В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Кроме указанного, рассмотрим случай, когда сг = О, как, например, для цилиндра, показанного на рис. 9.б, б. Возвращаясь к формулам (9.7), определяем постоянные А и В из следующих граничных условий: аг = -ра при г = а; ггг = — рь при г = Ь, т.е. В В А — — =-р А — — =-рь а 2 а1 Ь 2 В итоге вместо (9.7) и (9.8) получаем р,а — рЬЬ а2Ь ра — рЬ (9.10) ь Ь2 а2 12 Ь2 а2' 1 — р раа2 — рьЬ2 1 + и а2Ь2 ра — рь и и = — т+ — — — — — ав (9 П) Е Ь2 — а2 Е т Ь2 — а2 Е Наличие осевого напряжения а сказывается только на радиальном перемещении и.
В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то, согласно выражениям (9.9) и (9.11), получаем 1 — 2р р а — рьЬ 1+ьв а Ь рв — рь 2 2 2 2 и= т + — — —. (9.12) Е Ь2 — а2 Е т Ь2 — а2 Если осевая сила отсутствует, то 1 — ьь реа — рьЬ 1+и а Ь ре — рь 2 2 2 2 и = т+ —— Е Ь2 — а2 Ь2 а2' (9.13) Теперь рассмотрим два частных случал.
Цилиндр нагружен внутренним д а в л е н и е м. В этом случае р =р, рь=0. формула (9.10) принимает вид (9.14) !3 В. И. Фвовавьсв На рнс. 9.7 показаны эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением. Окружное напряжение, как и следовало ожидать, является растягивающкм, а радиальное — сжимающим.
У внутренней поверхности о1 достигает наибольшего значения: 62+ 2 ~(г=я) Р62 е2' Радиальное напряжение при этом равно -р. Согласно теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствяя осевой силы, т.е. при ая = 0), 62+ а2 о' = о2 — оЗ = Р62 г — (-Р), или 2Р2 о'эяв = Р Ь вЂ” а (9.15) Проследим, как изменяются напряжения ог и о1 по мере уменьшения толщины цилиндра. Примем 6 = а+ б, где б— толщина цилиндра. Тогда (е ~- б)2 + е2 е2 ~1( =и) — Р б (2 + 6) ~1(г=а) — Р 6(2 + 6) При малом значении б а2 О.
= ~Р— 2. ЗВВ а ою (г=а) оа (т=Ь) Р б' Радиальное напряжение а„у внутреннен поверхности равно — Р, а у внешней — нулю, независимо от толщины цилиндра, Таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толшиной стенки окружные нвлряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные — малы по сравнению с окружными в той же мере, в какой толщина б мала по сравнению с радиусом. Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, но ие беспредельно. Рассмотрим случай, когда б — оо, т.е. когда цилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражение (9.14) принимает вид Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис.
9.8), и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Лакее, напряжения, как видим, находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса т. Если принять, например, г = 4а, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах 5...6 % (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением 6/а > 4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки.
Существенно, что при этом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура. Если все точки внешнего контура удалены от оси внутреннего отверстия более, чем иа 4а, то форма внешнего хонтура оказывает влияния на распределение напряжений. Расчет упругих тел, таких, например, ках на рис. 9.9, сводится, очевидно, к схеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки. +Р фР Ряс. 9.9 Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9,15), при 6- оо будет равно азяв = 2р.
397 пе Следовательно, если, например, предел упругости материала равен 600 МПа, то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении, не превышающем 300 МПа. О том, какие возможности имеются для обеспечения прочности при более высоких давлениях, мы скажем несколько позже. Цилиндр нагружен внешним давлением. В этом случае ре = О, рз = р.
Выражение (9.10) принимает внд Эпюры напряжений по толщине цилиндра для зтого случая нагружения представлены на рис.9.10. Наибольшее эквивалентное нзлряжение имеет место у внутренней поверхности цилиндра. При отсутствии осевой силы 2Ьз оз=О Р з Ь вЂ” а у или 2Ьз взяв = Р Ь вЂ” а Это выражение совпадает с тем, которое было получено для случая внутреннего давления. рве. 9.10 Если внутреннее отверстие отсутствует, т.е. а = О, то напряжения в цилиндре распределены равномерно: П р и и е р 9.1.
Подобрата размер внешнего диаметра 2Ь иивкидра, предназначенного два удержание внутреннего даввеиих р = 90 МПа, прк условии двукратного коэффвииента запаса. Предав текучести матеркава е,,р —— а,, = 900 МПа. Внутреиий диаметр задан: 2е = 10 см. Наиболее опаснымк хввюотсв точки, расповомекные у внутренней поверхности пивиндра. Согласно формулам (9.9) к (9.14), тнгучаем Ьз+а а ез-— р —; о;мр— Ьз — аз ' Ьз — аз ег = -р' 2Ь Очевидно, а1 = аы ез = аг. Отсюда е„, = ез — ез ж р —.
