В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4.56). Пусть точка А приложения равнодействуюшей внешних сил имеет в сечении координаты хО и УО (см. рис. 4.56). Тогда относительно главных осей равнодействуюшая сила Р дает моменты Мх Руе и Му Рхе, Таким образом, внецентренное растяжение — сжатие оказывается ропственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибаюшие моменты, но и нормальная сила /У = Р. В произвольной точке В с координатами х, у нормальное напряжение о определяется следуюшим выражением: РУО У Р*О х о = — + — + —. (4.30) Рмс.
4.00 Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая о нулю: УОУ ~0~ — + — + — = О. 211 Наибольшие напряжения, как и цри косом изгибе, имеют ме- сто в точке с координатами хм у1, наиболее удаленной от ней- тральной линии: / 1 УеУ1 хех11 а =Р— + — +— При внецентренном растяженки — сжатии в отличие от косого изгиба нейтрапьнел линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных хе н уо по крайней мере одна из координат х, у, входящих в уравнение (4.31), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположной стороны центра тяжести через квадранты Я, Я и 4 (рис.
4.57). Рис. 4Лт как известно из курса аналитической геометрии, равно с ОС = /'г+ Р В данном случае (см. рис. 4.57) 1/Г ~/уо!Х, ~- 4Щ Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него. (4.32) Расстояние от начала координат до некоторой прямой, уравнение которой ау+ Ьх+с = О, В пределе при яе = уе = О, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно.
По мере того как точка приложения силы упвляется от центра тяжести, отрезок ОС уменьшается и нейтральнвл линия, следовательно, приближается к центру тяжести. Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении н сжатии нейтральны линия может как пересекать сечение, так и нахопиться за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению.
Поэтому желательно, чтобы нв; пряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Лля этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести. В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так к растягивающими. Когда точка приложении силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения.
Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра. Рассмотрим примеры. П р н м е р 4.14. Установнть, который нз стержней, показанных па рнс. 4,58, способен выдержать ббльщую нагрузку без признаков пластнческнх деформаций. В случае а сила Р для ослабленного сечення является нецентральной. Ее плеча относнтельно осн у равно а/4. Следовательно, нанбольщее растягнвающее напряжение Р бРа/4 4 Р Южая = + аза/2 а(зп/2)з 3 аз ЗГЗ Рис. 4.58 а Рмс. 4.58 В случае б сила Р является центральной и а, ь, = Р/а .
3 Таким образом, в стержне, имеющем вырезы с двух сторок, напряжение будет меньше. П р и м е р 4.15. Определить размеры ядра сечения для стержня, имеющего круглое сечение радиусом А (рис. 4.59). По условиям симметрии ядро сечения также должно иметь форму круга. Пусть точка приложения силы находится на осн у, а нектральная лкння касается контура сечения (см. рис.
4.59). Тогда ОС = П, уо = г, гз =О. Учитывая, что Г = »А~, а э» = яд~/4, получим кз формулы (4.31) радиус зара уо = г = П/4. П р и и е р 4.16. Определить ядро сечения для стержня, имеющего сечение в виде прямоугольника со сторонами 6 и Л (рис. 4.бб). Сначала по формуле (4.32) определяем ординату уе точки А пересечения контура ядра сечения с осью у.
Когда след нормальной силы находится в точке А, нейтральная линия совпадает с нииснкм основанием прямоугольника, при этом ОС ю Л/2, »е = б, Р = 3Л, »» = ЛЛ~/12. Формула (4.32) дает уз = Л/б. Когда равнодействующая сял переместится в точку В, расположенную на расстоянии Л/б от центра тяжести, нейтральная линия совпадет с 214 правом стороной прямоугольника.
Снмметркчно точкам А н В распола- гаются точки Я' и В' (см. ркс. 4.60). Теперь остаетсю решить вопрос, по какой кривой от точки А У к точке В будет перемешаться точка приложения силы Р, если нейтральная линия поворачивается вокруг правого нижнего угла сечения (см. рис. 4.60). Формула (4.30) выражает условие, прн котором нормальное напряжение в некоторой точке сечения равно нулю. Потребуем, чтобы в нижнем правом углу сеченхю, т,е. в точке с координатамя у = -Л/2 н х ж 6/2, напряжение равнялось нулю.
Тогда, согласно уравнению (4.31), имеем — = — + — =О, 1 уоЛ/2 хо6/2 6Л ЬЛз/12 ЛЬз/12 или буо бхо 1 — — = — ж О. Л 6 Рнс. 4.60 Если координаты точки приложения силы хо, уо удовлетворяют этому уравнению, то сила Р перемешается по прямой. В данном конкретном случае эта прямая проходит через точки А и В.
Соединяя точки А, В, А' н В' прямыми, получаем ядро сечения в виде ромба. 4.10. Изгиб бруса большой кривизны Ло сих пор мы рассматривали задачи, связанные с изгибом прямого бруса. Обратимся теперь к изгибу кривого бруса, полагая, что внешние силы приложены в плоскости его кривизны. Принято различать брус малой и большой кривизны. Основным признаком для такого деления является отношение высоты сечения /г в плоскости кривизны к радиусу кривизны осн бруса рб. Если зто отношение существенно меньше едннипы (Л/ро < 0,2), считается, что брус имеет малую кривизну.
