В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 46
Текст из файла (страница 46)
гл. 11). Итак, мы рассмотрели два основных критерия пластичности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и согласующихся с опытом. Но к рассматриваемому вопросу можно подойти и с несколько иных позиций — с позиций упрощенной систематизации экспериментаяьных данных. Этот подход впервые был сформулирован Мором и в настоящее время носит название теории Мора. 8.3.
Теория Мора и ее применение Лопустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент. Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно зто напряженное состояние станет предельным.
Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости аОг наибольший из трех кругов Мора (круг 1, рис. 8.2). Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от аз. Палее, на образце того же материала проводим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напрюкенное состояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2) вычерчиваем соответствующий круг (круг 3). Рис. 8.2 Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряженных состояний. 364 Вычерчиваем их общую огибающую.
Примем, что эта огибающая яеляетлся единсглеенной, независимо от промежуточных главных напряжений из. Это положение является основным допущением в излагаемой теории. Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала. и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном нвлряженном состоянии определить коэффициент запаса. Лля этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить а1 и аз, чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.
В изложенном подхода к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана, в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов. 'Теперь нужно решить вопрос о том, хак построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний. Наиболее простыми являются испытания на растяжение и сжатие.
Следовательно, пва препельных круга получить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. Прн этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис.
8.4). Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов. Рнс. 6.3 эвв Лля определения огибающей чрезвычайно важно знать положение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. По сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующего испытания. Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются растягивающими (об этом подробнее см.
в $14.2). Поэтому пока нет возможности построить для материала предельный круг, расположенный правее предельного круга растяжения. В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (см. рис. 8.3). Понятно, что это не исключает возможности в дальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отразить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению. Выведем выражение для озяю полагая, что огибающая является прямой.
На рис. 8.4 зта огибающая проведена па касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки О и Г). Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями о1 и оз (см. рис. 8.4). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в и раз (гпе в — коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения п1 и оз примут значения п1 и пэ. Ф О1 ПП1 з ПЗ ППЗ ' Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С'. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент, он будет касаться продолжения луча ОА в точке В.
Из точки С' проводим горизонтальную прямую С'Еб и составляем цропорпорцкю: ВЕ ЕС С'Е С'С' — = —. Но отрезки ЮЕ и ЕС представляют собой разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому ь ь ь ь 2 2 ' 2 2 Палее, СЕ + 'з Р. СС 1+ Д,+ 2 2 ' 2 2 Преобразовывая пропорцию, получаем "~т.р цт.р = сГ1 — — оз, От или, если учесть выражения (8.3), От.р Я = а т.р о1 — аз от.а Лля эквивалентного растяжения о = От.р/оэвв. По условию эквивалентности коэффициенты запаса а в этих напряженных состояниях равны. Поэтому аэвв — о1 йоЗ1 (8.4) где Й вЂ” отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: к = сгт р/от,, В частном случае, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, Й = 1. Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1).
В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном нвлряженном состоянии ведут, ках правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по 357 формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными. Основное ограничение, которое накладывается на применение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего. рэ; стяжения.
Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия.
Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности. Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных нэлряженных состояний, т.е. при п1 > О и аз < О. Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия. Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие. Пля одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому. Поскольку образование пластических деформаций мы принимаем независимым от шарового тензора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси о (рис.
8.5). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривая 2). я Ф Ф Ю Ф- Ф Ю Х Рис. в.ь Пля материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) примял 1 в правой части диаграммы (см. ззв рис. 8.5, а) проходит ниже кривой 8. Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 8, по мере увеличения растягивающего нелряжения а, сначала пересечет прямую 1. В образце возникнут пластические деформации. Затем круг 8 коснется кривой Я.
Образец разрушится. Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (см. рис, 8.5, б). Здесь примял 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 8. При испытании образца на растюкение круг Мора 8, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 8. Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов, Предел текучести при этом, естественно, не определяют.
Но это еще не значкт, что он не существует. Представим себе, что мы испытываем тот же образец па растяжение в условиях высокого гидростатического давления. Тогда круг 8, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивзюшвй силы коснется сначала прямой 1, но не крквой 8. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
