В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 30
Текст из файла (страница 30)
дУ дР. (5.4) Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу оп. В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция которого на направление силы оп равна Нбп. Тогда работа силы йРп оказывается равной ЫРпдбп/2. Теперь приложим всю систему внешних сил. При отсутствии силы оп потенпиальная энергия екетемьгенова приняла бы значение У. Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы йРпбп, которую совершит сила дРп на перемещении бп, вызванном всей системой внешних сил. Величина бп опять представляет собой проекцию полного перемещения на направление силы Рп. Переп произведением дРпбп множитель 1/2 отсутствует, поскольку на пути бп сила йРп остается неизменной.
В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в ниде У + дРпбп + — дРпдбп. 1 (5.5) Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение гбРпббп(2 как величину высшего порядка малости, находим бп =— дУ дР„' (5.6) Следовательно, дифференцируя потенциальную энергию по одной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находим перемещение точки приложения этой силы по направлению силы. Если еше раз внимательно рассмотреть вывод, то легко установить, что в выражении (5.6) силу Р„можно трактовать как обобщенную, т.е. как некоторый силовой фактор. Тогда б„следует рассматривать как обобщенное перемещение, т.е. ззз как такой геометрический параметр, на котором обобщеннал сила Р„совершает работу.
Например, если под Р„понимать внешний момент 9Й (см. рис. 5.8), то б» представляет собой угловое перемещение в точке приложения момента по направлению момента. Если тело нагружено силамк гидростатического давления, то, дифференцируя потенциальную энергию по давлению, получаем изменение объема тела. При доказательстве теоремы Кастилиано мы не накладывали ограничений ни на форму тела, ни на систему внешних сил.
Мало того, мы не ставили даже вопрос о том, подчиняется или нет материал закону Гука. Однако в скрытой форме эти ограничения все же присутствуют. Если зависимость между силами и перемещениями нелинейна, то работа, совершеннал системой внешних сил, зависит от того, приложена эта система до или после силы ЫР».
Иначе говоря, слагаемые У в выражениях (5.4) и (5.5) различны, и теорема Кастилиано становится несправедливой. В подавляющем большинстве задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, зависимость между силами и перемещениями является линейной, и к решению таких задач теорема Кастилиано полностью применима.
Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил. Примеры таких систем были приведены ранее (см. з Вб). При определении перемещений в таких системах пользоваться теоремой Кастилиано в том виде, в каком это делалось здесь, недопустимо. В случае нелинейной зависимости между силами и перемещениями используют более общие энергеткческие соотношения, выведенные на основе принципа возможных перемещений.
Более общую формулировку получает и теорема Кастилиано, которая в этом случае трактуется как теорема о минимуме так называемой дополнительной работы. Рассмотрим простейшие примеры определения перемещений при помощи теоремы Кастилиано. ззз П р и м е р 5.1. Определить прк помощи теоремы Кастнлмамо угол поворота правого торца стержня (рмс. 5.9), нагруженного моментом 9И. Ржс. 5.0 Внутренняя потемцмальнал энергия стержня прм хручекки, соглас! Г М.'Ы» но еыражеиию (5.3), равна У = ~ . Тах кех М, м Щ а |кесткость о йпз! предполагается неизменной то У = †.
дифференцируя по ЯИ нахо- 2С», 3 дУ 9п1 днм р = — = —, что совпадает с известяым выражением для угла дбп С.7» ' закручивания. П р и м е р 5.2. Определить прогиб ковсолм (рис. 5.10), нагруженном на конце силой Р. Рпс. 5.10 ! 1 Мед» Патенцмальмая энергия стержня при мзгмбе У = / — '. На рас- / 2Е»» а стоямни» от конца М» = -Р». При постоянной жесткостк Е1» получаем Рз 1з дП РР У = —. Перемещекие точки приложения силы Рд = — = —. 5Е»» дР ЗЕБР.
Это значение прогиба уже было получено ранее методом китегрнрованйз упругой лнним стержмя. П р и м е р 5.3. Определить вертикальное перемещение тачки А ддя конструкцмк, показанном иа рмс. 5.11. Жестхостм стержней алмнаковы и равны ЕГ. Если не пользоваться теаремок Кастилпано, то такую задачу рецгнть было бы довольно трудно. Нужно было бы иакти удлинения всех стержней, а затем путем геометрических преобразований установить положение 234 узлов ляформвровакыой фермы.
Такой способ решеива врывав бы, васо. миеиио, к громоздким выкладкам. Прв помощи теоремы Кастплваио эта задача решается несравнеиыо праще. Ряс. 6.11 Сначала методом вырезаыкя узлов какодым усилия в кя1кдом стержне и получеиыые зиачеыкя ВГ сводим в таблвцу Далее определяем значенке потенциальной энергкы для каждого ТУУТ стержня У< = — '' к заполняем последний столбец этой таблицы. 2ЕГ Суммируя, находим Рз Т У = (Т+ 4зГ2). 2ЕГ Искомое перемегцеиие точки А равно б» = — = — (7+ 4зЕ), ВбТ РТ дР ЕР 5.3. Интеграл Мора Определение перемешений при помощи теоремы Кастилнано, как можно было убедкться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность нанти перемешенкя только точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек системы в любом направлении.
Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо найти перемещение точки, к которой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Палее, составляем выражение потендиальной энергии системы с учетом силы Ф.
дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки по нзлравлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, н положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение. Определим перемещение точки А в направлении оси х1 для стержневой системы, показанной на рис. 5.12. Рис. 6.1З Приложим в точке А по направлению х1 силу Ф.
Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутяший момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид Маг + Мяе где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а второе слагаемое — дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф, Понятно, что и М„р, и М„е являются функпиями х, т,е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: Мз = Мер + Мза Мз = Мзг ~- Мзе и т.д.
ззе С овершенно очевидно, что дополнительные силовые факторы М„е, Мхе, ... пропорпиональны Ф. Если силу Ф, на- пример, уд воить удвоятся соответственно и дополнительные силовые факторы. Следовательно, Мх М~р+Мя1Ф' М Мзр+Ме1Ф Му — Мур+Мугф (5 7) й! = !ур+ !угФ; <Ь = Яхр+ЯягФ; Яу = Юур+ЮугФ, где М„г, М.г, ...
— некоторые козффипиенты пропорциональ- ности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине стержня. Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то М„= М„г, Мя = М ! н т. д. М = М н т. д. Следо- кан внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рас- сматриваемой точке в заданном направлении.
Вернемся к выражению знергии (5.3) и заменим в нем вну- тренние силовые факторы их значениями (5.7). Тогда (М, р + М гФ)г !!з ( (М р + М гФ)г !!з ! у Р 2 ~ ~ г ~ г ~ с (М + М Ф)г,!з ~ (~ + !у Ф)г,! ! ! г | (<,!,„+ !~, Ф)г !! ~ й„(ц„~ + !~„~Ф) Лифференциру» зто выражение по Ф и полагая после зтого Ф = О, находим перемещение точки А: дУ~ / МхрМ„! ~Ь ( М,рМ„!(!з | МурМу! ~!у | еАсрЯз! ~~ ~уЯу!'Яу~ ~~. ( .5) ! Полученные интегралы носят название ингдегралов Мора. ззт Заметим, что интегралы Мора могут быть выведены и без использования теоремы Кастилиаио из простых геометрических соображении. Рассмотрим, например, консоль, показанную на рис. 5.13, и определим перемещение точки А по направлению х«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
