В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Рассмотрим частный случай, когда сечение стержня по- стоянно и постоянна изгибнел жесткость Е.7 . Конечно, и в этом частном случае для решения можно воспользоваться чи- сленным методом, но можно получить и аналитическое реше- ние. Последовательно исключая из системы (4.20) Я, М и д, получаем уравнение четвертого порядка относительно у (пк = у): Е3., (4.23) где 4«4 = ж/(Е,7з).
В уравнении (4.23) использовано наиболее распространенное обозначение у вместо ия для прогибов прямолинейного стержня, лежащего на упругом основании. Решение уравнения (4.23) можно записать в виде у = е «'(С~сбпйз+ Сзсозйх)+ +е '(Сз сйп йз + С4 соз ля) + у*, (4.24) где у' — частное решение неоднородного уравнения (4.23). Во многих случаях более предпочтительной оказывается другая форма записи, которал получается из (4.24) простой перегруппировкой слагаемых: у = С~ сйп«ззЫсг+ Сз ап/сзспкз+ 4Сзсозкгзй(сто С4созйзсйкг4-у", (4.25) где зп кз и сп кг — гиперболические синус и косинус.
Я04 Если функция у определена, то, согласно выражениям (4.19), без трупа можно определить изгибакнцие моменты и поперечные силы. П р и м е р 4.41. Леревянный стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.49) плавает на воде. К стержню в середкне приложена сосредоточеннзя сила Р. Опревелкть наибольший изгибающий момент в вредположенин, что сила Р ие очень велика я стержень ею не затапливается. Рмс. 4.49 Если в каком-то сечении балка сместится вниз иа расстояние у, давление со стороны воды увелкчится иа ту, где у — плотность воды. Интенсивность сил реакпии будет дэ = — тйу, где 6 - ширина прямоугольного сечения. Следовательно, Ж = тй, и, согласно выражению (4.23), Собственный вес стержня уравновешивается реакпкей жидкости, поэтому полагаем в уравнении (4.23) д = О. Тогда под велкчинай у следует понимать смешение, отсчитываемое от равновесного положения стержня, которое тот занимает при Р = О.
Так как у' = О, получаем, согласно (4.25), у = С1 э!и йз эЬ йз + Сз э!н йз сЬ йз + Сз соэ йз эЬ йз + Сэ соэ йз сЬ йз. Последовательно днфференпируя зто выражение, находим у = (С1 — Сз) йэ!и йзэЬ йз+ (С1 — Сэ) )гз!и йзсЬ йз+ +(Сз + Сэ ) й соз йз зЬ йг + (Сг + Сз) й сов йз сЬ йз; у" = 2С|й созйз сЬ йз+ 2Сзйз соя йзэЬ йз- — 2Сзйз в!пйз сЬ йз — 2Сэй э!и йззЬ йз; усэ = 2(Сз — Сз) й сов йзсЬ йз+ 2(Сз — Сэ) й совйзвЬйз- — 2 (С1 + Сэ) йз в!к йз сЬ й з — 2 (Сз + Сз) йз з!и йз эЬ йз. Выберем начало отсчета з в точхе прнложенкя силы Р.
Прк з = О по условию симметрик у~ю О, а поперечная сила справа от среднего сечения 20$ равна — Р72. Следовательно, ЕЯу"')з е = -Р72 при в ю 7, М ю Ейре = О и Ц = Е.7ую = О. Таким образом, получаем четыре уравнения для определения констант Сы Сз, Сз и Са.' Р Сз+Сз=б; Сз — Сз= — —; 4ЕУйз ' Сз соеНсЬ 47+ Сз соеИеЬН вЂ” Сза1пИсЬН вЂ” СчмпИсЬН = О; Сз (сое Н еЬ Н вЂ” е1 и Н сЬ Н) + Сз (сое И сЬ И вЂ” е1 в И еЬ И)+ +Сз(- сов НсЬ Н вЂ” вп НвЬ Н)+ +Сз(-сов НеЬй( — ми ИсЬ Н) = О, откуда Р еЬз И+мне Н ОЕуйз вЬ Н сЬ Н+ а1п Н сов Н' Р Р С,=- —; С,= —; ОЕ,Ц~з ' ОЕуйз ' Р 1з й7+ 2й7 С<— ОЕ3йз вЬИсЬИ+в1вИсовН' Изгибающий момент в стермне определяем через вторую пронзводкую функции у по формуле М = Е.7у", илн Р 7 еЬз 41+ в1пз й1 и= й ЬН ЬН Н й7соейзсЬйз-соейзаййз- сЬз Н + соа' И вЂ” в1п йз сЬ йз + .
е1а йзей йз еЬ И сЬ Н + з1п Н соз Н Наибольший изгибающий момент имеет место при з = О: Р ейз й7+ е1вз й7 4й зЬ И сЬ Н + е1а И сое Н ' С увеличением длины 1 изгибающий момент растет, но не беспредельно. При очень большов длине Ммзз = Р74й, где й определяем по формуле (4.2б).
