В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 29
Текст из файла (страница 29)
4.65). Тогда выражение (4.35) примет вид — аГ = О, откуда (4.39) г Интеграл, стоящий в знаменателе, представляет собой геометрическую характеристику сечения, такую же, как, на пример, статический момент или момент инерции. В частности, для прямоугольника (рис. 4.66, а) имеем аз+лаз | '~~ = Ь ~ ~" = Ы, е+ Л!2 и / и ре — Л/2' Е ре — Л/2 и, согласно формуле (4.39), Л ре+ Л|г' ро — Л/2 Рис. 4.ЕЕ Смещение нейтральной линии относительно центра тяже- сти Ь е = ро Ро + Ь/2 (4.40) 1п ро — Ь/2 Аналогичным образом для бруса круглого поперечного сечения (рис.
4.66,6) после выполнения операции интегрирования получим с= (Ро Ра л~ ). 1 2 2 (4.41) =2 — + — — +— Вычисление е как разности между ро и та содержит в себе значительные неудобства, особенно в случае сравнительно небольшой кривизны бруса. Пело в том, что разность больших радиусов ро и то очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого непосредственно зависит результат расчета напряжения а по формуле (4.38). Поэтому значение га приходится подсчитывать с большим числом знаков.
Лля подобных случаев выработан прием разложения вычитаемых величин в ряды с последующим исключением первых взаимно уничтожающихся членов. Например, в рассмотренном случае прямоугольного сечения это выглядит следующим образом: ро + Ь/2 1+ Ь/(2ра) Ра Ь/2 1 — Ь/(2ро) откуда Ре 1п Ро — Ч2 Возвращаясь к выражению (4.40), виним, что радиусы ро взэ; имно уничтожаются, а смешение е можно определить без потери точности при помощи следующего ряда: При Ь/Ре ( 1/2 можно довольствоваться с достаточной точно- стью одним членом ряда: Аналогично для выражения (4.41) имеем 2 В2 Все сказанное легко может быть распространено и на случай сечения произвольной формы. Выражение (4.35) перепишем в виде где у1 = у — е — расстояние от площадки НЕ до центральной оси, Отсюда для е получаем следующее выражение: — ~г Р0+ У1 ч — 1 / Воспользуемся разложением 1+ — ~ = 1 — — + ~ — ) — ..
У1 У1 У1 Р0 Р0 Ро и ограничимся двумя первыми членами ряда. Тогда получим У,1У Ы г 1 — — ИГ Так как у1 отсчитывается от центральной оси, то У1 ИГ = О. Тогда, очевидно, г 1я е ян —, Рог (4.42) где Хя, как и при изгибе прямого бруса, — момент инерции сечения относительно центральной оси. Плошадь сечения Г = — й = 17,5см . ь|+ ь 2 Разделив статический момент иа площадь сечения, находим расстояние уе от основания трапеции до центра тюкестк: Ь|+2Ь Л уе = — — ж 2,6 си.
61+Ь 3 223 П р и м е р 4.17. Найти напряжение в точке 4 крюка трапецеидального сеченкя (рис. 4.67) со следуюгцимн размерами: $~ = 4 см, 6з = 1 см, и~ с Зсм,кз=10см,й=тсм. СилаРж20кН. Сначала определяем положение центра тяжести сечения. Статический момент сечения относительно большего основания бааз Ь вЂ” 4 5= — + — И . 2 б Радиус ее ш уе + и~ = 5,8 см. Момент инерпкп сечения относительно основания у= — + ЬзЛ (Ь| Ьз) Л я = 200,1 ем .
2 12 Переходя х центральной оси х, получаем Уе = 62,9 см~. Повольствуясь приблкменным определенкем е, по формуле (4.42) находим е = О, 620 см. Напряягеиие изгиба в точке А определяем по формуле (4.38), которая принимает для данного случая вид 1оде уе — е г'е и~ 20000 5, 8 2, 18 17,5 0,620 3 К атому напряменизз следует прибавить напряжение растямеиия е,, = Р(Р— 11 4 МПа Таким образом, Рис.
4.67 а„= 89, 1 МПа. Вычисляя значение е более точно, находим — 0,598см, < Ь, — Ь.'1 Ьз+ кз 1и — — (Ь| — Ьз) аз — щ) к~ и, = 92 МПа. Глава б ПЕРЕМЕ1ЦЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ 5.1. Потенциальная энергия стержня в общем случае нагружения Выше определялись перемещения прямого стержня при растяжении, кручении и изгибе. Рассмотрим теперь общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях могут возникать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты одновременно.
Кроме того, расширим круг рассматриваемых вопросов, полагая, что стержень может быть не только прямым, но и криволинейным или состоять из ряда участков, образующих плоскую нли пространственную систему. Рещение поставленной задачи необходимо не только для нахождения самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений созданы общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах, о чем будет сказано в следующей главе. вва 8 в. и.
Феолосьеи Наиболее просто перемещения можно найти при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Этот анализ проводят, как известно, при помощи метода сечений с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо, — также эпюр нормальных и поперечных сил.
Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строят на осевой лкнии стержня. Силовой фактор откладывают по нормали к оси, как это показано, например, ка рис. 5.1. Лля пространственного стержня осевую линию вычерчивают обычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изображают в соответствующих плоскостях изгиба (рис. 5.2). Эпюру крутящих моментов не связывают с какой-либо определенной плоскостью и в отличие от эпюры изгибакнцих моментов штрихуют винтовой линией.
Лля определения потенпнальной энергии выделим из стержня элементарный участок длиной Ня (рис.5.3). Стержень может быть не только прямым, но и иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформированин элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке стержня. Рис.
