В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Равнодействующая нормальных сил ода в левом сечении в пределах заштрихованной площади Г' равна, очевидно, М' = оаК, г' нлн, согласно формуле (4.6), 1 Особые области, в зоне которых прнлоыены сосредоточенные снлы, не расом атрнваютск. гтв и и+ни Рис. 4.28 где через у1 обозначена в отличие от у текущая ордината площапки ЫГ (см. рис. 4.26,6). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси я части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня у). Обозначим этот статический момент через Я'.
Тогда М~х й1» г В правом сечении нормальная сила будет другой: э (М + ~1М)~г У' + д'Ф* = .у, Разность этих сил ЫМ5" * = тбНг, Х. откуда ЯЯФ т = —. .У,б ' Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе. (4.12) зво ИМЯ; — У, должна уравновешиваться касательными силами, возникаю- шими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и 4).
В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения 6 равномерно. Тогда Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные.
Зависимость т от у в сечении определяется через статический момент 5'. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, 5' = О. При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось х — центральная, то и здесь 5' = О. Поэтому касательные напряжения, как зто следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю. Рис. 4.27 Пля стержня прямоугольного сечения со сторонами 6 и Л (рис. 4.27, а) имеем Ь ГЛ2 з~ ЬЛз 5; = — ~ — — у'~;,7, = —, Ь = Ь.
21 4 )' 12' Следовательно, и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при у = О: гааз — 2 ~ Пля стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти 2 ( )3/2 1а1 Кроме того, ю' .к' — — — — Ь=2 Лз — у', 64 4 откуда 4 Я тпах = 3 яйз Лля стержня, имеюшего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой Л (рис, 4.27, в), Ьз .7 36 ' г = — з — Ь вЂ” у — Ь+у Максимальное напряжение имеет место на расстоянии у = Ь/6 от нейтральной оси: ЗЯ гжах = сЬ В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операпий.
Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляюшие не только по оси у, но и по оси х. действительно, примем, как зто делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение г направлено по оси у. Разложим вектор т на две составляюшие — по нормали к контуру г„и по касательной ть По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные г„, отсутствуют.
Следовательно, г„= О, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что т направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляюших г по оси я. Для определения этих составляюших следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели 1ви Рис. 4.2В Рис. 4.29 рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие т по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у. Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а трах для нетонкостенных сечений имеет значение порядка Я/Г.
Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем М 6Р! 3 Р Ю~ 6У~ ™х= 266 откуда трах (7п~ах 41 Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е.
касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый. 183 В связи с малостью т~з„расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряженням, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.
Рассматривал качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис.
4.30). Рис. 4.30 Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рнс.4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна Р/п, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно М (Р/и) $6РЕ Й, (Ь/6) (Ь/а)з ЬУ Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис. 4.31, б), стержень будет изгибаться как целый.
В этом случае наибольшее нормальное напряжение оказывается в а раз меньше, т.е. БР! ошах = ЬУ Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в н раз ббльшую, чем несвязанныи. Рис. 4.31 В поперечных сечениях болтов прн изгибе стержня возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого стержня (сечение А — А на рис. 4.31, б). Эту силу в первом приближении можно определить из простого равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого стержня ЗР ЗР! "'!~болта —- т,УУ, Ы = о Ы Ы = й ! где т — число болтов. Интересно сопоставить изменение кривизны стержня в заделке в случае ~вязанного и несвязанного пакетов.
Согласно формуле (4.5), для связанного пакета 1 М 1лР! р ЕА ЕЬЬЗ ' 16б Лля несвязанного пакета 1 М (Р/и) ! 12Р1 Р К~я Ю<Ь!12) (ЬУв)3 ЮЬЬ3" ' Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы. Таким образом, по сравнению с целым стержнем набор свободно сложенных листов оказывается в вз раз более гибким и только в и раз менее прочным. Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используют на практике прн создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательные силы между слоями стержня, устраненные при переходе к листовому пакету, Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и их следует оберегать от загрязнения. Заканчивая параграф о поперечном изгибе, приведем пример, иллюстрирующий последовательность расчета стержня на прочность при изгибе.
П р и м е р 4.0. Подобрать размер а Т-образного поперечного сечения, показанного иа рнс. 4.32, для двукопорного стержня, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой кнтенснвностью ф Козффппвент запаса по пределу текучести должен быть не менее чем двукратный. Лано: ! = 1 м, д = 100 П/см, а,,р — — о,, = 330 МПа. Рмс. 4.32 Определяем реакпкк опор и строим зпюру изгнбающкк моментов (см. рнс. 4.32).
Расчетный изгибающий момект равен 3 Мжаа 91 9 зва 891 Уз з Согласно условию прочности, — < — ', откуда момент сопротивления ' 9ИЗе п Иге > 50, 7 смз. Рассматривал заданное сечение, определаем расстолние от оск *, до 29 центра тюкестн. Оно равно — а. Момент инерции относительно осн хз 18 707 равен Ле, = 43а'.
Перехода к центральном оси к, получаем за = — а . 38 29 '1 707, Момент сопротнвленнл ИГ» и зе 5а — — а = — а, откуда находки 18 ~ 122 а > 50,7 — см нли а > 2,08 см. з 122 з 707 4.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных стержней При поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечениях преобладаюшими остаются нормальные напряжения, которые в основном и определяют прочность стержня. Однако здесь, в отличие от стержня сплошного сечения, сузпественное значение приобретают касательные напряжения и законы нх распределения. зу зузззо Рис. 4.33 Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня определяются по тому же принципу, что и для сплошного стержня. Разность нормальных сил для элементарного участка, расположенного по одну сторону от продольного разреза (рис.
4.33), уравновешивается касательными напряжениями т. В отличие от стержня сплошного сечения продольный рырез тонкостенного стержня следует производить не параллельной нейтральному слою плоскостью, а плоскостью 187 А- А, нормальной к среднек линии контура (см. рис. 4.33). Такое сечение имеет наименьшую ширину, равную б, и в нем касательные напряженнк, уравновешивающие разность нормальных снл, будут больше, чем в других продольных сечениях. Возвращаясь к выводу формулы Журавского, проделанному в з 4.3, легко обнаружить, что для тонкостенного стержня в этом выводе ничего не меняется, кроме того, что обозначение 6 заменяется на б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
