В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В итоге имеем г = — ~. ЯЯ' (4.13) ,изб ' В этой формуле, как и прежде, Я вЂ” поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно оси х, Я" — статический момент заштрихованной части сечения относительно оси х (см. рис. 4,33); Уз — момент инерции всего сечения относительно осн х. Касательные напряжения т предполагаются равномерно распределенными по ширине сечения б. В поперечном сечении стержня возникают напряжения, парные т. Они направлены по касательной к линии контура (рис.
4.34). Если нелравление Рис. 4.34 поперечной силы Я не совпадает с главной осью сечения, то, очевидно, Яя5; Ясак (4.14) где Я и Яя — составляющие поперечной силы по главным осям х н у. 1В6 П р и и е р 4.7. Определкть закон распределения касательмых напряжений в корытном профнве при поперечном изгибе в вертикальной плоскости (рис. 4.35).
ййв М(Ь+УЬ) и +ев Ь еул Рпс. 4.35 Лгй При размерах, показанных на рисунке, .Уя ж — (Л+6Ь). Для участ- 12 Л ка полки длиной з (см. рис. 4.35) имеем Яе и — Ья. Таким образом, для 2 полки, согласно формуле (4.13), 61яя ЛЬ(Л+ 6Ь)' (4. 15) м касательмое напряжение оказывается пропорциональным з. То же самое имеет место и для нихсней полка. Если разрез сечения произвестм на участке вертикальной стенки, статический момент части сечения, расположенной выше уровня у, будет равен б: =-~ЬЛ+ — -у ~, 2 ~ 4 и тогда Л 6Я ЬЛ + — — уз г— Лзй (Л + 6Ь) 1ВВ Здесь касательное нялряжение представляет собой квадратичную функпию у.
На рис. 4.35 показана зпюра распределеимя касательных напряжений по контуру. Знак т вдоль контура, как видим, пе меняется. Следовательно, найденное касательное напряжение сохраняет для всех точек сечения Рмс. 4.36 постоянное иаиравленпе, т.е. либо от краа 1 к краю й, либо ме от края й к краю 1, в зависимости от знака поперечной склм (рпс. 4.36).
П р н м е р 4.8. Найти закон распрекеленпя касательыык напряжений в круговом незамкыутом профиле прп изгибе в плоскости, перпендикулярной оси симметрнк (рпс.4.37). Рпс. 4.37 Момент инерции сечения относительно осп и равен 1л — — «и 6. з Статический момент запгтрккованной часты сечении определяется интегралом ое = б Я~мвййгй = л~е(1+ сову). Соответственно этому и т = — (1 + совр), после чего может быть построеыа эпюра г (см. Я лйб рнс.
4.37). 4.5. Центр изгиба Система сил, лежащих в плоскости сечения, как известно из теоретической механики, может быть приведена к любой точке плоскости в виде равнодействующей силы н момента. равнодействующая сила не зависит от точки приведения и во всех случаях равна поперечной силе Я. В этом можно 190 убедиться хотя бы на примере рассмотренного кругового незамкнутого профиля (см. рис. 4.37). Здесь равнодействующая касательных сил по оси у определяется следующим интегралом: тсоз<рбГ = — / (1+ соыр) соз уИу, | Я Г который, как легко установить, равен Я.
То же самое имеет место и для рассмотренного выше примера корытного и вообще для любого профиля. Рис. 4.зв Что касается равнодействующего момента в сечении, то он зависит от положения точки приведения сил. Так, например, в том же случае кругового незамкнутого профиля момент касательных сил относительно центра круга (рис. 4.38) будет Мо — — тКИЕ = — / (1+сову)йр = 2ЯВ. ЯЯ / При переходе от одной точки к другой момент изменится, очевидно, на величину Яа, где а — расстояние между зтими точками.
Так, если привести силы к точке А (см. рис. 4.38, е), то Существует такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется венгром изгиба. В рассмотренном примере центр изгиба находится на расстоянии 2Я от центра круга (см.
рис. 4.38, г). звз Лля корытного профиля (рис. 4.39) в точке А имеем Ь Г Мя — — 2 — у сбоев. 2/ О Согласно выражению (4.15), после интегрирования получим 36з МА = 1е —. И+ бЬ Отсюда следует, что центр изгиба находится на расстоянии 36~ Ь+ бЬ от средней линии стенки (см. рис. 4.39, в). Рис. 4.ЗВ Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает, очевидно, с центром тяжести. В некоторых простейших случаях положение центра изгиба может быть указано без проведения каких бы то ни было вычислений.
Например, у таврового и углового профилей (рис. 4.40) центр изгиба находится в точке пересечения средних Центр игала Рис. 4.40 192 линий стенки и полки. Момент касательных сил относительно этой точки всегда равен нулю. Итак, если момент касательных сил в сечении относительно центра изгиба равен нулю, то и момент внешних сил относительно центра изгиба должен быть равен нулю, иначе в стержне будут возникать деформации, свойственные не только поперечному изгибу, ио и кручению. В дальнейшем целесообразно, очевидно, при определении внутренних силовых факторов приводить касательные силы в сечении не к центру тяжести, а к центру изгиба и под крутящим моментом понимать соответственно внутренний момент относительно центра изгиба. Так, рассматривая, например, стержень, показанный на рис.
