В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Опрекелпть главные напрзжен.вз длз напрзженного состозннз, показанного на рнс. Т.16. Наприкеняк заданы в условных еднннпах. Рис. 7.18 В предложенном прнмере одна нз главных площадок н одно нз главных напрзженнй заданы. Следовательно, не прнбегаз к решенню кубнческого уравненкк (7.6), можно остальные главные напрзженнз определить нэ круга Мора длз семейства площздох, параллельных осн х (см. рнс. Т.16).
Наносим на днаграмму точхн, соответсгвующне площадкам 1 н 11, и стронм вруговую диаграмму: о = 20 — 20з + Збз = -16; +фе~зР = б. Следовательно, п~ = 66, и = 60, пз = -16. 310 При определении главиык вапрзмеиий юкио было бы пользоватьсз тамма формуламв (7.16). При атом необходмые особое вввмаиис обращать на то, чтобы ме ошибатьсз в индексанмк напрзыевий по осам.
Рассмотрим еше адик прммер. П р в м е р 7.6. Определить славино напрзмепкз в случае напрзмемного состозммз, показанного на рис. 7.19. Напрзмеииз даны в условных сдинмпах. Напрзмеиное состознмс — плоское. Площадка А звлзетсз главной. Лве другие находзтсз в семействе плащадок, перпеидикулзриых первой. С тем, чтобы воспользоватьсз непосредстаенио формулами (7.16), направмм ось у перпевдмкулзрно главной площадке (см. рмс.
7.19). Тогда ас = -30, о, = 50, г = ЗО. По формулам (7.16) находим а' = -40, со = 60. Переименозыааз напрзменмз в порздке убываммз, получаем ог = 60, оз = О, оз = -40. Рвс. 7ЛО 7.5. Обзор различных типов напрянсенных состояний При исследовании вопросов прочности при сложном напряженном состоянии сушественное значение имеет вид напряженного состояния. Большкнство материалов по-разному разрушается в зависимости от того, являются ли напряжения растягиваюшими или сжимаюшими.
Как покззывает опыт, все материалы без исключения способны воспринимать весьма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия, в то время как прн одноосном растяжении разрушение наступает прн сравнительно низких напряжениях. Имеются напряженные состояния, при которых разрушение происходит хрупко, без образования пластических деформаций, а есть такие, при которых тот же материал способен пластически деформироваться. В связи со сказанным очевидна необходимость более подробно остановиться на типовых признаках напряженных состояний и проследить, в каких условиях возникает то или иное 320 состояние. На основе такого обзора в дальнейшем проще будет ориентироваться в вопросах прочности и легче дать оценку степени опасности напряженного состояния для материала.
Выше было произведено деление напряженных состояний на трехосное, двухосное и одноосное. При решении вопросов прочности, однако, такал классификация не является достаточной и принято делить напряженные состояния на три класса в зависимости от знака главных напряжений. Рис. 7.20 К первому классу относят трехосные растяжения, т.е. такие напряженные состояния, в которых ии одно из главных напряжений не является сжимающим.
Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости аОт, (рис. 7.20). В частном случае все три главных растягивающих напряжения могут быть равными; такое напряженное состояние называется чистым треяосиым расгвяжеиием. Оно возникает, например, в центральной части сплошного шара, быстро нагреваемого извне (рис.
7.21, а). Расширение внешних нагретых слоев приводит к тому, что внутренняя ненагретал область шара оказывается под воздействием всестороннего "растягивающего давления". Круговые диаграммы прн чистом трехосном растяжении вырождаются в точку (см. рис. 7.21, а). Трехосное растяжение, при котором два главных напряжения равны, но отличны от третьего, возникает в точках, лежащих на оси растянутого образца, имеющего кольцевую выточку (рис. 7.21, б).
Весьма часто встречается напряженное состояние, в котором оЗ = О, т.е. двухосное растяжение, также относящееся к рассматриваемому классу. двухосное растяжение, при котором о1 ф пз, вяз 1! в. и ччодоаьсв М Я Рис. т.яг возникает, например, в быстровращакнпихск тонких дисках постоянной толщины (рис. 7.21, е). Равное двухосное растяжение (п~ = оз) возникает в точках, расположенных у внешней поверхности сферического сосуда, нагруженного внутренним давлением (рис. 7,21, г). К рассматриваемому классу наприженных состояний относится, наконец, и простое одноосное згг растяжение, возникающее в однородном стерв!не прк его растяжении нли чистом нзгкбе (рнс. 7.21, 3). Второй распростракенный класс составляют такие напряженные состояния, в которых нн одно нз главных напряжений не является растягквающкм.
Это — так называемые !вреяосмые сзсапии. Для напряженных состояний этого класса круговые диаграммы располагаются в левой частк плоскостк !гОт (рнс. 7.22). Рас. Т.ЗЗ Чистое трехосное сжатке возникает в любом теле, независимо от его формы, прн всестороннем гидростатическом давлении (рис. 7.23, а). Неравномерное трехосное сжатие характерно для точек, расположенных в окрестностк контактирующих тел, таких как, нанрнмер, ролнкн и обоймы подшипннков, втулки и валы (рис. 7.23, б).
Пример вознккновекия двухосного сжатия показан па рнс. 7.23,е. Двухосное равное сжатие (оз = оз) возникает прк нагруженнн давлением вала, имеющего свободные торцы (ркс. 7.23, е). Одноосное сжатие также относится к рассматриваемому классу напряженных состояний и возникает, в частности, при чистом изгибе к сжатнк однородного стержня (рнс.
7.23, !7). К третьему классу относятся так называемые смешанные ваоряжекные сосшоянил, в которых наибольшее н каименьшее из главных напряжений имеют разные знаки. Напряжение а'з может быть как положительным, так н отркцательным. Круговые диаграммы напряженных состоянии этого класса располагаются в средней части плоскости и От (рнс.
