В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Усвоить приемы определения предельных нагрузок проще всего путем решения конкретных задач. Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 11.7. Определить разрущающую нагрузку для трех- стержневой системы (рис. 11.30) при условии, что диаграмма растюкения для стержиек имеет участок упрочнения и разрушение ироисходнт при напряжении е, (см. рис. 11.30). Рис. 11.30 Уравнение упругого участка диаграммы имеет вид а = Ее. Лля участка упрачнення е — е» = Р(е — е„). За разрушающую пркмем ту нагрузку, ири которой разорвется средний стержень.
Это произоидет тогда, когда удлкнеиие аз станет равно е,. Определим, какое удлинение е1 будет иметь прк этом каждый из боковых стержней: с»11 = гз1зсояо. Учитывая, что П вЂ”вЂ” 1/совр, получим я1 = сз соз о. 2 Таким образом, к моменту разрыва среднего стержня боковые будут иметь удлинения е~ — — е,соз о. напряжения при этом будут: 3 в среднем стержне аю а в боковых — либо е1 = е + Р(е,соз а— 3 — с,), если с, соя а > е„либо же е1 = Ее, соз о, если с,созз о < 2 3 < Е Предельная нагрузка Ррр»я — — е»г' + 2е1Гсоя о. Подставляя ео находим Р„...
= е,г'+ 2а»г" сова+ 2гй(я, соа о — я») сова еб7 прм с, созз а > с, или рм = л Р+ 2Есс соя а з при с,соз а < с 2 П р и м е р П.б. Определить предельную нагрузку для скстемы, показанной на рпс. 11.31, а. Горизонтальный стержень предполагается жестким, а вертикальные имеют одкнаковое поперечное сечение и сделаны из одного к того же материала, диаграмма растяжения которого дана па рмс.
11 31, б. Рис. П.31 Если постепенно увеличивать силу Р, то усилкя в стержнях будут увеличиваться. Прн некотором значении силы Р в стержне 1 или же в стержнях Я к 4 напряженке станет равно а,. Однако эта сила еще не будет предельной. Предельной является та, прк котором заметные пластические деформации возникнут и в стержне й. Тогда система превратится в механизм и гормзонтальнык стержень хак жесткое целое повернется относительно точки А или В (относительно ханой — это будет выяснено в дальнейшем).
Половсмм сначала, что предел текучести достигнут в стержнях 1 и й. Тогда, взяв сумму моментов всех сил относмтельмо точим В (рнс. 11.32, о), Рис. 11.32 определяем предельную нагрузху. В этом случае 2 с Г 2е+ с'эГа м Р,р,„- а, 3 436 откуда 9 Ррр р орГ. 2 Лапустмм теперь, чта предел текучести достигнут в стержнях 3, 3 м 4. Определяеы сумму моментов откосмтельно точки А (рмс. 11.33, б).' 4 а Г ° 4а+ орГа = Р„р„— о, 3 ' откуда 3 Р рвр = — арГ(1 + 4 сора).
4 Из двух полученных значений Р,р,р выбираем меньшее. Прв любых углах а меньшим будет второе змачекие Р,рео П р и м е р 11.9. Определить предельную нагрузку для стержня, пг» казаннага ма рнс. 11.33. Поперечное сечение — прямоугольное. Диаграмма растяжения имеет участок с идеальной пластичностью. Рис. 11.33 Пля решения задач таяага типа следует ввести понятие пластического шарнира.
Рассмотрим процесс распространения зоны пластмческмк деформаций в стержне прн увеличении нагрузкм. Пластические деформации появятся сначала н точках, расположенных у верхней м нижней поверхмостей в наиболее напряженных сеченкях. Зоны пластических деформаций (прк некотором значекии силы Р) ма ркс. 11.34 заштрихованы. Па мере раста Рис.
11.34 нагрузки этк зоны расширяются. В качестве предельного можно рассматривать случай, когда в некотором сечении, где имеет место наибольший нзгмбаюший момент, эти зоны сомкнутся, как это показано пунктиром на ряс. 11.34. Все сечение будет охвачено тогда пластической деформацкей, и изгкбающий момент в нем достигнет предельного значенкз М,р. Как уже было установлено в 3 11.3, дла прзмаугольнаго сечение 2 Мрр егЬА 4 Изгибающий момент не может стать больше предельного.
Сечение, в котором возник предельный момент, можно унодобкть шарниру с постозниым моментом трении. Такой шарнир носит название пластического шарнира. Очевидно, если в стерзане или раме возшинет несхолько шарниров, система может стать механизмом. Возвращазсь к рассматриваемому стержню, обнаруживаем, что его предельное состозние характериэуетсх вознкхиовеннем трех пластических шарниров (рис. 11.33). Из условия равновесия половины стерж- Нпр Ндр нз находим' Р,р — — —, (11.23) 4М,р или Ьйз Р р Рмс. 11.35 С Рнс. 11.3б 460 В дополнение к рассмотренному примеру на рис. 11.36 показано несколько статически неопределимых систем н соответствующих им шарнирных механизмов. 1 Р .Пля систем, показанных ка рис.
11.36, о-е, соответственно имеем гм, /+а Фея = 1а 1 — а Рея = ЗМяр/1; Рая - -4Мая/й Рал ы 2М я/1; Расстояние а подбираем нз условия махснмума изгибающего момента в шарнирах А. Полагал, что на расстоянии в от опор поперечная сила Я равна нулю, находим При изменении формы поперечного сеченкя в полученных выражениях меняется только М,р,а. П р и м е р 11.10. Определить Мер, для круглого и треугольного поперечных сечений. Рис. 11.37 В обокх случаях зона пластичности охватывает все сечение (рис.