4.41, можно сказать, что поскольку линия действия силы проходит через ось з' (ось центров изгиба), то крутящкй момент в сечении равен нулю и стержень закручиваться не будет. Рис. 4.41 Рис. 4.42 Но, например, тот же самый стержень, защемленный одним концом и находящийся под действием собственного веса (рис. 4.42), будет закручиваться. Крутящий момент в заделке равен М„= Я 2Я = ф.
2А. 7 В И Фвовасввв Рис. 4.43 дополнительные касательные напряжения кручения распределяются в сечении по законам для открытого профиля. Прн этом ЗМ~ ЗФ 7 2 2 бе нб (см. формулу (2.28) 2 2.5). Аналогичная нартина имеет место и при изгибе тонкостенного стержня любого профиля, если только равнодействующая внешних сил не проходит в сечении через центр изгиба (рис. 4,43). 4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемегцения при изгибе откуда М й' (4,17) Форму изогнутой осн стержня нлн, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5).
В неподвижной системе координат уОз (рис. 4.44) (1 + у~2)272 ' Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла е между касательной к упругой линии н осью з (см. рис. 4.44) весьма мал. Позтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принять 1 и у з Р Рмс.
4.44 Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений: д = р', М = Е3ерл; Ц = (Е)еуп)', пя — — (Е.7ерн)". (4.18) Лля стержня с постоянным сечением имеем () = р', М = Е,г р"; Я = Е,г рп', л„= Е,) у1». (4.19) Соотношения (4.18) можно представить как систему из че- тырех линейных уравнений первого порядка й,1 — — дк(л) = О; Нл г(М вЂ” — Я=О; Ил г(9 М вЂ” — — =О; Ил ЕЗ,(в) — — 8=0, Йь, гЬ гпе иу — отклонение точек осевой линии стержня от ее положе- ния в недеформированном состоянии.
При изгибе прямолиней- ных стержней пз —— р, но при изгибе криволинейных стержней пу ф р. Угол поворота сечения д = Иия/Нл. Первые два урав- нения являются частным случаем уравнений (В9) и (В11).1 1 Первые два уравнение (4.19) отличаютсе от (В9) н (В11) нивками пеРеп йе н Я. Как пРавило, в сопРотивлеини матеРкалов напРавлеине силы Я, показанное ка рис. 4.9, считается поломктельным, тогда кан в механике, используюШей при выводе уравнений равновесия методы механики сплошной среды, такое каправлеиие счктветсв отрипательиым. 195 Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи: — + А(я) Х = Ъ, ИХ (4.21) гЬ где Х = Я, М, Ю, ая)т — вектор, характеризующий напряженно-деформированное состояние стержня; Ь = (йя,О, О, О)т. Матрица А(г) равна О 0 0 0 1 0 0 О 1 0 — — 0 0 К.ув 0 О -1 0 А(к) = Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21) Эти сложные задачи статики стержней рассмотрены в монографии В.А.
Светиицкого "Механика стержиеи" (- М.: Высас шк., 1987. Т1.). 196 содержит четыре произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Например, для стержня, показанного на рис.4.44 имеем: 1) я = О, мя — — д = О, 2) г = 1, М = О, 1~ = — р. Для стержня с переменным сечением и переменной по в распределенной нагрузкой д(в) опрецелить напряженно- деформированное состояние (т.е. найти перерезывающую силу Я(и), изгибающий момент М(я), угол д(я) и перемещение ая(к)) проще всего численными методами решения систем дифференциальных уравнений [9]. Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений — метод начальных параметров.
Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случая нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.11) В курсе высшей математики, в разделе, посвяшенном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными н постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем вид Е(г) = К(г)С+ Е„(г), где К(з) — фундаментальнел матрица решений однородного уравнения (4.18), С вЂ” вектор произвольных постоянных, ń— частное решение неоднородного уравнения (4.21). Матрицу К(г) можно получить из однородного уравнения ,1ЕΠ— +АЕ~ = О, Ыз решая его четыре раза прк следуюших начальных условиях: о 1) яз —— 0 4) я4 —— 3) хз —— Я(0) М(0) 0 1 0 0 0 О 1 0 0 0 0 1 0 О О О 1 сз сз с4 197 Каждое из решений яй(я) (у = 1,..., 4), удовлетворяющее этим у начальным условиям, есть столбец матрицы К(х), поэтому матрица К(з) при з = 0 является единичной.
Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решал это уравнение прн нулевых начальных условиях. Компоненты вектора С(сз, сз, сз, с4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все с нз краевых условий при г = 0 нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем — двухточечными краевыми. Например, для случая, показанного на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
