В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е.зз Рис. ела угол поворота в сечении Ю под действием этих сил будет бтз, горизонтальное перемещение в точке А будет е1з и т.д. Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения 6,ь. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено вообще к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то„другое и третье совместно. Обратимся к интегралам Мора (см.
З 5.3). Лля того чтобы определить бд„следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую й-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы М,р, М»р, Мяр, Мр, Щ р и Я,р в выражении (5.8) заменим на М„ю М ю Мяь, Ль, 1,1 ь и Я ю понимая под ними внутренние моменты и силы от единичйого Й-го фактора. В итоге получим М,еМ ' И» ( М ьМ ' 1Ь ( МяьМ»1 ~~» ~~ | ~ ! ФьЖ1(Ь ~ й Ц ьД ' (Ь ( ЙяЯ»»Яя1 Н» 1 1 1 где М„;, М„,... — внутренние моменты и силы, возникающие под действием 1'-го единичного фактора.
Таким образом, коэффициенты б,е можно получить как результат перемножения 1сго и и-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы 1 и Й непосредственно указывают, какие факторы должны быть деремножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то бзй представляет собой результат перемножения з-х единичных эпюр на й-е единичные эпюры. Очевидно, что б;й = бйзь Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений (6.3), а с другой — из теоремы взаимности перемещений (см. 2 5.6), поскольку перемещения б;й, и бй, возникают под действием одной и той же силы, равной единице.
Величины б;р, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2,..., возникающие под действием заданных внешнкх сил в основной системе. Они определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры. Еще раз напомним, что в подавляющем большинстве случаев перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рамы, значительно превышают перемещения растяжения и сдвига.
Поэтому в выражении (6.3) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь (см. 2 5.1). П р и м е р 6.1. Раскрыть статкчеспую неопределнмость и построить зпюру изгкбающих моментов для рамы, показанной на ркс. 6.16. Рмс. 6.16 Рама три раза статкческн неопределнма. Выбираем основную систему, отбрасывал левую заделку.
Лействке заделки заменяем двумя силами Хз, Хз и моментом Хз (рнс. 6.16). Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид: бы Хз + быХз + бззХз = — бзе, бззХг+бззХз+бззХз = -бзе, бззХз +бззХз+ бззХз = -бзз. Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом.
Позтому, пренебрегая сдвкгом к сжатием стержней, строим зпюры изгибающих моментов от заданной склы Р н от трех единкчных силовых факторов (см. рнс. 6.16). Определяем коэффипиевты уравнений, считая, что жесткость па изгиб всех участков рамы постоянна и равна Еу. Величину бы определяем перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Лля каждого участка берем, следовательно, площадь эпюры и умножаем на ардкнату этой же эпюры, проходящую через ее неитр тявгестн: 1 7 1э 2 г 71~ бы = — ~- — 1+21 ° 1 Е.71 2 3 ) 3Е,7' 2!э бю=бю= —; Е!' 21з бзз = бзз = —; Ез' Р!з 61р — — — —, 2Е71 5Р 5!з бгз = бзг = —; бю = —, 2Ез' 3Е7' 31 бзз = —; Е.7 ' 5РР 62 р 5Е7' РР бзр = — —. 2Е7' Подставляем найденные хоэффнциеиты в канонические уравнения.
После сокращений получаем 7 5 Р1 5 5Р1 3 — 1Хз + 2!Хз+ — Хз = —; 21Хз+ — 1Хз+ 2Хз = —; 2 2 3 5 5 Р1 2 — 1Х, +21Х +3Х 2 Решая эти уравнения, находим Хг = -Р7гч Хз ж 7Р7'15, Хз — — Р17 г2. Заметим, что перемещения бгз ври г = 5 всегда положительны, поскольку плошади эпюры и ординаты имеют общий знак.
Определяем, далее, и остальные коэффкпиенты урааненик, перемножая соответствующие эпюры: Расхрытме ствтмчсской нсопределммостм ма этом заканчквается. Эпюра нзгмбающнх моментов может быть получена надожеккем на зпюру моментов заданных сял трех едмнмчмых эпюр, увеакченных соответственно в Хы Хз н Хз раза. Суммарная эпюра пзгмбающмх моментов представлена на рмс.
6.17. Там же показана форма мзогмутой оск рамы. ! уу — Д1 Рис. б.17 Рис. б.16 П р к м е р б.2. Опредеамть усмнмя в стержнях статячссхм ксопредслммой фермы (рмс. б.18, о). Жестхостк ЕГ всех стержней одмнзновы. Панны стержней равны 1 мям 1А в соответствмн с рксунхом.
Ферма два раза статмчсскк неолредеакма: однн раз вмешнкм я одмн раз внутренним образом. Выбкраем основную систему, заменяя правую шарнмрную опору катком н разрезав стержень 6 (ркс. б.1В, О). Канонвчесяме уравнения нмеют внд 6ыХ~ + 6шХз = -6~~,' 6згХ1 +6ззХз = -6зв. Овределяем коэффмцмемты ятях уравненкк. Стержкк работают на растяжение я сжатие, поэтому псремещеняя 6рэ будут опредевяться нормзльнымм скламм, вознмкающммм в стержнях. Так как по длкне каждого стержня нормальная смла не меняется, то построснмс эпюр становятся мзлмшнмм, м мы просто составмм табл. б.1 для уснлмй, возмккающкх в стержнях от смл Р м от первой м второй едмнкчных сна, Опредавенке смл проводки кз условкй равновесия узлов.