7.24). Смешанное трехосное напряженное состояние возннкает, нанрнмер, ЗЗЗ при нагружении толстостенного цилиндра внутренним давлением (рнс. 7.25, а). Ллк изгибаемого и одновременно закручиваемого стержня характерно возникновение двухосного смешанного напряженного состояния (рис. 7.25, б).
Чистый сдвиг Рис. 7.24 д Ряс. 7.26 также представляет собой смешанное двухосное напряженное состояние (рис. 7.25, в). 7.6. Леформированное состояние Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстояние между положением некоторой точки А до и после изменения формы тела (рис. 7.26) называется ее полижи перемещением.
Составляющие вектора полного перемещения по осям х, у и я обозначаются соответственно через и, е и ш. 326 Рассмотрнм злементарный отрезок АВ, направление которого совпадает с направлением осн х (рнс. 7.27, а). Расстояние между точками А н В обозначим через Ах. Составляющие вектора перемещення в точке В отличаются от составляющих в точке А на величины, соответствующие изменению координаты х. Так, если точка А перемещается вдоль осн х на ю, то точка В перемещается дю на ю+ — Нх и т.д.
дг р . т.зе ззв де Приращение длины отрезка АВ составляет — Нх. Следодх вательно, относительное удлинение в точке А по осн х будет де д» дю ея = —. Аналогично ек — — ', ез = дх ду дя Угол поворота отрезка АВ в плоскости хОз равен отношенкю разностк перемещений точек В к А вдоль осн х к длине дю отрезка Ых, т.е. 71 = —.
Угол поворота отрезка АС в плосдх ди кости хОз (ркс. 7.27, б) равен уз = —. Сумма углов 71 н тз представляет собой нзмененке прямого угла ВАС, т.е. угол дю ди сдвига в плоскости хОх 7„= — + —. Аналогично могут дх дх быть напнсаны выражекня для углов сдвига в двух других коордкнатных плоскостях. В итоге нмеем следующую связь между перемеценнямн к деформациямк в точке: ви ве ве г вх' " ву' вх ' г г ви вю вю ви ви в» =Вг+ "у = х+ г 7 = + "' = в. ву' - = в. в.' *' = ву вх' Совокупность деформаций, вознккающкх по различным осям и в ргзлнчных плоскостях,проходящих через данную точку, носит название деформироеанного состояния е упочхс, а гс, гя, гэ, 'уяэ, уээ и уэя называются комионентпами деформированного состояния. Возникает естественный вопрос, достаточно лн этих шести компонент, чтобы определкть деформированное состояние, т.е.
можно лн по этим шести компонентам найти удлиненне по любой оси к углы сдвига в любых плоскостях, проходящих через данную точкуу На этот вопрос можно ответнть утверднтельно. Рассмотрим некоторую ось и, проходящую через заданную точку ~рис. 7.28, а). Направляющие косинусы прямой и будут !, ез, п. Выделим на этой прямой малый отрезок ОА = Ы н построим на нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами Ах, Иу, Ыг (рнс. 7.28, б). Рис. у.зе Если параллелепипед получает удлинение гэ, точха А смещается вдоль осн х на гэ <Ь, а диагональ ОА получает абсолютное удлинение ЬИЬ = ге!ах. Относительное удлнненке днагоналн получим, разделив это произведенне на Ы = ах/!. В итоге обнаруживаем, что удлинение ея вносит в удлинение е„слагаемое ея!э. Аналогичные слагаемые дают удлииекия еу и е,.
Теперь положим, что нижняя грань параллелепипеда дх ду остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости хОг получает вдоль оси х перемещение у,гдя. Это удлиняет диагональ дХ на 7ях дг. 1; делим это произведение на аЬ = Иг/н и видим, что сдвиг 7вв пРиводит к Увеличению е„ на 7,гн!. Остальные слагаемые можно написать по аналогии. Суммируя их, получаем ев —— Ев! + еуиз + ели + 7уя™н + 7вв™ + 7ву!ти. (7.17) г Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямыми и и,и (см.
рис. 7.28, б). Лля этого надо накти перемещение точки А по направлению р и разделить его на Ы. Это дает угол поворота отрезка Ы в плоскости и!в. Затем все то же самое проделываем для отрезка, расположенного по оси а. Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости иОц. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. Не- формированное состояние в точке определяется шестью компонентами.
Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с найденным ранее для напряжения о„выражением (7.4). Эти соотношения имеют общую структуру, и все, что было получено ранее нз выражения (7.4), можно получить и из (7.17). Лостаточно только во всех формулах заменить ог, ау, о, на ег, еу, Ею а 2тую 2т,, 2тгу — на ууг, уяг, Угу, Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичными свойствам напряженного состояния. Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют.
Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе — главными деформациями. Главные деформации определяются из кубического уравнения е — !1е + дзе —,7з = О, $2 згв коэффидиентами которого являются инварианты деформиро- ванного состояния: .71 = зз = Е. +Ек+Ез, 12 12 12 ЕКЕз + ЕзЕз + Е кз 4 7зз 4 7зк! зек 47 1 — 7з* 2 1 — 7зя 2 1 7аз 2 (7.18) 1 — 7зя 2 1 2 зз ез 1 2 7кз Ь1/ = дхдудз(1+ее)(1+ек)(1+ез) — дхдудх. Раскрывал скобки и пренебрегая произведениями линейных де- формапий как величинами, малыми по сравнению с их первы- ми степенями, получаем ~)Х = пх ну4Ь(ех + еу + Ез), Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8) и (7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейнэл деформапия, а аналогом касательного напряжения — половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформапиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