11.32), н предельный момент представляет собой момент снл, выражающихся через постоянное напряжение е,. йз ге зз Лля круга Мгр — — 2а, — с. Тах хак с = —, то Мер — — — ' 6 31г' б Пля треугольного сеченкя сначала необкодимо найти положение оси раздела, т.е. высоту йг. Ее определяют из условия равенства нулю нормальной силы в сечении или равенства площадей верхней растянутой и нижней сжатой зон. Предельный момент равен сумме моментов сил в обеих зонах: 11.6. Основы теории пластичности До сих пор мы имели дело с простейшими видами напряженных состояний.
Мы рассматривали либо одноосное растяжение или сжатие, либо чистый сдвиг. При этом характеристика материала для соответствующего напряженного состоя- 461 ния считалась заданной, и в этих условиях решение задачи не встречало принципиальных трудностей. Если перейти к более сложным задачам, то прежде всего возникает вопрос, как при других напряженных состояниях связать аналитически напряжения и деформации, а главное, как по результатам испытания образца на растяжение перейти к зависимостям сложного напряженного состояния.
В пределах упругих деформаций этот вопрос решить сравнительно просто. При растяжении справедлив закон Гука в простейшей форме: Лля сложного напряженного состояния имеем линейные соотношения обобщенного закона Гука: 1 'туз с* = ~, (ггя И(оу + ггз))~ 7уз = с ~ 1 ~*х Гу — — — [ггу — П(гг, + ггя)), 7ге = —; (11.24) те у г, = — (гг, — И (гге + гту)], Условия перехода нз упругого состояния в пласткческое могут быть определены по критерию пластичности. Как мы уже знаем, в настоящее время имеется несколько критериев перехода нз упругого состояния в пластическое. Наиболее приемлемыми являются: теория Мора, вытекающая из нее в частном случае гипотеза максимальных касательных напряжений н гипотеза энергии формонзменения.
Наиболее удобной для нахождения соотношений пластичности является последняя. По этои гипотезе переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина гг ! 2 +б (тз, + тз + т2у), (11 2б) называемая енгпенсиеносгпью напрязгсение, достигает предела текучести. 462 В упругом состоянии интенсивность напряжений о; может быть выражена при помощи соотношений (11.24) через деформации. Тогда после преобразований получаем за о,=Š— х 2(1+ р) Х (Су Ся)2 + (Сг Сз)2 + (С Су) + (7уУ + 7За + 4у) Обозначим е; = (яу еу) + (еу ея) + (са еу) + Л' 2(1+ д) 3 2 3 2 + (7ум + 7~с + 7~ау) (11.26) и будем называть эту величину иигпенсиеносшью деформаций.
Для упругого состояния справедливо следующее соотношение: (11.27) Это выражение можно рассматривать как одну из форм обобщенного закона Гука. Теперь надо решить, как будет выражаться связь между компонентами напряжений и деформаций в пластическом состоянии. Определение этих соотношений и решение на их основе ряда задач механики сплошных сред составляют содержание теории пластичности. Зависимости между компонентами напряжений и деформаций в зоне пластичности должны быть, очевидно, построены так,чтобы при упругих деформациях искомые соотношения переходили в соотношения (11,24). Но этого мало.
Нужно, чтобы из тех же выражений как следствие вытекал принятый ранее критерий пластичности, т.е. в данном случае критерий энергии формоизменения. Тогда искомые соотношения пластичности будут представлять собой логическое расширение установленных ранее закономерностей. Для законов пластичности удобно избрать ту же форму написания, что и для законов упругости. Так, вместо того чтобы явз писать а = Дя), где Де) есть функция, заданная графически диаграммой растяжения, можно написать ~т = Е'е, 11,28 ) где Е' рассматривается как функция деформации е.
Из диаграммы растяжения (рис.11.38) видно, что Е' = о/е. Прн упругих деформациях у' = у, Е' = Е (см. рис. 11.38). Рнс. 11.38 4В4 При переходе к сложному напряженному состоянию весьма заманчиво выглядит перспектива обобшить таким же образом и соотношение (11.27), приняв и; = Е'к;, (11.29) где Е' снова рассматривается как переменная величина, а соотношение (11.29) сохраняется единым для всех видов напряженного состояния.
При упругих деформациях выражение (11.29) принимает внд (11.27). Переход же упругого состояния в пластическое характеризуется равенством а; = ат. Согласно выражению (11.25), мы приходим, таким образом, к гипотезе энергии формокзменения. Многочисленные эксперименты, поставленные для проверки высказанного предложения, показали, что оно является правильным для весьма широкого класса задач. Таким образом, было установлено, что вид функции (11.29) определяется в основном свойствами материала и почти не зависит от типа напряженного состояния.
Это положение является первым (исходным) положением теории пластичности. Вторым положением теории пластичности является условие, что изменение объема е=я, +як+к, остается чисто упругим. Это хорошо согласуется с экспериментами. При всех достижимых для современной техники давлениях не упалось с помошью всестороннего сжатия вызвать в материале пластические деформацик.
При деформировании материала пластические деформа; ции, как правило, заметно больше упругих. Так как е является велкчиной того же порядка, что и упругие удлинения, то обычно принимают, что при пластическом деформировании объем меняется незначительно. Тогда прн выводе формул, связывающих компоненты напряжений и деформаций в пластической зоне, принимают ц = 1/2. Теперь составим искомые соотношения. Прежде всего отметим, что при опноосном растяжении, когда о =о, ок=т,=тя,— — та=тля — — О, ся -= с, гк — ея = — рс, 'уя~ = узз = 'гяя = О интенсивность напряжений оз и интенсивность деформаций с, обрашак>тся соответственно в о и г. Значит, выражение (11.29) перехопит в (11.28), а зто есть аналитическое выражение кривой обычной диаграммы растяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
