В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Перемнозгенке эпюр должно быть проведено по участкам — дяя правой и дезой полезны стержня. Но дяя левой позовниы эпюра моментов заданных сид представдяет собой дарабадмческую трапецию, площадь к положение центра тажестм которой нам неизвестны. Поэтому проводим так называемое "рассяаиваиие зпюры".
Вместо зпюры, показанном нв ркс. 5.22, б, строим отдазьио зпюры от нагрузки, располажемиой справа, к отдедьмо от нагрузки, распаяаженной слева от точки А (рис. 5.22, в). Теперь на левам участхе взамен параболическом трапеции имеем простые прямоугоньннк, треугодьимк и парабадмческий треугольник. Лвя всех этны фигур ндащадк и лоаоженне цемтров тяжести известны. Пронзведенке зпюр для правого участка равно кулю. На левом участке соответственно ддя прямаугояьикка, треугольника и парабоямчесяого треугольнмка пояучаем сведующие слагаемые: 41з 1 41з 1 41з 31 15 4' 16 3' 48 В ' откуда 17 е1~ бз = — —.
384 Е7' П р и и е р 5.10. Рассмотрим пример пространственной скстеиы. Определмм перемещение точны А в направяенни й дяя пространствеикого стержня (ркс. 5.23, а). Жесткость ддя эяеиеытов прк изгибе в одной и другой ляоскостм равна ЕУ. Жесткость на крученые равна СУ,. Рз д Рис. 5.23 Основмымк перемепгенияиы в системе валяются перемещения, связанные с изгибом н кручением стержнем. Строим эпюры изгибающих ы крутящих моментов от заданных смя и ат едкикчной силы (ркс. 5.23, б к е). Перемножаем эпюры мзгибзющнх моментов, причем только эпю. ры, зежащие в одной плоскости. Это следует мз выражеыкя (5.8), где пад мнтеграяамм перемножают только моменты Мз~ Мз~ и МззМзг, но ке МззМу1 н МяэМзь ° 248 Приведем результат перемножении здюр изгибающих моментов, соответствующих участкам АВ, ВС, СВ и 0Е: РР 2 Р1' 1 Р1' О; — - [; — — -; — 1.
2 3' 2 3' 2 Так как жесткость на изгиб в обеих плосхосткх дла всех участков одна н та ме, все эти величины следует сломить к разделить на Еб. Тогда получкм 3 Е3' Эпюры крутзщнх моментов перемиомиотсе толью на участке С0. Моментм имеют общий зкак. Поэтому получаем РР 01, Искомое перемещение б„= РР~ — + — ). / 2 ззЕТ 01,)' Ллз стержне круглого сечение С.7„ю — 21 ю О, ТТЕ1 е 2О+э) РР б* ге 2 —. Е3' 5.5.
Определение перемещений и напряжений в витых пружинах Витые пружины принадлежат к числу наиболее распро страненных упругих элементов машиностроения. Их применяют в самых различных конструкциях в качестве аккумуляторов упругой энергии амортизирующих, возвратно-подающих и многих других механических устройств. Вопросы расчета н проектирования витых пружин относятся к курсам деталей машин и приборов.
Однако в силу установившихся традиций основные расчетные формулы выводят обычно в курсе сопротивления материалов, поскольку примеры расчета пружин дают наглядную иллюстрацию методов определенкя перемещений. Витую пружину можно рассматривать как пространственно-изогнутый стержень, осевая линия которого в простейшем случае представляет собой винтовую линию. Геометрическая форма осевой линии определяется диаметром витка Р, числом витков и и углом подъема а (см.
развертку на рис. 5.24). Подъем витка можно характеризовать также шагом пружины ж з = яР вайа. Лля всех встречаюшихся на практике пружин шаг в много меньше «Р, и угол а, следовательно, можно считать милым. Обычно а < 5с. Свойства пружин зависят также от формы поперечного сечения витка. Как правило, пружины навивают из круглой проволоки. Обозначим диаметр сечения проволоки через Ы (рис. 5.24). Рнс. Ь.гв Рис. Ь.ге В зависимости от вида воспринимаемых рабочих нагрузок витые пружины подразделяют на прулсины расгпялссния (рис.
5.25, е), прулсины слсагишг ~рис, 5.25, 6) и пружины кручения (рис. 5.25, в). В первых двух случаях пружина нагружается силами, равнодействующая которых направлена вдоль ее оси. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной осн пружины. Конструктивной особенностью пружин перечисленных типов является отделка концов. Концевые витки пружины растяжения и кручения отгибают с таким расчетом, чтобы могло гье быть осушествлено ее крепление и смежным деталям.
У пружины сжатия храйние витии поджимают и сошлифовывают с торцов, чем обеспечивается созданиеопорныхплоскостей. При определении перемешений и напряжений, однако, указанные особенности пружин обычно не учитываются и концевые витии из рассмотрения исключаются. Рис. 5.26 Определим зависимость изменения высоты пружины растяжения — сжатия от осевой силы Р.
В любом поперечном сечении витка пружины растяжения возникает результирующая внутренняя сила Р (рис. 5.26, а) и момент М = РР)2. Полная сила в сечении параллельна оси пружины, а плоскость момента М совпадает с плоскостью пары сил Р. Нормальное поперечное сечение витха повернуто по отношению к этой плоскости на угол а. Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей, связанных с сечением (рис. 5.26, б), находим Р > В. М„= Р— сова; М = Р— з1п а; 2 ' 2 Я ж Р соз а; Ф = Р в1в а. (5.11) Пля того чтобы определить осевое перемешенне А, прикладываем к концам пружины единичные силы и находим вознихающие при этом внутренние силовые факторы.