Палее, учнтывая, что 1 Н<Иь пз 6~;Уь1а ЕЕ ЕЕ а где 1а — данна стержня с номером м, вычнсяяем значения для промзведеняй )ггг1э1а м результаты снова сводны в табл. 6.1. Затем, сумммруя по столбцам табккцы, яакоднм ~/м б з =Ьм = — ~~ д!! !чз! =- — ! ЕГс ! ЗЕГ зе 1 ч-» з 3! бз!= — ~ !у! !л= —,' ЕГ2 ЕГ л 1 1 к,у,, (2+2 Гг)! ЕГ с-! з" ЕГ » ! ЗР! Ззю = — ~ !!!е)оз!»= — ! =ЕГ 2- ЕГ' » ! ЛР! б = — ~~ !«!»№!»=-— ЕГ ~ 2ЕГ »=! л ! Канонические уравнеикя принимают вид Л' ЗХ! — — Хз = — ЗР; 2 — Х, + 2 !1+ «Гг) Х, = Я Р, Л' 2 откуда 19+ 1гЛ ЗЛ' 11 + 12«/2 11 + 12«Г2 Теперь, чтобы найти усилия Ф в кюкдом из стержней,надо к сиде № добавить силы !У! к Фз, увеикченные соответственно в Х! и Хз раза. Резувьтаты этом операции приведены в последнем столбце табл.
6.1. П р л и е р З.З. Построить зпюру изскбаюздкх моментов дия рамы (рис, 6.19, а). Точки А к В рамы связаны между собой податливым стержнем с зкесткостью ка растяжение Ее Ге. М! 4 к! Рж . 6.16 Система одна раз статачесам аеоиределкма. Разрезая стержень АВ в верхней тачке, получаем осыавиую систему (рис. 6.19, б). Строим, далее, эпюры моментов ат эадаввой снлм Р к от едаиачиай силы (рис. 6.19,е я е).
Кроме того, ыа участка АВ, где аеобхадимо учесть рзстхмеиае, строим эпюру нормзльыай сялы И. Вычисязем хоэффякаеаты аанонвчесааго уравнеымз быХз + 61~ — — О, провода перемыомеыке не тоаьао зпээр изгибающих момектоз, мэ и растагнзаюшей силы: 61э 1 6РР бы — — — + —; дгр = — —.
ЗЕУ ЕоРэ' ОЕ1 Определхем Хм 61р Р 1 х бы 2 3 У 1+— бЕеГеР Как вадим, усяляе в стермые завысит ат отношеянз местности рамы па изгиб к жесткости стержня АВ ыа растаменке. Если жесткость стержня АВ очень неявка, то Хг = Р/2, а стержень воспринимает половину силы Р. Если стержень АВ очень податлив, то Хэ -в О, и вез сила Р воспринимается рамой. Рмс. 6.20 На рмс. 6.20 представлена эпюра изгибающих моментов в раме к форма ее изогнутой асн.
б.4. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости Положим, имеется некоторая симметричнзл рама (рис.б.21,а). Ее правую часть можно рассматривать как зеркальное отображение левой части относительно плоскости симметрии. При расчете таких рам оказывается возможным упростить решение задачи и снкзить число искомых силовых факторов. Рис. е.з1 Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением снл, приложенных к ее левой части (рис. 6.21, 6). Под кососимметричной, или антисимметричной, нагрузкой будем понимать такую, прн которой силы, приложенные к правой половине рамы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой половине, но противоположны им по знаку (рис.
6.21, в). Аналогично классифицируем и внутренние силовые факторы. Рассмотрим для этого некоторое произвольное сечение рамы, в котором возникает шесть силовых факторов. В правой и левой плоскостях произведенного сечения (рис. 6,22) силы и моменты равны. Посмотрим, какие из шести силовых факторов образуют зеркальное отображение относительно плоскости Р .е.зз ятв сечения. Такими оказываются три: два изгибаюпшх момента к нормальнзл сила. Будем их называть свмметричаыми енугаренвими факторамк.
Крутящий момент и обе поперечные силы в принятой терминологии должны быть незваны кососиммегаричными факторами. Каждый из них противоположен по знаку зеркальному отображению взаимного фактора. Нетрудно теперь доказать следующие положения. У симметркчной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососнмметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке — симметричные силовые факторы. Рвс. е.зз Обратимся к симметричной раме, например к показанной на рнс.
6.21, н выберем основную скстему, разрезал раму по плоскости симметрии (ркс. 6.23). Обозначим через Х1 и Хз кососнмметрнчные, а через Хз, Х», Хь, Хь — симметричные силовые факторы и выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть: бы Хг + бгз Хз + б1зХз + бз»Х» + бгьХь + бгьХь = -б1 р, бы Х~ + бззХз + бззХз + бя»Х4 + бзьХь + бзьХь = -бзр, бз1Х1 + бззХз+ бззХз+ бз»Х»+ бзьХь+ бзьХе = -бзр,' б41Х1 + б»зХз + б»зХз + б»»Х» + б4ьХь + б»ьХь = -б»р', бь1Х1 + бьзХз + бьзХз + бь»Х» + бььХь + бььХь = -бьр', бь1Х1+ бьзХз+ бьзХз+ бе»Х»+ бььХь+ бььХь = — бь~.
Заметим теперь, что в этих уравнениях многие из козффипиентов обращаются в нуль. Это будут все козффддиенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой— зтв кососимметричному фактору. Ыапример, обращается в нуль коэффициент 61з. Индекс 1 принадлежит кососимметричному фактору (Х1 и Хг — кососимметричные факторы), а индекс 3 — симметричному фактору (Хз, Хб, Хз и Хб — симметричные факторы). Обращаются также в нуль 614, 61б, 61б, бгз, бгб и т.д. Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметркчных перемещений под действием симметричных нагрузок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
