В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.9). Центробежный момент инерции сечений, расположенных по одну сторону от оси, равен моменту сечений, расположенных по другую сторону оси, но противоположен ему по знаку. Следовательно, /хк — — 0 и оси х и у являются главными. Рис. Здп Рис. 3.9 Рассмотрим примеры определения главных осей и главных моментов инерции. П р н м е р З.б. Определить положение главных центральных осей н гланных маментоа для прямоугольного треугольниха, похазанного на рнс.
3.10. Пля центральных осей, параллельных катетам, имеем»» = ЬЛ»/Зб, Ух — — ЛЬ~/Зб, »»х — — — Ь»Л~/72. Согласно формуле (3.10), находам Ьбза = ЬЛ Если Л = Ь, то а = 45», и главкая ось совпадает с осью Л' — ЬЯ ' скмметркн равнобедренного треугольника. Из формулы (3.11) следует, 1 ... - ,'—" (г+ж'* /ю-'ю+е ). П р и м е р 3.7. Определить положение главных центральных осей и главных моментов для составного сечения (рис.
3.11). Рмс. 3.11 Положение центра тяжести С для этого сечения уже было найдено выше (см. пример 3.2). Пля каждой из составлявших фигур находим моменты инерции относительно произвольно взятых осей хз, уз. Лля треугольника находим Ь», —— — = 135000 мм = 13, 5 см; 60 ЗО з з, 12 30 60 Ф з 1, = — = 540000 мм = 54 см; У~ 30 60 гз у = - — — — — 135000 мм = — 13.5см . 12 Пля прямоугольника получаем Уз, = — = 2160000 мм = 216 см; 60 30 Ф з 12 Уу — — — — 540000 мм = 54 см . 60 ЗОз з < Певтробежный момент инерции прямоугольника определим путем переноса асей: уе,у, — — зя,у, + аЬг, нлк .Уз,у, — — 0 + ЗО 15 30 60 = ж 810000 мм = 61см .
166 Для полукруга воспользуемся снова методом перекоса осей. Сначала определяем моменты инерции относительно пентравькых осей яз, уз: 1яР з" 40 Л»» = — — = — = 62800 мм»» 6,28 см; *» — 2 64 — 128 40' зг4 20'1' 20' 128 ~ Зи / 2 = 17660 мм = 1, Тб ем~", 1»ззз О' Переходя х осям яг, уд, получаем »я 20 г »», = 62800+ 40 — = 1068000 мм = 107 см; » $, 2 уз, — 17360+ (30+ с) = 948000 мм = 94,8см; 2 з' 20» »»,з, — 0+ (30 + с) 40 — = 967000 мм = 96, 7 ем~. Суммируя полученные значения моментов инерции для составляю»них фк- гУР, находим моменты икеРцин относительно осей Яы уз лли всего сечение: .7», = 336 см; уз, »» 203 см~; У»,к, — — 164см .
Переходим к осям я, у, используя найденные ранее координаты центра тямести С: 1» — — 336 — 2, ббз ЗЗ, 3 = 103 см~; »з — — 203 — О, 997 ° ЗЗ, 3 = 1ТО см; У~з —— 164 — 0,997 ° 2,63. 33,3 = Тб,3 ем~. Согласно формуле (3.10), 2.76,3 182а = ' = 2,28; а = 33" 10. 170 — 103 На рис, 3.11 отмечено поломение главных центральных асей.
Согласно формуле (З.П), находим Ум»» = 220 ем; .7ии» = 53,0см . л, » Ось н, показанная на рис. 3.11, соответствует мкнкмальному, а ось е— максимальному значениям момента инерции. 166 Глава 4 ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 4.1. Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях стержня при изгибе Поп изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибаюшие моменты (см. ~ ВЗ). Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силы отсутствуют, изгиб называется чистым. Большен частью, однако, в поперечных сечениях наряду с изгибаюшими моментами возникают также поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным. Виды изгиба классифицируют и по другим признакам; некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем.
Для того чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом стержня на изгиб, необходимо, прежде всего, научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. строить зпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Рассмотрим некоторые характерные примеры и установим необходимые правила. На рис. 4.1, е показан простейший двухопорный стержень, нагруженный силой Р. Напомним епж раз, что показанная система, как и все, которые мы рассматривали до сих пор и будем рассматривать в дальнейшем, получена как результат опера ций, связанных с выбором расчетной схемы (см.
Ь В2). К анализу схемы двухопорного стержня сводится расчет очень многих машиностроительных конструкций, например балки мостового крана, показанной на рис. 4.2. Рис. 4.1 1г Рис. 4.Я Анализ внутренних сил начинают обычно с определения полной системы внешнкх сил. В данном случае необходимо определить реакции опор. Из условий равновесия находим реакции (см.
