условию явно противоречит наличие слагаемого е+ «*(Сз з«п «я + Сз соз «я), которое неограниченно возрастает с ростом я. Из возннкаюшего затруднения легко выйти, полагая Сз = Сз = О. Тогда ш= е «*(Сга(в«я+С«сов«я)+— 4Й«0' 420 Постоянные Сг н Сэ полберем так, чтобы в начале ото ыта х, т.е. в месте сопрюкенкя цилиндра с жестким фланцем, перемещение и п угол поворота еи/ех обращалнсь бы в нуль. Тогда получаем Сг =Се = — —; им — [1 — е (в!пйх+совйх)1.
Р, р ! -зх йй )У' и 43 Ю 1 Так как 43~ = ЕЬ/(гь~!1), то и = — [1 — е (з!и йх + соз йх)~. ряс ! Зе ЕЛ 1 (10АЗ) График этой функнки покзлаи на рис. 10.36. Рнс. 10.30 При достаточно большом х функция и принимает вид ог и = —. ЕЛ ' (10А4) йх > 3,34, 430 Нетрудно установить, что зто ие что нное, как увелячение радиуса цилиндра прк свободном растяжении в окружном нанравленкк. В самом деле, при нагругкенки внутренним давлением в цилиндре, как мы вкделк в предыдущей главе, возникает окружное напряжение ег = рд/й. Соответствующее удлинение ег = рл/(ЕЬ).
Чтобы определить увеличение радиуса цклиндра, следует умножить г~ иа Я, в результате чего пркхаднм к выражению (10А4). На основании выражения (10.43) легко проследить, сколь далеко вдоль образующей распространяется влияние эзгцемления у фланца. Если довольствоваться точностью в пределах 3 34, то можно сказать, что эона влияния простирается примерно до такого значения х, при котором е *(э!лйх+сояйх) (0,0$. Сумма з!цйх+созйх не может быть больше эГ2. Следовательно, е х < 0,033, откуда илн, согласно выражению (10.39), г,т% » и,г»т ч'-~ч Таким образом, зона влияния краевого защемлеиия распространяется на участок цилиндра длкной 2,7згг»й. За превавами этой зоны можно считать, что напрюкеиия с достаточной для практическкк целей точностью соответствуют безмоментнои теории.
Величина зг'дй обычно мала по сравнению с длиной цялиндра, и поэтому изгкбкые напркзгения носят явно выраженнык местный характер. Эта особеияость распределения напряжений около контура является общей для оболочек вообще и носит название краевого эффекгаа. Пользуясь формулами (10.34) и (10.43), определим изгибающий момент М». М» — — 2Р— й е (соя йх — в1пйх) Ря з -ь» ЕЛ или и.- .- ( ь-».ь).
ВЬ ~о — ~ч Эпюра М» изображена иа рис. 10 36. Наибольшее значенке изгибающнк момент имеет в заделке: рЯЛ зп-РГ Поскольку № = О, меридиоиальиое напряжение к», согласно формуле (10.41), принимает значение е ри 3 рН ге 1,82 —. = ь „ел:п1ц" ь' Изгибное напряжение в меридиональном направлении оказывается в 1,82 раза больше расчетного напрюкения по безмомеитной теории. Краевой эффект, как видим, приводит к заметному повышению максимальных напряжений. Еще более резкое повышение напряжений имеет место в зоне сопряжения оболочек, например, цилиндра, соединенного со сферическим днищем (рис.
10.32, а). здесь, как показывают подсчеты, при одинаковой толщине оболочек местное эквивалентное напряжение г я л )/Х. Это напряжение уже по порядку величины больше того, что дает безмоментная теория. С тем, чтобы снизкть краевой эффект, в зоне сопряжения Рнс. 10.37 делают плавные переходы, как это показано, например, на рис. 10.37, б. В этом случае напрзменпе изгиба заметно снимаетсэ. По подсчетам нэ- =0,145 — —, рй В Ь р' что не дает заметногб отличив от напрюкеннй, определенных с использованием беэмоментной теории. Из всего сказанного не следует делать вывод о неприменимости безмоментной теории в случаях, когда в оболочке имеется краевой эффект.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
