В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Будем считать для простоты, что искомое перемещение является следствием только изгиба. Рис. Ы.13 На элементарном участке длиной «Ь произойдет изменение кривизны, и правое сечение повернется относительно левого на угол «1д = — — — Ых, где 1/р — новая, а 1/ре — старая кривизна. Вследствие возникновения местного угла поворота правая часть повернется как жесткое целое, и точка А переместится по направлению х«на пе« = АА" = АА«ива = ОАапаЮ. Но ОАз«па = ОВ.
Следовательно, ое„= ОВод. Отрезок ОВ представляет собой не что иное, как момент относительно точки О единичной силы, приложенной в точке А по направлению х~. Таким образом, «У.« — — М«««д, или «'1 «1б„= ~ — — — ~ Мгах, Ь ре1 откуда б„= — — — М«Ых. ззв Аналогично можно составить выражения перемещений для кручения, растяжения и сдвига. В общем случае б,, = ВрМк1(Ь+ (-- — Мк11Ь+ -- — Мк1 Мх+ (;„ Р Рб яр 1 1 + кпИ1 Ил+ 7врЯв11Ь+ 7кю Я„1 Нп. (5.9) 1 1 1 Выражение (5.9) является более универсальным, чем выражение (5.8), поскольку в нем не предполагается линейной зависимости о, (1/р — 11'ре), с и т. д. от внутренних силовых факторов.
Оно применимо, в частности, и пля случая неупругого изгиба и кручения. Если материал подчиняется закону Гука, то Мк ~ ~ М А И~)  — к ° с= ! 7 зс С~к' Р Рб Е3' ЕР' СГ' и тогда выражение (5.9) переходит в (5.8). П р н м е р 5.4. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанном на рис. 5.14, а. Жесткость всех участков постовнна к равна Еу. Рмс. 6.14 В рассматриваемом стержне основиувз роль нгракгг нзгнбкые иеремещеннз. Перемещении вследствие расткменкк и сдвига тал зге малы по сравненюо с перемещенккми изгиба, как н энергия расткжеиив и сдвига по сравнению с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора (5.6) берем одни — дла нзгнба— / МгМ«ез ЕУ (изгиб во второй плоскости и кручение отсутствуют).
Изгибающий момент силы Р на участке АВ равен кулю. На участке ВС М, = Рз, а на участке СВ М« = РН(1+з1пг«). Момент от единичной силы на участке АС раасн нулю, а на участке СР М« — — -1 В(1 — соа р). Зкак мкнус поставлен в свкзн с тем, что едкничный кзгибающкй момент направлен в сторону, противоположную М, . Произведение МеМ«на участке АС окзэываетса равным нулю. Поэтому интегрирование ведем только на участке СВ. Замензз лз на В«гз«« получаем е!2 РВэ 5„= — — / (1+ з!ар) (1 — соек«) йэ«, ЕУ,/ е откуда 1 РВз 5„= — — —. 2 ЕУ' Знак минус указывает на то, что горизонтальное перемещение точкк А направлено не по единичной силе, а против нее, т.е.
влево (рис. 5.14, 6). П р и м е р 5.5. Определить, насхольхо раскроется зазор в разрезанном кольце (рнс. 5.15) под действием сид Р. Жесткость кольца равна ЕУ. В точке В (см. рис. 5.15) изгибающий момент Мр от заданных снл Р равен РН(1 — сову), где р — цектральнмй угол. Полагаю левый конец кольца закрепленным, прикладываем к правому единичную силу, с тем чтобы нанти перемещение одного конца относительно другого (рис.
5.16, е). Ре. акциз опоры будет равна единице, поэтому оба рисунка рис. 5.16, а н б, равноценны. Из сказанного, между прочим, скедует, что вообще, когда нужно найти еэанлное смещение двух точек, следует прикладывать в этих точках равные, протнвополож- Рмс. 5.15 240 но направленные единичные силы, действующие по пркмон, соединяю. щей эти точки. Момент от единичной скды Мг = В(1 — сову«). Исхомое Ряс. 5.15 взаимное смещепие зя М~М Из РЯ з 6„=/ йу ы/ ю — / (1 — соа у) Ыу, о Роз кли бл = Зя— Ез ' П р н м е р б.б. Определить взаимное смешение точек А в таком же кольце (см.
предыдущий пример), ио иагруяеииом силами, действующими перпеидккулярио плоскости кольца (рис. 5.17, а]. Ряс. 5.17 зе зя РПз Роз 6„= — ~ (1 — сову) ау+ — ~ авз у пу, а.),,( й.у,( о о 241 Рассмотрим кольцо в плахе (рис. 5.17, б). В сечении В возникает ие только изгибающий, но и крутящий момент. Первых равен моменту силы Р отиосительиа оси у, а второй — моменту той яе силы относительно оси .з (см. рпс. 5.17, б). Очевидно, Мз — — РЯз1п у, М» = РЯ(1 — сову).
