В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Раскладывая напряжение т вблизи угла (рис.2.27) на две составляющие по нормалям н сторонам угла, получаем напряжения т1 и тз. Так как парные им напряжения т1 н тз равны нулю, то в нуль обращаются и напряжения т1 и тз. Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют. 124 Рнс. з.зз ЛХ„ гл = ттах = аабз (2.23) В точках В тв = йттах~ (2.24) где а — большая, а Ь вЂ” малая сторона прямоугольника.
Коэффициенты а и и зависят от отношения сторон а/6 (табл. 2.1). Коэффициент,9 также является функцией отношения а/6 (см. табл. 2.1). Таблица З.ь Значения коэффициентов а, Ф 1а Ч На рис. 2.28 показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон в точках А: Угловое перемещение СРЬз 9Л! (2.25) йля эллиптического сечения (рис.2.29) наибольшие напряжения возникают в точках А по концам малой оси: 2Мя тл = гтрк = 2~ яаЬ2' в точках В 2Мк гв = — ,' тЬаз ' где а и Ь вЂ” полуоси эллипса. Рис.
2.2В Угловое перемещение для стержня эллиптического сечения имеет следующее выражение: 9Л! 'Р = яазЬз ' С а2 + Ь2 Лля сечения, имеющего форму равностороннего треугольника со сторонами а, наибольшие напряжения возникают по серединам сторон и равны тп1ах = 2ОМк/а . з Угловое перемещение в этом случае ЯЛС 'Р = Л 4 80 126 Обобщая все эти формулы, можно отметить, что при кру- чении М„ ттах = 9711 Сух' (2.26) (2.27) а также М„= а.у„б. (2.28) Потенцнальнел энергия, накопленная закрученным брусом, согласно формуле (2.20), равна 1 У= / Маешь 2~Ух (2.29) е Здесь ФКх и .7„— геометрические параметры, зависящие от формы сечения.
(табл. 2.2). Зля круглого сечения И'х и .ух совпадают соответственно с И1я и,у~, т.е. с полярным моментом сопротивления и полярным моментом инерции. Таблица я.я. Выражеиих ллх вычисления геометрических параметров Ю, и 1, Оканчанна табл. й.й 2.4. Краткие сведении о пленочной (мембранной) аналогии В результате того, что аналктическое решение задачи о кручении стержня с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает мепзод аналогий. В задачах механики часто встречаются случаи, котла решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям.
Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными х1, и у1 из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными хз и уз из другой задачи. Тогда говорят, что переменная хз является аналогом переменной х1, а уз — аналогом переменной у1. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными х1 и у1, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости хз от дз.
В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, сушествующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.
Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента — объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. Характер деформации пленки под действием давления можно всегда представить себе, если не точно, то, во всяком случае, ориентировочно. Следовательно, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений прн кручении стержня с заданной формой сечения.
Положим, например, что нужно установить закон распределения нплряжений в сечении, показанном на рис. 2.30. Представим себе, что на заданный контур натянута пленка, которая нагружена равномерно распределенным давлением. Изобразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам наклона пленки покажем ориентировочно распределение напряжений по сечению (см. рис. 2.30). л . гзо При помошн пленочной аналогии можно получить не только качественные, но и количественные соотношения.
Пля зтого используют специальный несложный прибор1. Он состоит из подвижного столика, на котором расположена плосипл коробка с натянутой тонкой резиновой пленной. Сверху пленка вплотную накрыта крышкой с отверстием по форме исследуемого сечения. К нижней части коробки подведена трубка, сообшаюшался со стеклянным манометром. Поднимая трубку, повышают давление под резиновой пленкой, и последняя деформируется.