Ь.З Левое сечение элемента (см. рис. 5.3) условно будем рассматривать как неподвижное, с тем чтобы работа всех силовых факторов, приложенных к левому торцу, была равна нулю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа. Очень важно, что каждому нз шести скловых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает. Так, под действием момента М„возникает угол поворота сечения относительно оси з. На этом угловом перемешении работа совершается только этим моментом М„.
Линейное перемещение вдоль оси у возникает вследствие действия силы Я», н только эта сила совершает работу на этом перемешенин. Следовательно, потенциальную энергию элемента можно рассматривать как сумму незааисимыя работ каждого из шести силовых факторов, т.е., иначе говоря, как сумму энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига: Н~ = ИЦМ,)+ ИЩМ,)+ ИЦМ„)+ +<Ш(М)+Ю(Я )+АНУЯ„). (5.1) Естественно, такое разделение работ возможно лишь при определенном выборе осей. В частности, точка приведения сил должна совпадать с пентром тяжести сечения. Иначе нормальная сила М вызовет поворот сечения, и изгибающие моменты совершат работу на угловом перемещении, вызванном этой силой.
Осн х и у должны быть главными. В противном случае момент Мх вызовет поворот сечения относительно оси и, и будет произведена взаимная работа на угловых перемещениях, вызванных двумя изгибающими моментами. Выражения для первых четырех слагаемых нам уже известны: Мз ~Ь М2 пх Ии(М„) = '; Ю(М ) = — * Л Их ИУ(М ) = "; ИУ(Ф) = —. 2ЕХя ' 2ЕГ Остается найти энергию сдвига ~10(Ях) и ИУ(Цз). Рис. 5.4 Лля определения дУЯ,) рассмотрим элементарную призму с площадью основания ЫЕ и длиной Их (рис. 5.4). Энергия, заключенная в этом объеме, равна УеИЕИх, где Ц~ — удельная потенциальная энергия при сдвиге. Согласно выражению 22Е тз (2.3), (/е = гя2/(2С).
Таким образом, с/о ИГ ~Ь = —" И'Ня. Ин- 2С тегрируя по плошади Г, находим кУЩя) = ' — ) тя пГ. Но, 2С,/ согласно формуле Журавского (см. 2 4.3), тя — —. СледоЯя" .7 Ь вательно, цз 1 г~ез 4Г 922 сЬ Г ГЯ'2<У' Юбщя)= — ")' *, или ЙБщя)= я — )' — * 2Су2 / Ь2 2СГ .уе2,/ 62 г Р Обозначим (5.2) Тогда ц2~ ИУЯя) = йя 2СГ Аналогично получим НУ(Я,) = й, — * д2 * 2СГ Коэффициенты хх и хя представляют собой безразмерные ве- У личины, зависяшие от геометрической формы сечения. Например, для прямоугольного сечения Ъ~ с размерами Ь и Ь (рис. 5.5) статический момент Я' заштрихованной плошади относктельно оси х равен Я' = — Ь| — — р ).
Па- 2 1,4 ) лее, дГ = ЬИу, Г = 66, ух Рис. бЛ = 662/12. Производя преобразования, по формуле (5.2) получаем Ь = Ьх = Ья - -6/5. Лля сплошного круглого сечения Ь = 10/9. Лля тонкостенного кругового профиля й = 2 и т.д. Выражение (5.1) теперь принимает вид Мз Нз Мз Ия Мз Ыя Юэ Нз Я2 Ня ц~ Ня ЫУ вЂ” * + * + " + — +й.— *+й„—.
20.Ук 2ЕЛ~ 2ЕХя 2ЕГ * 2СГ 2СГ ' Чтобы получить потенциальную энергию всего стержня, зто выражение следует проинтегрировать по длине: 20.Ук 2ЕУз 2Еуя 1 2ЕГ 2СГ 20Г Если конструкция сложная и состоит из нескольких элементов, имеюших форму стержня, то после интегрирования в препелзх каждого стержня должно быть произведено суммирование энергии по числу составляющих элементов. В выражении (5.3) не всегда все слагаемые являются равноценными. Для подавляюшего большинства встречающихся на практике систем, где составляющие элементы работают на изгиб или кручение, три послепних слагаемых в выражении (5.3) оказываются существенно меньшими трех первых. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существенно меньше энергии изгиба н кручения. Рис. В.е Вместе с тем возможны такие случаи, в которых рассматриваемые слагаемые оказываются величинами одного порядка. Например, для нецентрально-растянутого стержня, показанного на рис.
5.6, энергия растяжения и энергия изгиба являются 230 величинами одного порядка. При нагружении пластины, склеенной из двух металлических листов с пенопластовым заполнителем (рис. 5.7), энергия сдвига в заполнителе может оказаться соизмеримой с энергией изгиба. 5.2. Теорема Кастилнано В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастклкано: частпная проиэвоттная отп потенциальной энергии системы по силе равна перемеи4ению таочни прилоэтсенил силы по направлению этой силы.
Высказанная формулировка требует пояснения. Условимся под перемешением в заданном направлении понимать проекцию полного перемешенкя на заданное направление. Поэтому перемещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как проекцию на направление силы полного перемещения этой точки. Рнс. 3.3 рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил и закрепленное тем клн иным способом, но так, чтобы были исключены его смешения как жесткого целого (рис.5.8). Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна 331 У и выражена через силы. Одной из скл, например силе Р„, дадим приращение аРп. Тогда потенпиальная энергия У по- дУ лучит приращение — оп и примет вид дРп У + — МРп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