Прикладываем в точках А едииичиые силы взамен сил Р. Тогда Мзз = = Пз1п у, М,~ — — Н (1 — сову). Обращаясь х вырюкепию (5.5), оставляем в ием два первых интеграла и получаем иди Здесь искомое перемещение определяется жесткостью колька как на кру- чение, так и на нагиб. Из рассмотренных примеров видно, что при определении перемешений для стержня, изогнутого по дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях.
В табл. 5.1 даны наиболее часто встречаюшиеся при решении подобных задач интегралы. 5.4. Способ Верещагина Основным недостатком определения перемешений при по- моши интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемешений в стержне, имеюшем большое количество участков. Однако, если он состои~ из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными. Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функпий ~1(к) .
Як); (5.10) 0 при условии, что по крайней мере одна из этих функций — линейная. Пусть Як) = Ь+ кк. Тогда выражение (5.10) примет вид 1 = Ь Як) Ия+ /с кЯя) Нк. Р, х о 3 $ э$ ~. ф ~ м Ф,Я Рис. В.1а Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой у1(х) (рис. 5.18), или, короче говоря, площадь эпюры Ях): | Ях) Нх = й1.
О Второй интеграл характеризует статический момент этой пло- щади относительно оси ординат, т.е, где хц.т — координата центра тяжести первой зпюры. Теперь получаем х = й1(ц+ цхц.т) Но 6+ цхц т — 1з(хц,т). Следовательно, У = й1уз(хц.т). Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой зпюры на ординату второй (линейной) зпюры под центром тяжести первой. В случае, если обе функции |1(х) и уз(х) — линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или плошадь второй эпюры на ординату первой.
В каждый из интегралов Мора (8.8) входит произведение функций МкрМк1, Мир Мк1 и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены зти эпюры для изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных снл. Разница заключается лишь в том, что результат перемножения делится не на жесткость Е3, как при изгибе, а на жесткость Елк, если речь идет о кручении, или на ЕГ или Сà — при растяжении и сдвиге.
На первый взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений. Для его применения необходимо вычислять плошадь эпюры моментов и положение ее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрирования, как и в методе Мора. Однако встречавшиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник (рис. 8.19), для которых плошадь з1 и положение центра тяжести известны. При кручении, растяжении и сдвиге эпюры оказываются еше более простыми: они, как правило, линейные и состоят из прямоугольников и треугольников в различных комбинациях.
а- Ъ а+л д~епй ю Ф 0зклзли зг И Ц.х Рмс. 5.10 П р и м е р 5.7. При помопгк пралила Верешагкиа определить перемешение точки А для стержня, показанного на рис. 5.20, а. Строим эпюру изгкбаюпгнх моментов от заданных сил Р (рис. 5.20, 5), Затем, полагая внешние силы раиными нулю, прикладываем в точке А единичную силу и также строим эпюру (ркс. 5.20, е к е). ,Палее проводим перемножение эпюр. Рис. 5.20 На участке ВС площадь эпюры моментов заданнмх скл й ж Р1з/2. Ордината единичной эпюры под центром тюкестк зпюры моментов заданных снл для этого участка бупет Мде,, = 1/б. Перемножая эти величины, находим ОМы., = Р1з15. Участок ВВ нельзя рассматривать целкхом, так как ка этоы участке зпюра моментов единичном склы является ломаной. Надо взять половину РР 5 5РР участка, т.е.
отрезок АВ. Здесь й = —, Мы.е = -(, ОМы,е = —. 2''б''1б Складывая полученные выражения для ОМ~зео находам (ОМ~е.з)яо = 23РР 4 $ ля участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение к, разделка его на Е.7, находим искомое перемещение 23Р13 24Ез ' П р и и е р 5.5. В системе, показанной ка рис.
5.21, а, определить, ва какое расстояние разойдутся точки А под действием сил Р. Строим зпюры моментов ат заданных скл Р и ат единичных скл, приложенных в тачках А (рис.5.21, 6 к е). Очевидно, результат перемко- Р Р Р Р Х Рнс. 6.21 жених зпюр на вертикальных участках будет равен нулю.
Пли горизонтального участка получим 11 = Р1, Мге, = 1. Следовательно, 3 Р)з б» = —. Е» ' П р к м е р 5.9. Определять перемепюкие точкк А консоли, иагруженнок равномерно распределенной нагрузкой е (рис. о.22, а). Ржс. $.22 Строим зпюры моментов от задаикых сил к от единичной силы, приложенной в точхе А (рис. 5.22, б к в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