Вид эпюры изгибающих моментов меняется в зависимости от длины 7. Прн малой длине зпюра имеет внд кривой, показанной иа рис. 4.49. Лля более длинной балки эпюра изгибающего момента меняет знак и принимает внд кривых, показанных на рис. 4.90. Рис. 4ЛО 206 4.6. Косой изгиб Под косым изгибом, как нам уже известно, понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб в двух главных плоскостях яОх и яОу (рис.
4.51). Лля этого изгибающий Ю Рис. 4Л1 момент М раскладывается на составляющие моменты относи- тельно осей х и у: М = Мсйпа; Мя — — Мсозо. Нормальное напряжение в точке, имеющен координаты х и у, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Мс и Мю т.е. М,у Мух а — — +— (4.27) илн Гу, х а = М ~ — сйп а + — соз а 1з у = -х — сна. 1у (4.28) Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нор- мали вектор а, то концы векторов, как и при простом изгибе, образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая а = 0: Легко установить, что при косом кзгибе нейтральнял линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.
Лействительно, угловой коэффициент й~ следа плоскости момента (см. рис. 4.51, б) представляет собой тангенс угла пс /с1 = Ща. Угловой же коэффициент нейтральной линии (см. формулу (4.28)) равен ,7, /сз = — — с1да. 1я Так как в общем случае .7я ф,ую то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитическои геометрии, не соблюдается, поскольку й~ у~ — 1/Йз. Стержень, образно выражаясь, "предпочитает" изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет меньше.
Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси минимального момента инерции (см. рис. 4.51, б). Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, та максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут х1, у1. Тогда, согласно выражению (4.27), получаем М у1 Мях1 О'тая = + 1я,уя (4.29) 20а Когда сечение имеет простую форму (круг, прямоугольник), наиболее опасная точка мажет быть определена сразу.
В случае сложной формы сечения удобно прибегать к графическому методу. Пля этого сечение вычерчивают в масштабе и проводят главные оси х и у. Затем, согласно формуле (4.2в), получаем уравнение и, строим нейтральную линию. При по- моши линейки и угольника (рис. 4.52) определяют точку, наиболее удаленную ат нейтральной линии, а ее координаты х1, у1 определяют непосредственно с чертежа. Рис.
4.52 Рис. 4.52 П р и м е р 4,12. Балка равнобокого уголкового профилк (рнс. 4.53), защемленная одним концом, находитсл под действием собственного веса. Тр*буетсх определить наибольшее напрлжение в заделке. Длина балки 1 = 3 м, профиль Ха 10, толщина стенок профили б = 10 мм. По таблицам стандартных профилей (см.
пркложение) определхем массу балки на единицу длины — 15,1 кг/м. Отсюда д = 1,48 Н/см. По формуле М = д! /2 находим наибольший изгибающий момент: М = 55500 Н.см. Плоскость этого момента параллельна стороне уголка и составлвет с главными оскми угол а = 45'. Вычерчиваем в масштабе поперечное сечение (рис. 4.54) и цровсдкм главные центральные оси х н у. Рис. 4.54 Из таблиц сортамента находим /в = / „= 254 см', /„;„= 74, 1 смз. Согласно формуле (4.2Т), получаем уравнение гой нейтральной линии 254 у = -я — с1545' = -3,83я. 74,1 Проводим зту прямую, к определяем наиболее удаленную от нее точку А (см. рнс.
4.54). Координаты втой точки будут яг = -3,6 см, у~ = -5,4 см; Ме Му М 47090 Н см. По формуле (4.29) опрезГ2 2 деляем 47090 б,4 47090 3,5 ета*— 234 74, 1 П р и м е р 4.13. Двуконорная балка (рнс. 4.55, е) нагрувсена силами Р и 2Р. Определить наибольшее напряжение, еслк сеченке балкн— прямоугольник со сторонами 5 и 26 (рнс.
4.55, 6). г Рмс. 4 55 В данном случае внешние силы приложены по главным осям сечения и удобнее всего рассмотреть раздельно зпюры изгибающих моментов от одной и от другой силы. Наиболее опаснымн будут точки, расположенные на ребре АВ, где суммируются наибольшие сзсимающне напряжения, илн на ребре СР, где суммируются наибольшие растягивающие напряжения. Рассмотрим средний участок.
На расстоянии я от левой опоры 2Р Р (рнс. 4.55, е) имеем Ме — — — (31 — я); Мя —— — я. Для точкк ребра СР 2Р31 — я Р я амяя = — — + — —. 3 В; 3Г' 210 Так как ЬР = Ь(26)з/б и Ик зз 266з/б, то ддн среднего участка н зз охазываетсз не завискщим ат з и равным ЗРН6 . На нервом н третьем участках ианркжеиик будут меньзними. 4.9. Внецентренное растяжение — сжатие При внецентренном растяжении равнодействуюшая внешних снл не совпадает с осью стержня, как прн обычном растяжении, а смешена относительно оси я и остается ей параллельной (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