Лля бруса большой кривизны отношение Л/Ро соизмеримо с единицей. Таким образом, указанное деление является условным и не имеет четкой границы. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы также н к брусу малой кривизны. Очевидное изменение претерпевает только формула (4.5), определяющая кривизну нагруженного бруса. Взамен нее для бруса малой кривизны имеем 1 1 М Р Ре Еуз (4.
33) 216 где 1/рс — кривизна ненагруженного бруса. Таким образом, задачи, связанные с расчетом бруса малой кривизны на прочность, не содержат в себе специфических особенностей. Вопрос о перемещениях будет рассмотрен особо в гл. 5. Перейдем теперь к бру- ~Р Р су большой кривизны. К схеме такого бруса сводится, например, задача расчета на / прочность крюка подъемни! ка илн звеньев металличе,/ ской цепи (рис. 4.61). Положим, имеется уча- сток бруса большой кривиз- Г ны постоянного сечения,на! груженный по концам моментами 9Л (рис. 4.62). Так же как и для прямого бруса (см.
з 4.2), можно пока- Р зать, что множество точек, образуюгцих до изгиба поРис. 4.61 перечное сечение бруса, по- сле изгиба также образует плоское сечение, но повернутое в пространстве. Иными словами, поперечные сечения бруса большой кривизны при чистом изгибе остаются плоскими. Выделим из кривого бруса двумя близкими нормальными сечениями (см. рис. 4.62) злементарный участок. При изгибе смежные сечения повернутся одно относительно другого на угол Л(И1я), и в слоях бруса возникнут некоторые удлинения. ф ~11 >~~ а~я ВЯЗ ~а,Ф д+й~ Ю Х Рис.
4.62 Введем необходимые обозначения. Через рв (см. рнс. 4.62, а) обозначим радиус кривизны оси бруса (линии центров тяжести сечений), а через га — рапиус кривизны нейтральнога слоя. Радиус гв пока неизвестен. В дальнейшем мы увидим, что гд всегда меньше ре и нейтральная линия для бруса большой кривизны смещена относительно центра тяжести в сторону центра кривизны. Орпинату у будем отсчитывать от нейтральной линии.
Удлинение слоя АВ (см. рис. 4.62, 6) равно ВВ' ул(бр) АВ (га + у)сйр Здесь предполагается, что в процессе изгиба бруса у не меняется. Однако, строго говоря, зта не так. Если рассмотреть условия равновесия элементарной полоски АВ (см. рис. 4.62, в), станет очевидным, что межпу соседними волокнами должно существовать взаимодействие в виде сил, направленных по радиусу, в результате чего форма поперечного сечения бруса меняется и размер у не остается прежним. Для сплошных сечений зто изменение несущественно. Пля тонкостенного же бруса радиальные перемешения волокон довольно велики и могут коренным образом изменить картину распределения напряжений в сечении.
Отношение Ь(йр)/йр пропорционально изменению кривизны бруса. Из рис. 4.62 видно, что с одной стороны СВ = = (Йр+ Ь(йр)) г, где г — радиус кривизны нейтрального слоя 217 после деформации; с другой стороны, СО = теда. Приравнивая этн выражения, получаем Ь(сйр) 1 1 Таким образом, можно написать, что н, далее, (4.34) В полученных выражениях наглядно проявляется основная особенность бруса большой кривизны: размеры поперечного сечения соизмеримы с рапиусом те, поэтому величина у, стоящая в знаменателе, имеет существенное значение и напряжения по высоте сечения распределяются нелинейно. Для бруса малой кривизны размер у по сравнению с те мал и о = Еу При 1/те = 0 это выражение принимает вид уравнения (4.3) для прямого бруса.
яо Рнс. 4.63 Будем полагать для простоты, что сечение бруса симметрично относительно плоскости кривизны. Тогда ось у в сечении является осью симметрии (рис. 4.63) и момент элементарных сил и пг' относительно этой оси равен нулю. Напишем 218 теперь выражения для нормальной силы 1т' и изгибающего мо- мента М Ф= оН'; М= ауде г г После подстановки о из (4.33) получаем 7У =Его — — — „— „' М= Его Так как нормальная сила равна нулю, то Выражение для М преобразуем, разбивал входящий в него интеграл на два слагаемых: (4.35) у от — то и г М = Его Первое слагаемое представляет собой статический момент се- чения относительно нейтральной линии и равно произведению Гс, где е — расстояние от нейтральном линии до пентра тяже- сти, (4.36) с= ро то Второе слагаемое, согласно выражению (4.35), равно нулю.
Таким образом, /1 11 М = Еиц — — — ) Гс. (4.37) ~1 т то) (4.38) гто Исключив при помощи полученного соотношенкя разность 1/т-1/то из выражения (4.34), получим следующую расчетную формулу для определения нормальных напряжений: М у ю = — —. ге то+ у Напряжения, как видим, меняются по высоте сечения нелинейно. Эпюра напряжений представляет собой гиперболу, одна из асимптот которой совпадает с осью кривизны (рис. 4.64). В зависимости от формы сечения наибольшие напряжения могут иметь место как в верхней, так и в нижней точке сечения. Рис. 4.Б4 Рис. 4.65 Зля того чтобы пользоваться формулой (4.38), необходимо определить те. Для этого рассмотрим интеграл (4.35). Введем новую переменную и = те + у (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