Легко провести обмер плении посредством вертияально установленного микрометра. Координаты точки на пленке устанавливают продольным н поперечным перемешениями столика. После того хак определены перемешения, могут быть найдены и углы наклона касательной х поверхности пленки. Если по форме исследуемого сечения изготовить пробку и плотно закрыть ею отверстие в верхней крышке, то пленив Более подробпо с копструкпмек прмбора можпо озпакомптасп и предзпцппмх пздапмкх мастокпмго учебппп. 130 распрямится и жкдкость из объема под пленкой будет вытеснена. По уровню жидкости в стеклянной трубке определяют объем между прогнувшейся пленкой и горизонтальной плоскостью. Этот объем, как уже говорилось, является аналогом крутяшего момента.
В зависимостк от толщины пленки и силы предварительного натяжения замеренные прогибы и объемы будут различными. Чтобы исключить влияние жесткости пленки, одновременно с исследуемым сечением на том же приборе производят обмер пленки с круговым очертанием, Лля стержня кругового сечения жесткость и нелряжения могут быть определены расчетным путем. Поэтому оказывается возможным, сопоставляя результаты замеров, найти требуемые характеристики заданного сечения по характеристикам кругового сечения нз соображений пропорциональности, Например, геометрический параметр жесткости /„исследуемого сечения (см.
формулу (2.27)) можно определить из соотношения .7„Ъ' ° 7р Ра ' где 7р = я Рч/32 — полярный момент инерцки круга, Р— диаметр кругового сечения; У, Уе — объемы, ограниченные пленкой, для исследуемого и кругового сечений при одном и том же давлении. Аналогично можно вычислить и геометрический параметр И'„(см. формулу (2.26)): И'х метах Й~ а,е,л гпе И~ — тРз/16 — полярный момент сопротивления кругового сечения; ае, з, аежа„— максимальные углы наклона касательной к поверхности пленки для исследуемого и кругового сечений, полученные замером при одинаковых объемах, ограниченных пленкой.
Рассмотренная аналогия не является единственной. Лля задачи о кручении стержня могут быть предложены и другие аналогии, связанные, например, с законами гидродинамики. 131 В теории упругости при решении некоторых задач используют также электростатические аналогки, где законы распределения напряжений в упругом теле устанавливают путем замера напряженности электростатического поля в различных точках исследуемой области модели. Современнал техника вообще широко использует различные аналогии. В тех случаях, когда в качестве аналога используют искусственно созданную схему, метод аналогии называют моделироеаиием.
Этим методом исследуют многие сложные и недоступные непосредственному наблюдению процессы, такие, как, например, стабилизация ракеты в полете. Аналогами углов поворота ракеты в пространстве являются в этом случае электрические потенциалы в определенных узлах специально набранной электронной моделирующей установки. 2.5. Кручение тонкостенного стержни В практике машиностроения, и особенно самолетостроения, часто возникает необходимость расчета на кручение так называемых тонкостенных стержней.
Типичные формы прокатанных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показаны на рис. 2.31. Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров. Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые. Так, первые четыре профиля, показанные на рис. 2.31, являются открытыми, а последние три — замкнутыми. Характер распределения напряженяй в поперечном сечении тонкостенного стержня проще всего уствловить при помощи пленочной аналогии.
Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие по форме профиля и натянутую на нем пленку. Если приложить к пленке равномерно распределенную нагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависимости от того, замкнутым или открытым является профиль. Это различие иллюстрирует рнс. 2.32. В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней областью и под действием давления смещается (см. рис.
2.32,6). Это и предопределяет качественное разлкчие между формами пленки для случаев замкнутого и открытого профилей. Лканкн Наанка Наналмвннн НанНнва Наанка а р . ззз Пля открытого профиля пленка имеет наибольшие углы наклона по концам нормального отрезка (см. рис. 2,32, а), причем примерно в середине толщины происходкт смена знака угла наклона. С большой степенью точности можно принять, что напряжения по толщине незамкнутого профиля распределены линейно. В случае замкнутого контура деформированная пленка образует поверхность примерно постоянного угла подъема (см. рис.2.32,б), откуда следует, что распределение напряжений по толщине профиля близко к равномерному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
