В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Согласно теореме взаимности перемещений, отмеченные на рисунке отрезки олз и бв1 равны. 'Теоремы взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов. Это мы увнпим, в частности, в следующей главе, где будут рассмотрены общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем. В некоторых случелх теорема взаимности работ дает возможность весьма просто решать в общем виде такие задачи, которые другими методами могут быть решены только с большим трудом.
П р н м е р З.11. Определить изменение объема упругого тела прамзвольмой формы, нагруженного двумя разними, противоположно направлеынымн сидеми Р (рмс. 5.30). Расстояния между тачками приложения сил равно Н. Упругие константы материала заданы. Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановке представляется весьма затруднительным. Однако на помощь прмходнт теорема взаммности работ. Одновременно с заданной нагрузкой будем рассматривать случай нагруженмя тела равыомермо распределенкым давленмем р, действукнцнм по поверхности. Тогда имеем две обобщенные силы: систему двух снл Р, с одяой стороны, и давление р, с другой.
Согласно теореме взаммности работ, можно сказать, что РГхН, = рс К., (5.16) где ЬНр — взаимное смещеыяе точек прнложсикя сил под действием давления р, а ЬК вЂ” искомое изменение объема тела под действяем смл Р. Прм ыагруженыи тела равномерно распределенным давлением в любой площадке тела вознммает напряжение е, равное давлению р. Для злементариого объема, показанного ва ркс. $.31, откоснтелькое сжатие в лю- Рмс.
5.31 Рис. 5.30 бом направлении, согласно закону Гука, будет следующим: к о и р е = — — и — — д — = — (1 — 2д). Е Е Е Е Точки приложении сил Р (см. ркс. 5.30) сблнззтсз под действием давлении и иа йН = — (1 — 2д) Н. и Е Тогда, подставлвк ЬНа в выражение (5.15), находим РН Лага — — — (1 — 2д). Е П р и м е р 5.12. Замкнутал нерасткжнмак рама, имеющак форму круга, нагружена в своей плоскости произвольной снстемок сил (ркс.
5.32). Показать, что площадь, огрвннченнак рамой, при ее изгибе не менкетск. Ь1 -93 Рнс. 5.32 Рис. 5.33 Изменение площади рассматриваем как обобщенкое перемещение. Соответствующал этому перемещению обобщеннав сила предсталлвет собой распределенную нагрузку с постозкной интенсивностью 9. Поэтому параду с заданным случаем нагружеиик рассмотрим нагруженне той же рамы равномерно распределенной нагрузкой 9 (рнс. 5.32). 'Гогда, согласно теореме взанмностк работ, иМееы (5.17) 9 В. И.
Фювасыв где ЬР~ — искомое кзмекенке площади под действкем прокзвольной системы сил; ~ , 'Р;6ге — сумма работ зтих скл иа перемещенкях, вызванных распределеикымк силами Е. Под действием скл у перемещения в кольце возникать не будут, по. скольку кольцо нерастямнмое, к поэтому 61е = О. Следовательно, правеа часть уравнения (5.17) обращается в нуль, к ЬГ~ = О, что к требовалось доказать. Понятно, что полученный результат явлается иравкдьимм только для малых перемещений, пока к системе момет быть пркмекен принцип независимости действка сил. Глава 6 РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕЛЕЛИМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 6.1. Связи, иакладываемые иа систему.
Степень статической иеопределимости Выше 1в гл. 1 и 2) были частично затронуты вопросы, связанные с понятием статической неопределимости. Пля решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости стержневых систем. Под сшерэснееон сисгвемон в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящвя из элементов, имеющих форму стержня. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатые, то стержневая система называется жермон 1рис. 6.1).
Ферма состоит из прямых стержней, образукпцих треугольники. Лля фермы характерно приложение внешних сил в узлах. Рис. 6.1 Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 6.2). Ф Рис. е.г Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов расположены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рнс. 6.2, а). Наряду с плоскими имеются так называемые плоскопространстаснные системы. Лля такого рода систем осн составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости.
Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (см. рнс.6.2,б). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (см. рис. 6.2, 6). Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такал система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем прн найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и впутреннке силовые факторы в любом поперечном сечении.
Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение геа внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия. Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних скловых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название сп4епени, или числа стваглическоб неопреоелимосгвн.
В зависимости от этого числа системы разделяют на один, два, трн, ..., и раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределнмости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее. Положение жесткого тела в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жесткий стержень обладает шестью степенями свободы. На него могут быть наложены связи, т.е.
ограничения, обусловливающие его определенное положение в пространстве. Наиболее простымн связями являются такие, при которых полностью исключается то илн иное обобщенное перемещение для некоторых сечений. Наложение одной связи снимает одну степень свободы. Следовательно, если на свободный жесткий стержень наложено шесть связей, то положение его в пространстве будет, за некоторыми исключениями, определено полностью, и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему.
То чксло связей, при котором достигается кннематическел неизменяемость, носит название необходимого числа сеяэеб. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительное. Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы. Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Если, например, на левый конец бруса (рис. 6.3, а) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно ее изображают в виде двух шарниров нли катка.
Если зглрещено как вертикальное, яег так и горкзонтальное смещение, говорят, что наложены две внешние связи (рнс. 6.3, 6). Зелелка в плоской системе дает Рис. 6.6 три внешние связи. Пространственная заделка соответствует шести внешним связям (рис. 6.3, в). Внешние связи часто, как уже упоминалось, делят на необходкмые н дополнительные. Например, на рис.
6.4 показана плоская рама, имеющая и случае а три, а в случае б- пять внешних связей. Для того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого нелого,-необходимо наложение трех связей. Следовательно, в случае а рама имеет необходимые внешние связи, а случае 6, кроме того, две дополнительные внешние связи. Рис. 6.4 Под енушрснни.ни, или вэаимныжи, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Здесь также можно говорить как о необходимых, так и о дополнительных связях, Например, плоскал рама, показанная на рис.
6.5, а, имеет необходимое количество как внешних, так н внутренних связей между элементами. Рис. 6.6 262 Это — кинематически неизменяемая система. Если будут зала ны внешние силы, мы сможем при помощи уравнений статики найти как реакпии опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис. 6.5, б, кроме внешних наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения точек А и В.
Система в данном случае дважды статически неопределима (кногда добавляют: внутренним образом). Рис. 6.6 В раме, показанной на рис. 6.4, а и б, также имеются внутренние дополнительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разрезал его в любом сечении (рис. 6.6), мы, не нарушал кинематической неизменяемости, получаем возможность при заданных силах найти внутренние силовые факторы в каждом сечении рамы. Следовательно, разрезал замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т.е. позволяем сечениям А н В поворачиваться и смешаться в двух направлениях одно относительно другого. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур имеет три дополнктельные взаимные связи, т.е.
трижды статически неопределим. Таким образом, рама, показанная на рис. 6.4, а, трижды статически неопределнма, а рама, представленнал на рис. 6.4, б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом к два раза — внешним). Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и раиных систем. На рис. 6,7, о-и показано несколько рам. Последовательно рассмотрим их. а. Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и трк внутренние связи, т.е. семь раз статически неопределима. б.
Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует, Тогда имеются две внешние к трк внутреннке дополнительные связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой. Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рнс. 6.8). Так ках каждый шарнир снимает одну связь, т.е. разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти — три раза статически неопределимой. Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