Песне Ьз — аз ' подстановки числовых значений находки 2Ь = зф/За = 12,9 см. 9.3. Определение напряжений в составных трубах Выше мы уже показали, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности трубы. В пределе при бесконечно большой толщине ггэхв = 2р. Если в толстостенном сосуде надо удержать высокое давление, например в 1500 МПа, необходимо, чтобы предел текучести материала был бы по крайней мере в два раза большим, т.е. 3000 МПа. Следовательно, для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то новые конструктивные решения. Одним нз таких решений является создание составных, соединенных с натягом цилиндров.
Этот прием используют как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий. в'г гг вг- гг Ь'~ Ргзг гг ,г яг РггТ яУ угг Рхгт у Рмс. 9.11 Положим, мы имеем два цилиндра (рис. 9.11). Внутренний радиус первого цилиндра обозначим через а, а внешний— через с. У второго цилиндра внутренний радиус иа гз меньше 369 наружного радиуса первого цилиндра, т.е.
равен с- Ь. Внешний радиус второго цилиндра равен 6. Если большой цилиндр нагреть, то отверстие в нем увеличится и первый цилиндр может быть свободно вставлен во второй. При остывании между цилиндрами возникает контактное павление рк. Определим его. Прн посадке внешний радиус внутреннего цилиндра сократится и точки цилиндра на контактной поверхности получат отрицательное смещение иг. Внутренний радиус внешнего цилиндра увеличится. Здесь, следовательно, возникает положительное смешение из. Размер из+( — иг) должен быть равен натягу Ь: (9.16) из — и1 = Ь. Перемещение и1 можно определить по формуле (9.13), если положить в ней ря = О, рз = р„, а 6 и г заменить на с.
Тогда получим 1 — р сз 1+р ас По той же формуле определяем и из. Лля этого полагаем рз = =О,р~ =р„,а=г=с. Тогда 1 — р сЗ 1 + и 6'с пз = ря + ря. Е 6з — сз Е Ьз — сз Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р предполагаем для обоих цилиндров одинаковыми. Согласно выражению (9.16), находим ЕЬ (сз — аз)(6з — сз) (9.17) Таким образом, в результате посадки внутренний цилиндр оказывается под действием внешнего давления р„, а внешний — под действием точно такого же внутреннего давления. Картина распределения напряжений в сопряженных цилиндрах показана на рнс. 9.11. Если теперь составной цилиндр нагрузить внутренним давлением, то обе его части будут работать как одно целое, и в составном цилиндре возникнут напряжения, определяемые зва формулой (9.14).
Эти напряжения должны быть алгебраически просуммированы с предварительными напрюкениями натяга (рнс. 9,12). Во внутренних, наиболее напряженных точках рабочие напряжения и напряжения натяга имеют разные знаки. 6|+аз Ь' Р) 4~ Рис. 9.12 Поэтому суммарное напряжение здесь снижается и составной цилиндр способен выдержать большее давление, нежели обычный. Нужно, однако, помнить, что вследствие натяга увеличиваются напряжения в зоне контакта у внешнего цилиндра.
Поэтому натяг Ь следует подбирать для заданного рабочего давления р таким, чтобы была обеспечена прочность не только внутреннего, по н внешнего цилиндра. Легко составить условие равнопрочностн цилиндров (см. рис. 9.12): азквв = Оэквв. Согласно выражению (9.10), получим: в точке А 62 + а2 2сз аэкв — а1 аз = Р Рк ( Р)1 62 — аз сз — а2 (9.19) в точке В азкв = а1 оз = ра2 62 1 Ь2+с2 Раз / 62 э / 1 Ь2 — аз сз) 62 — сз 62 — а2 ~, с2) Приравняв эти выражения, находим 62 с2 а2 г 62 с2 Р = Рк), + .
(9.19) с2 62 — а2 'з 62 — с2 с2 — аЦ 391 262 ~ 1 аэкв =и З Ь вЂ” а ~ 6 с г ]' Ь~ — с~ с~ — а~ + Это напряжение имеет минимум при с = з/аЬ: Ь а — р экв Ь а (9.21) Полученные соотношения носят название условий Гадолина, по имени русского ученого, впервые их получившего. Сопоставляя выражения (9.21) и (9.15), видим, что посадка труб приводит к заметному снижению эквивалентного напряжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
