В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следователь- но, РЬ Я=Р„= —. а+Ь Лля правого участка балки (а < з < а+ Ь) сила Рв, расположенная справа от сечения С', направлена вверх. Следовательно, на этом участке поперечная сила отрицательна: Ра Я = -Р а+Ь Эпюра поперечных сил в рассматриваемом двухопорном стержне изобразится двумя прямоугольниками (см. рис,4.5). Рассмотрим еще несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Лвухопорный стержень длиной ! нагружен равномерно распределенными силами собственного веса стержня. Определим реакции опор.
Очевидно, ф Р„= Рв = —. 2 На рнс. 4,7 зти силы показаны условно на основном рисунке. Строго говоря, их следовало бы изобразить на отдельном рисунке стержня с отброшенными внешними связями, поскольку зти силы заменяют действие связей, В предыдущем примере (см. рис. 4.1) именно так и было сделано. Однако обычно 162 для упрощения прибегают к условному изображению реакций, как зто и показано в рассматриваемом примере. Сумма, моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, например по левую, равна г М = Р»г — ег-, 2' гпе Р»г — момент силы Р» — направлен по часовой стрелке (знак "+"); дг — сила собственного веса на длине г.
Ее равнодействующая проходит через середину отрезка г, Следовательно, плечо силы равно г/2, а момент этой силы, расположенной слева от сечения С, направлен против часовой стрелки (знак "— "). Таким образом, ф чг М = — г — —. 2 2 Эпюра изгибающего момента изображается параболой, показанной на рис.
4.7. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в среднем сечении пролета при г = !/2: дР Ма»ах = 8 Поперечная сила в сечении С равна сумме сил, лежащих по одну сторону от сечения: д1 Я = Р» — дг = — — ег. 2 Эпюра поперечной силы изображается прямой. звз На рис. 4.8 показано построение эпюр кзгибающих моментов и поперечных сил на примере стержня, защемленного одним концом. Такого рода стержни называются иомсо ями. В данном случае с правой стороны на стержень не наложены связи, и изгибающие моменты и поперечные силы в любом сечении могут быть найдены без предварительного определения реакций. Рис.
4.6 В среднем сечении консоли через крестовину передается момент пары сил. В результате на эпюре изгибающих моментов возникает скачок. При переходе через сечение С сумма моментов сил, расположенных по правую или левую сторону от сечения, изменяется на величину 9Л. Рассматривая все построенные выше эпюры, нетрудно установить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Судя по виду эпюр, поперечная сила Я представляет собой производную от изгибающего момента М по координате э, направленной по плине стержня. Докажем, что эта закономерность действительно имеет место.
Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкок д = ~(я). Принятое направление для д будем считать положительным (рис. 4.9). Выделим из стержня элемент длиной 0з и в проведенных сечениях приложим моменты М и М + ИМ, а также поперечные силы Я и Я + Щ.
Направления для этих силовых фак- 164 торов приняты положительными в соответствии с обусловленным выше правилом знаков. В пределах малого отрезка Из нагрузку д можно считать равномерно распределенной. 1 = 7г7 Рис. 4.е проекций всех сил на верти- относительно поперечной оси Приравниваем нулю сумму кальную ось и сумму моментов С (см. рис. 4.9): Я -~ д Ня — Я вЂ” <Ц <Ь М+ д Ыз+ д~Ь— 2 =О; сЦ ЫМ = д' (4.1) Из ' ~Ь Уравнения равновесия (4.1) можно получить из уравнений (ВЯ) и (В11), если принять: Я, = Яя = О, Яя — — Я, дя — — — д, Мз= Мя- — О, и, =1гя =Ря =О,Мз =М.
КРометого,так как рассматриваемый стержень прямолинейный, то Из = Из. Иэ соотношений (4.1) можно сделать некоторые общие выводы о характере зпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня. Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагрузкой е = сопзг, очевидно, функция Я будет линейной, а М вЂ” квадратичной. Это можно было наблюдать на примере эпюр, показанных на рис. 4.7. 165 После упрошения и отбрасывания величины высшего порядка малости, получим Если стержень нагружен только сосредоточенными склами или моментами, то в промежутках между точками их приложения е = О. Следовательно, Я = сопвс, а М является линейной функцией ж В точках приложения сосредоточенных сил зпюра Я претерпевает скачок на величину внешней силы, а в зпюре М возникает соответствующий излом (разрыв производнон). 4.2.
Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, а Я = О. Для тех участков стержня, где соблюдается зто условие, изгибающий момент, согласно второму выражению (4.1), остается постоянным (М = сопв$). Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис. 4.10.
Й!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Е Чиппай «лой Рнс. 4.10 1вв Отвлекаясь от особенностей приложеняя внешних сил и условий закрепления стержня в целом, рассмотрим только тот его участок, где М = сопвс и Я = О. На гранипах этого участка действуют только моменты ОЛ (см.
рис. 4.10, а). Под действием моментов М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибаюший момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окружности. Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Пействительно, рассмотрим среднее поперечное сечение А-А (рис. 4.11, а), Точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимушественных смещений ни вправо, ни влево, поскольку и та, и другая стороны полностью равноправны. Следовательно, это сечение остается плоским. Разрезая стержень на две равные части сечением А-А, получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок (рис.
4.11, б). Пля каждой нз полученных половин приведенные рассуждения могут быть повторены (рнс. 4.11, в). Следовательно, средние сечения этих половин также остаются плоскими. Этот процесс деления можно продолжать дальше. Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается высказанное условие плоских сечений, Фактически зто есть доказательство того, что все сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лкшь поворачиваются. Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений.
Рис. 4.12 Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого (рис. 4.12). Рассмотрим два смежных сечения, расположенных между собой на расстоянии ох (рис. 4.13). Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол Ий верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтнральным слоем и отметим СР. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет слепуюшим: 1 Ю р ох' Произвольно взятый отрезок АВ = дх (см. рис. 4.13) получит приращение длкны А'В' — АВ. Так как сечения остаются плоскими, А' В' — АВ = (р+ у) пй — р сИ = у й, зев Рис.
4.13 где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтральной СБ. Положение этого отрезка пока неизвестно. Относительное удлинение АВ равно (4.2) Согласно закону Гука, и = Ее = Š—. У Р (4.3) 1ЕВ Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию о = О, называется нейгпральной ливиса сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. Свяжем теперь напряжение о с внутренними силовыми факторами, возникаюшимн в поперечном сечении стержня при чистом изгибе. СУММЛ ЭЛЙМИНТНДНЫХ СИЛ 0'И (Рис.
4.14) дает нормальную силу М в сечении. Но при чистом изгибе )з' = О. Поэтому рис. 4.14 ы ажению (4.3), У тт' оГ О или согласно выра Р г = О, откуда й знакомый нам из преедставляет со й знак ьно дыдуш Шей главы ста тический момент сеч ак статический й момент равен у н лю нейтральн " ой линии. Так к че еэ центкр пт яхсестки сечения. нейткральная я линия кроходитк р а в выражениях 4.2) и (4.3) полуо: читывается от б азом координата у в центральной оси, Т : она отсч чачаст о ой плоскости кривизны.
алиного 1 й к ивизна р, ка т определенность и р ет о а оси стержня. х слоя, или как кривизна ю оп еделенность в с систему осей х, у, т О 4) Н инат ис. 4.1 связанную О ом тяжести сечения. сь совместим с центр йт альной линии. Ось у пенормали к сечени ию а ось х по неитраль о она лежит в плос си х следовательно, о сисптелта пендикулярна оси ываемая подвижная с ы. Это — так называе пе еходе м енения кривизнь . меняется вп ространстве при р осей, положение которой гому. я как от о одного сечения к дру т в поперечном сечении стержня, оч И ибаюший момент зг ет быть выражен че рез напряжения и нормальная сила, может ы ттхоГ= Мк, ~туд.Р'= Мх.
г г 170 — 1 уя пГ = 0; — ~1 у НГ = М. Р Р (4.4) Первое выражение приводится к виду Это значит, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба обший случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом. Из выражений (4.4) получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: 1 М Р Е3,' (4.5) где 1с — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