рис. 4.1): РЬ Ра Р* — — —, Рв — — —. а+Ь' а+Ь' гвв На расстоянии х от левой опоры проведем сечение С (рис. 4.1, б) и разделим стержень мысленно на две частя. Лля того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении С необхопимо приложить силу Я и момент М. Эти силовые факторы можно определить из условий равновесия одной из частей стержня. В 3 ВЗ было показано, что значение силы Я не зависит от того, рассматриваем мы условия равновесия правой или левой части стержня (ркс. 4.1, в). В данном случае удобнее рассматривать левую часть.
Если взять сумму моментов всех сил, действующих на левую часть стержня относительно центральной поперечной оси в сечении С, н приравнять эту сумму нулю, то получим Еслк бы слева от сечении С действовали не одна, а несколько сил, изгибаюший момент М в сечении определялся бы суммой моментов этих сил. Таким образом, изгибающий момент в сечении можно рассматривать как сумму моментов относительно поперечной оси сечения всех скл, расположенных по одну сторону от этого сечения.
В дальнейшем, для того чтобы избежать громоздких рисунков, иллюстркруюших равновесие отсеченных частей стержня, изгибающий момент будем определять именно так. Рис. 4.3 Знак изгибающего момента устанавливают по знаку кривизны изогнутого стержня (рис. 4.3) в зависимости от выбранного направления осей внешней неподвижной системы координат х0у. Если ось у (см. рис. 4.3) направить в обратную сторону, то знак кривизны, а следовательно и момента, изменится ка обратный. Этим правилом знаков пользуются прк определении перемещений стержня к формы изогнутой оси. При построении эпюр изгибающих моментов используют другое правило знаков (правило относительных знаков), при котором знак момента не зависит от направления внешних осей.
Эпюру моментов строят на оси стержня и ординату момента откладывают в сторону вогнутости упругой линии, т.е. эпюру моментов строят, как говорят, на сжатом волокне. Этому правилу можно дать и другое толкование. Если сумма моментов сил, действующих на левую часть стержня, дает равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, то ординату изгибающего момента в сечении откладывают вверх.
Если же равнодействующий внешний момент слева от сечения направлен против часовой стрелки, то ординату изгибающего момента откладывают вниз. Лля сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная зависимость: в случае равнодействующего момента, направленного по часовой стрелке, ординату изгибающего момента откладывают вниз, а в случае равнодействующего момента, направленного против часовой стрелки, — вверх.
Сказанное иллюстрирует схема, представленная на рнс. 4.4. Рис. 4.4 Возвращаясь к рассматриваемому примеру двухопорного стержн~ замечаем, что момент силы Р„, расположенной слева от сечения С, направлен по часовой стрелке. Следовательно, в сечении С ординату изгибающего момента нужно откладывать вверх.
В пределах изменения а от 0 до а изгибающий момент РЬ М = — а. а+Ь Рассмотрим теперь правый участок, где а изменяется от а до а+ Ь (см. рис. 4.1). Изгибающий момент в сечении С' удобнее рассматривать как сумму моментов внешних сил, лежащих гво справа от сечения. Очевидно, Ра М = Рв(а+ Ь вЂ” я) = — (а+ Ь вЂ” з). а+Ь Ординату момента следует откладывать вверх, так как момент внешней силы, лежащей справа от сечения С', направлен против часовой стрелки.
В соответствии с полученными выражениями для изгибающих моментов может быть построена зпюра, показанная на рис. 4.5. Эпюра является кусочно-линейной и на всей длине стержня расположена сверху. Это значит, что ось изогнутой балки, называемая упругой линией, всюду направлена вогнутой стороной вверх, что в данном случае достаточно очевидно. Рис. 4.5 Определим поперечные силы Я. Из условия равновесия левой или правок части разрезанного в точке С (О ( з < а) стержня (рис. 4.1) следует, что О = Р— Рв = Р .
Во всех случаях поперечная сила для прямого стержня равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. Отсюда можно установить правило знаков для поперечной силы. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, а если вниз — отрицательной.
Лля сил, расположенных справа от сечения, наоборот, если равнопействующая внешних сил направлена вверх, то поперечнял 4 В. И. Фсоаосьев сила в сечении считается отрицательной, а если вниз — положительной. Это правило иллюстрирует схема, показанная на рис. 4.б. Рис. 4.6 В рассматриваемом случае двухопорной балки сила Р~, лежащая слева от сечения С, направлена вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
