В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом определяется искомое перемещение. Вторично раскрывать статическую неопределимость, как видим, не нужно. П р и м е р 6.10. Определить горизонтальное перемещение точки А в раме, показанной на рнс. 6.46, а. Эпюра изгибающих моментов для втой рамы уже была построена ранее (см. пример 6.4). Поэтому, считая, что первая часть задачи решена, разрезаем раму в любой точке и к полученной основной системе прикладываем в точхе А единичную силу (рис. 6.46, 6). 17 РР Перемножая зпюры, находим бя — — — —.
672 В1' ,1 14 Р я — Рб — Рб 4 4 14 14 Ю Рмс. 6.46 П р и м е р 6.11. Определить, насколько уменьшится диаметр АВ кольцевой рамы (рнс. 6.47, а) при нагружеинн ее снламн Р. Статическая неопределимость этой рамы также уже была раскрыта ранее (см. пример 6.6). Изгибающий момект для четверти рамы АС оказался в следующей зависимости от угла Кс Рмс. Е.бт Разрезаем раму в произвольном сечеыыи, а в точиаи А и В прикладываем противоположно направленыме едныичиме склы (ркс.
бА7, б) В сечении с текушим координатным углом и имеем Мз = Яазп м. Тогда з(з , ~ ММзд ЬЛ ЯЛ' (З Е1 Е1 ~ьк 2! ' е 6.7. О методе перемещений Метод перемещений отличается от метода сил тем, что при раскрытии статической неопрепелимости в качестве неизвестных принимают не силы, а перемещения. Метод перемещений заслуживает столь же уважительного к себе отношения, что и рассмотренный выше метод сил. Нельзя сказать, который из них лучше. Они в основном равноценны.
Преимушества одного перед другим определяются особенностями статически неопределимой системы и в какойто мере привычками и традициями. Особенно просто методом пе- ч ремещений можно раскрыть статическую неопределимость систем 6 с малым числом углов. Рассмотрим пример, очень простой для метопа перемещений и вместе с У тем сложный для метода сил. Г На рис.
6.48 показана систе- гз А ма, состоящая нз и стержней, Рис, 6.48 связанных в единый шарнирный узел в точке А. Система а-2 раза статически неопределима, и определение усилий в стержнях методом сил не сулит ничего радостного, особенно, если стержней много и к тому же они имеют различные длины н различные жесткости прн растяжении. Метод перемещений позволяет решать такие задачи неожиданно просто. Обозначим горизонтальное и вертикальное перемещения узла А через о и э соответственно (см.
рис. 6.48). Удлинение 1-го стержня одределяется суммой проекднй и и в на ось стержня, т.е. Ы; = вв1п~о;+ есов~р,. Выражение для растягивающей силы имеет вид ЕХ; У; = — (вв1п~о; + ясов~о;). (6.4) В ( Напишем два уравнения равновесия для отсеченного узла А: и-1 Ф;сову; = Р; в=а в — 1 ~> Ж; в1п <р; = О. а=о Исключая силы М; и переходя к перемещениям, получаем два уравнения для вычисления и и сс После того как перемещения найдены, не представляет труда с помощью выражения (6.4) определить усклне в любом стержне.
Методом перемещений столь же просто можно раскрыть статическую неопределимость системы, показанной на рнс. 6.49, при любом числе поддерживающих стержней. Решение очевидно. Надо ввести вертикальное и угловое перемещения жесткого стержня, выразить через них удлинения и силы, а затем написать в перемещениях два уравнения равновесия, ЕР; 1а в=О и-1 и ~) 1=в п-1 в1пу;сов~р;+ е у — 'совз~р; = Р; в=в 1 ! ! в — 1 вш ~р;+ в ~ — 'в1п~р, сов<р; = О. и=О В то же время, если вернуться к примеру стержневой системы, рассмотренной ранее (см. пример 6.2), то обнаружится, что решение методом сил оказывается более предпочтительным. При большом числе узлов и конструктивных элементов методы равноценны и, как один, так и другой, могут быть положены в основу создания машинных алгоритмов так называемого метода конечных элементов для анализа сложнейших систем стержневого и оболочечного типов.
Глава 7 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ 7.1. Напряженное состояние в точке Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданную точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости н напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется непрялсенныл состпояниеа в точке. Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига, но н в общем случае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен. Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не является чисто отвлеченным.
Оно необходимо для последующего решения более сложных задач н в первую очередь для расчетов на прочность в общих случаях нагруження. Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 7.1). При 300 переходе от точки к точке напряженное состояние меняется достаточно медленно и всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (см. рис. 7.1) такую достаточно малую область, для которой напрюкенное состояние можно было бы рассматривать как однородное.
Понятно, что такой подход возможен только в пределах принятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам. Рис. 7.2 Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке А, представим себе, что через нее проведены три секущие площадки н установлены возникающие в них напряжения. Затем в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.2). Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку.
В пределе все грани параллелепипепа пройдут через точку А, и напряжения в соответствующих секущих плоскостях можно рассматривать как напряжения в исследуемой точке. Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой о с индексом, соответствующим осям х, у и л (см. рис. 7.2).
Касательное напряжение обозначим буквой т с двумя индексами: первый соответствует- оси, перпендикулярной к площадке, а второй— зоз оси, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самих осей является произвольной. Нормальные растягиввющие напряжения о будем считать положительными, сжимающие — отрицательными.
Что касается знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будем, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак т роли не играет. Напряжения, возникающие на трех гранях злемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рис. 7.2. На невидимых гранях злемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.
Система сил, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях возникают противоположные по нвлравленню силы, то первые три условия равновесия удовлетворяются тождественно, и суммы проекций всех сил на оси х, у и я равны нулю независимо от значений возникающих напряжений.
Остается проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно осей х, у и х. При составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани. Исключение составляют касательные силы. Например, для оси х условие равенства нулю суммы моментов соблюдается в том случае, если момент силы ту, дхде равен моменту силы г,я Ых Ыу, т.е.
гяя йх <Ь ду = т~„Ых Ыу Ыя. Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равнове- сия. Тогда получаем гул = гху~ с~я = 7яг'ь тяу = ту*. (7.1) Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напрязкений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см.
также $ 1.5). Он справедлив для всех точек нагруженного тела независимо от зоз вида приложенных нагрузок и свойств материала. Следствием из условия парности касательных напряжений является то, что на гранях выделенного элемента (см. рис. 7.2) имеем не девять, а только шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные напряжения попарно равны.
Анализ напряженного состояния в точке начинают всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводят три взаимно перпендикулярные плоскости, ориентацию которых выбирают произвольно, но так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены наиболее простым путем. П р и м е р 7А. Выявить иапраженное состоянке в точках А и В растянутого н одновременно закрученного стержня (рис.
7.3, а). йв7яу Рис. 7.3 В окрестности заданных точек секушими плоскостями выделяем элементарный объем. Орнентапию плоскостей выбираем таким образом, чтобы напряжения можно было определить наиболее простым способом. В данном случае естественной является ориентапня плоскостей вдоль и поперек оси стержнк. Па рис. 7.3, о секушие плоскости в окрестности точек А и В показаны штриховыми линиями. Вынесем выделенные элементы за пределы нагруженного тела и представим их в увеличенном масштабе с сохранением ориентапни плосхостей (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
