В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Величина Е1 называется жесткостью стержня при изгибе. Как и при кручении, она пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении. Возвращаясь к формуле (4.3) и исключая из нее кривизну 1/Р, получаем выражение для напряжения оч У=в Му (4.6) 1,' 171 Заметим, что в общем случае плоскость изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостью рОя (см. рис.
4.14). Иными словами, изменение кривизны стержня происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента. Этот общий случай изгиба мы рассмотрим несколько позже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны. При указанном условии момент элементарных сил аИГ относительно оси у равен нулю, а относительно оск х — полному изгибающему моменту М. Тогда получаем Рнс. 4.1В Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 4.15): Мужах птах = 7х Отношение,7х/ущах называется моментом сопрогпиеления сечения при изгибе и обозначается через И'х (измеряется всм или мм ): Хх Иl Ужах (4.7) Таким образом, (4.8) ошах = Их Для стержня круглого сечения .О4 О .рз — утех = ~ И'* = — О>1Ю .
(4.10) Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления Их. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по 172 Эта формула является основной в расчетах на прочность прн изгибе. Для стержня прямоугольного сечения со сторонами 6 и Ь ЦЬЗ ЬЬЗ .7 И;— (4.9) 12 ' б возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на рис.
4.16. При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений. Момент сопротивления Иг стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах. Поэтому при расчете стержня на прочность отпадает необходимость проводить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления. В приложении приведены таблицы стандартных профилей.
Кроме профилей, приведенных в этих таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении и задаваемые специальными стандартами. Рис, 4.17 Рис. 4.16 Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении Ю двух сечений (рис. 4.17): ии = — мы 1 2 Но Ыг М Йд = — = — с~г, р Е1, поэтому (4.11) При выводе формул для чистого изгиба прямого стержня не было сделано произвольных допушений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное. Однако следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил.
Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодействуюшим моментам, приложенным к торцам стержня. Решение будет точным только для случал, если внешние силы на торцах распределены по тому же линейному закону, что и во всех поперечных сечениях. Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, н в окрестности тордевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которые следуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зону исключить, как это показано, например, на рис.4,18. Тогда для средней части стержня все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные.
Рис. 4.18 Рассмотрим некоторые простейшие примеры, связанные с определением напряжений в стержне прн чистом изгибе. П р и м е р 4.1. Определить, как выгоднее расположить стержень с квадратным ноперечныы сеченнеы прн изгибе: а) так, чтобы плоскость 174 Рмс. 4.19 момента была параллельна сторонам квадрата, кли б) так, чтобы она совпадала с его диагональю (рис.
4.19)7 Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо подсчитать момент сопротивления Иг» в первом и во втором случаях. В случае а), согласно выражению (4,9), г㻠— — Л~/6. В случае б) .1» = Л'/12, ум»» = Лз/2/2, и тогда гг»»» Л~/(бь/2 ). Таким образом, случай а) является более выгодным.
В этом случае момент сопротивления И» оказывается примерно на 40 % выше. П р н м е р 4.2. Определить, какой процент экономки металла будет достигнут, если прн неизменных прочих условиях в конструкции, работающей на изгиб, применить вместо сплошного круглого сечения полое сечение с отношением диаметров ез/0з = О, 9 (рнс. 4.20). Рис.
4.20 Момент сопротивленкя сплошного круглого сечения определяется формулой (4.10): Иг, =0,1В,, з Пля полого сечения величина Иг», представляет собой разность моментов инерции большого н малого круга, деленную на ум „т.е. яР,/64 — ивз/64 17уз / 1 — аз ~1 - 0 1)уз О, 343. Из условия равнопрочности Иг»г = Иг»з, откуда .Оз/Юз = ф,343 = 0,7. Расход материала пропорционален площади сечения я~з я~7 ~3 з~з Р, = — '; Р, = — ' ~1 — — зу~ = — э0,10. Процент экономим матернаяа определяется разностью площадей, отнесенной к площади сплошного круга; '100%аз 1 — — '0,10 100%, или 100 % = 61 %. Р1 П р и м е р 4.3.
На рнс. 4.21 показана консоль, нагруженная двумя силами Р. Форма сечения балки Т-образная. Материал — чугун. Спрашивается, как рациональнее располо1кмть сечение: полкой вверх — вариант 1, или вниз — вариант Пу '""%11!1!11!!!11!!!1111!11!! Рис. 4.21 Поскольку точка А отстоит от центра тяжести сечеимм дальше, напра'кение в ией по абсолютной величине всегда будет больше, чем в точках В.
При укаэанном направлении сил Р сжатые слои балки располагаются внизу. Так как чугун на сжатие работает лучше, нежели на растяжение, точку А рациональнее поместить вмиз. Следовательно, сечение палимо быть расположено полкой вверх, т.е. следует предпочесть вариант 1. П р и м е р 4.4.
Лля двухопорнай балкм (рис. 4.22) подобрать сечение в виде двутаврового профиля, обеспечив прм этом двукратный запас прочности при Р = 20 кН,е = 1 и и ез = 300 МПа. Рис. 4.22 176 Накбольшяй нзгкбаюшнй момент вознкхает ка участке чнстого кзгнба н равен Ре. Нацряженке еж,„ве должно превышать цоловяны е,. Ре ЗЕЕ э Следовательно — < —, откуда гээ ) 133 см . 'Иl 2 По таблкне стандартных нрофклек (см. нркложенне) выбираем двутавр Ха 18, для которого ИГе = 143 смэ. П р к м е р 4.$. Проволока дкаметром Ы наматывается на барабан. Лкаметр барабана равен ээ. Сшределкть напряженке нзгнба, вознккаюшее в поперечных сеченнкх проволоки, еслк е < 11.
Крквяэна кзогнутой лроволокк задана. '1/д = 2/11. Поэтому, не определяя нзгнбаюшего момента, согласно формуле (4.3), сразу находкм 23 .. аж„= Š— * = Š—. О 11' Следовательно, црн цостоянной хрнвкзне напряженке еж,„возрастает пропорциональна дкаметру проволокн. 4.3.Напряжения при поперечном изгибе Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения.
Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Я. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежагцих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Рис. 4.23 Возникновение касательных напряжений т сопровождается появлением угловых деформаций у. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения аГ получает еще некоторые дополнительные угловые смешения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смешения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими.
На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений. Рис. 4.2б Рис. 4.24 Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Я не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба, действительно, при Я = сопз1 искривление всех сечений происходит одинаково (рис.
4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет (А'В' = А" В"). При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для и некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок Й/1 по сравнению с единицей, где Ь вЂ” размер поперечного сечения в плоскости изгиба; [ — длина стержня. По определению, данному в з В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины.
Следовательно, отношение Ь/! относительно мало н соответственно малой оказывается указанная погрешность. 178 Все сказанное пает основание принять гипотезу плоских сечений. Бупем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения по изгиба, образует и после изгкба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформапии г в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны. Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе Я и весьма малы1. Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном.
В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента. Теперь опрепелим приближенно касательные напряжения т при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникавшие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной И» (рис. 4.26,л). При поперечном изгибе моменты, возникаюшке в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на НМ. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис.4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