Последние, очевидно, определюотся выражениями (5.11), уменьшенными вРраз: с М„1 = — сова; М1 = — в1па; Я1 = сова; Ф~ = яапа. Пля определения перемещений в цилиндрической пружине необходимо, следовательно, написать четыре интеграла Мора из шести (см. формулу (5.8)). Однако перемещения, обусловленные нормальной и поперечной силами, как и для всякого стержня, малы, а вследствие малости угла а малым будет и осевое перемещение, связанное с изгибом витков. Поэтому 1 М„М„~Их СУ, 1 где О,У, — жесткость витка на кручение.
Полагая сова ю 1, поР0г лучим А = — 1, где 1 — полнел длина рабочей части витков, 40.У„ равная 1 ж ийп. Таким образом, р„рз„ 4С.Ух При определении о пля пружины растяжения отогнутая часть витков на ее концах во внимание не принимается. Лля пружины сжатия из полного числа витков следует исключить примерно по 3/4 витка с каждого торца, поскольку зти витки поджаты при навивке к соседним и свободно деформироваться не могут. Таким образом, предполагается, что 1,5 витка в работе не участвуют.
Если пружина навита из круглой проволоки, то Х„=,уев = яН4/32, и тогда формула (5.12) принимает вид 8РДЗв 4 (5.13) Поскольку витки пружины растяжения — сжатия работают в основном на кручение, имеем Мя Р.0 тшах = %я 2И'я В случае кругового поперечного сечения Мв 8РП гшв* = Иг „,уз Переходя к пружинам кручения, заметим, что прн нх расчете нанбольшнй ннтерес представляет определение углового перемещения одного конца относительно другого. В поперечных сечениях витка пружины кручения возникает полный момент М = 9Л (рис.
5.27), Раскладывая его по осям, находим М' = 9Л сова; М„= 9Л в1па, После приложения к концам пружины единичных моментов получим М' = сова; М„1 = вша. Вследствие малости угла а пренебрегаем перемещением, связанным с кручением витков, а сов а полагаем равным единнпе. Тогда ~ М1Мс,~з 9Л( 1 Е~', Е,7, ' нлн 9ЛхЮп Ф= Е,7 Наибольшее напряжение изгиба 9Л Отвх = Й ° в 263 Задачи, возникающие прн расчете витых пружин, далехо не исчерпываются изложенным. В случае, когда диаметр проволоки Ы соизмерим с диаметром витка Р, возникает необходимость введения поправок на большую кривизну. В некоторых случаях бывает необходимо определить так называемые вторичные перемещения, например изменения диаметра или числа витков пружяны растяжения.
В ряде случаев представляет интерес создание пружин с нелинейной зависимостью осадки А от силы Р. Это достигается тем, что часть витков в результате осадки пружины последовательно выключается из работы. Встречаются задачи, связанные с расчетом нецилиндрическнх пружин, и многие другие. Все они, однако, выходят за рамки курса сопротивления материалов и здесь не рассматриваются. 5.6.
Теорема взаимности работ Теорема взаимности работ, подобно теореме Кастилиано, относится к числу общих теорем сопротивления материалов. Она прямо вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип. Рис. 6.26 Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила Р1 в точке А и сила Рз в точке В (рис. 5.28). Полагал, что к системе может быть применен принцип независимости действия снл, определим работу, которую совершат силы Р1 и Рз при прямом и обратном порядке приложения. Прикладываем сначала в точке А силу Р1. Эта сила со- 1 вершит работу — Р1 5*„где б„, — перемещение точки А по на- 2 правлению силы Р1, вызванное этой силой. Далее, в точке В 264 прикладываем силу Рз. Эта сила совершит работу, которая 1 будет иметь аналогичное выражение — Рз бвз.
Одновременно 2 совершит работу и сила Р1, поскольку при приложении силы Рз произойдет и пермещение точки А. Работа силы Р1 будет Р1 блз, где блз — перемещение точки А по направлению силы Р1 под действием силы Рз приложенной в точке В. В итоге получим сумму работ при прямом порядке приложения сил: 1 1 — Р1 бл, + — Рз бвз + Р1 блз.
2 2 Теперь приложим сначала силу Рз, а затем Р1. Тогда, очевидно, выражение работы будет следующим: 1 1 — Рзбвз + — Р16лт + Рзбвт 2 2 Приравнивая работы, находим Рбля = Рзбвт (5.14) Полученный результат может быть сформулирован следующим обрезом: работла первой силы на перемещении тпочки ее приложения под действием втлорой силы равна работпе втпорой силы на перемещении тпочки ее ириложения под действием первой силы.
В этом и заключается теорема взаимности работ. Эта теорема приобретает ббльшую общность, если учесть, что здесь, как и при выводе теоремы Кастилиано, под Р1 и Рз можно понимать не просто силы, а обобщенные силы, а под блз и бв, — обобщенные перемещения. Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему взаимности перемещений. Если Рз = Рз, выражение (5.14) принимает вид блз - -бвт (5.15) Перемещение тлочки А лод действием силы, приложенной в тпочке В, равно перемещению точки В под действием такой же силы, приложенной в точке А. Сказанное может быть проиллюстрировано на примере балки, нагруженной силой Р поочередно в точках А и В Рис, б.йв (рис. 5.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
