В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.44, имеем при г = 0 (Е„(0) = 0) т.е. сз = с4 = О. Оставшиеся две произвольные постоянные с1 и сз находим из краевых условий при г =! Яя1(~) + Яа20) лаз О) зк40) й„(г) й„(С) й„(С) й14(Ю) Й41(~) й42(() й42(1) й44(1) Ж) М(Х) д(У) вя(0 с1 сз 0 0 Так как при г = ! должны выполняться два условию ф!) = -Р, М(Е) = О, то получаем систему из двух уравнений пля определения с1 и с2: — Р = Й11с1 + Й12с2 + ла1; О = й21с1 + й22с2 + яяз ° 196 Определив с1, сз, сз и с4, находим решение уравнения (4.21), или системы (4.20). При использовании для исследования статического напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня системы из четырех уравнений первого порядка отпадает необходимость делить задачи на статически определимые и статически неопределимые, что приходится делать при решении уравнений второго порядка.
Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и (4.20) являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми. Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочность и жесткость при изгибе, решают в указанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина у', отброшенная в выражении (4.16), действительно мала.
В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях. Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов. Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет лн речь об изгибе, кручении или растяжении.
При изгибе предельные упругие перемещения определяются не только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба. Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно Ушак яшах = Р а напряжение— Ртах оп1ах = Š—. Р Значительные перемещения стержень сможет получить при условии большого изменения кривизны 1/р. Но при напряжениях, не превышающих предел упругости, эта возможно только при достаточно малом у,,„, т.е. при малой высоте сечения. Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки н часто называется тонким еибним стержнем. Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид М н Е3 (1+ „4)з/г' Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член ,г у' в знаменателе.
Для гибкого стержня в выражении для М нужно обязательно учитывать перемещения, возникающие в стержне. Указанную особенность гибких стержней наглядно иллюстрирует пример консоли (см. рис. 4.44). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальное смешение. В результате этого изгибающий момент в каждой точке стержня изменяется на некоторую величину, зависящую как от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смешения точки приложения силы Р.
Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория еибхих стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается. Приведем некоторые примеры определения формы упругой линия нзогнутого стержня при малых перемещениях. П р к м е р 4.9. Составить уравнение упругой ликии консоли, нагруженной иа конке сосредоточенной силой Р (рнс, 4.46). Рмс. 4.46 Поместим начало координат з, у в заделке.
Изгкбающкк момент в сечении, расположенном на растоянкк з от залелхи, равен М = Р(! — з). Подставив это выражение в (4.17) и дваждгя проинтегрировав полученное уравнение, найдем / з з у= — (! — — — +Сгз+Сз Е',!е ~ 2 6 где Сз, Сг — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условии. В данном случае прн з м 0 имеем у = О и у' = О, откуда Сз = 0 н Сз = О. Тогда Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е. прн г = 1, и равен Р!з Уеам = —.
ЗЕй П р и м е р 4.10. Лвухопорный стержень длиной ! нагружен силой Р, расположенной на расстоянии а от левак опоры (ркс. 4.46). Составить уравнение упругой линни и найти перемещение точки приложения силы. Рнс. 4.46 Начало координат располагаем на левой опоре. Эапишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня: Ь Ь Мз =Р-х; Мз =Р-х — Р(з — а). ! ' ! 200 После подстановки этих выражений в (4.!Т) и двукратного интегрирова- ния полученных уравмемнй неллины /Ь з у, = — ~- — +с,.+с,; Ы, ~1 б Р /6,~ .* .з у = — ~- — — — +а — + Сзз+ С Е,! ~ь1 б б 2 Постоянные имтегрироваиия определяем из условий закрепления стержкя и условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: при э=О уз =О;при з=аяз =рз ну( =уз',приз=!уз=О. Из а з з а з з этих условий находим Сз = — (За1 — 21 — а ), Сз = О, Сз = — — (21 + а ), б! ' ' б1 Сг — — —.
После преобразований получкм б Р Ь з уз = — - [з — за(21 — а)]; ОЕзе 1 уз = — — (-з + Зз 1 — з(21 +а ) + а 1). з з з з 3 ОЕ,!з ! Ра Ь В точке приложения силы Р имеем уз = уз = — —. Если сила прилоЗЕЛе1' Р1з жена посередине пролета, то яз - -у„,, = — —. 4ЗЕХе1 Координата у точки прмложемия склы после изгиба стержня оказывается отрипательной. Стержень прогмбается в сторону, противоположную положительному направлению оси у. Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если стержнь имеет п участков, необходимо совместно решить 2п уравнений пля определения 2п постоянных интегрирования.
Естественно, еще более громоздкими будут выкладки для стержня переменной жесткости. В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное. История науки, изучающей сопротивление материалов, в этом смысле достаточно поучительна. Существуют графические н графоаналнтическне методы построения упругой линии, изучение 20! которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным. Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных интегрирования.
Могут быть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭВМ эти методы практически не используют. 4.7. Стержень на упругом основании Расчетная схема стержня на упругом основании является достаточно уннверсальнок и позволяет предложить экономные способы решения многих задач. Представим себе прямой стержень, опирающийся на множество часто расположенных, не связанных между собою пружин или каких-либо других упругих элементов (рис. 4.47).
Рис. 4.47 Если к стержню приложены внешние силы, то со стороны пружин возникают реакции, каждая из которых пропорциональна местному прогибу. Так как расстояние между пружинами невелико, целесообразно представить реакцик в ниде распределенных сил, интенсивность которых ея пропорциональна прогибу: (4.22) 202 где ю — коэффициент пропорциональности, зависящий от жесткости пружин и частоты их расстановки.
Знак "-" указывает на то, что реакции направлены в сторону, противоположную прогибу. Подходя к аналогичным системам с более общих позиции, можно вообще представить пружинные опоры как некоторую сплошную упругую среду, обладающую тем свойством, что возникающие с ее стороны реакции подчиняются соотношению (4.22) независимо от физических и конструктивных особенностей основания. Стержень, расположенный на такого рода сплошной деформируемок среде, носит название сгперлснл на упругом основании.
Коэффициент ю называется ноэффииенгпон упругого основания. В инженерной практике такал расчетная схема получила широкое распространение и используется при анализе многих конструкций. Правда, соотношение (4.22) не всегда соблюдается, но часто его можно рассматривать как приближенное. Так, оно является почти точным в рассмотренном выше случае большого числа не связанных упругих опор. Оно будет также точным для плавающего стержня прямоугольного сечения (рис.
4.48, а). Здесь реакция со стороны жидкости в каждом сечении пропорциональна глубине погружения стержня. В то же время для шпалы (рис. 4.48,6), лежащей на упругом грунте, соотношение (4.22) следует рассматривать как приближенное, поскольку реакция в каждом сечении зависит не только от местного прогиба, но и от осадки грунта в соседних точках. Е Рис. 4.48 Лля стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании (см. рис. 4.47, 6), в первое уравнение системы (4.20) войдет еще одна распределенная нагрузка дя = — жил. С уче- том направления д и ея имеем пс7 — +же =Я. Из Лля численного решения уравнения (4.21) число ненуле- вых элементов в матрице А никакой роли не играет. Лля слу- чая закрепления стержня, показанного на рис. 4.47, а, компо- ненты вектора Е должны удовлетворять следующим краевым условиям: х = О, пк = О, М = О; з = 1, ия = О, М = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
