В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 39
Текст из файла (страница 39)
7.3, 6 и а). В результате действия силы Р в поперечных сечениях стержня возникает нормальное напряжение л = Р7а~. Векторы соответстнуюгпих напряжений вычерчиваем на гранях элементов. В результате действия момента ОЯ в поперечных и продольных сечениях возникают касательные напряжения. В точке А напряжение т „„= ОП/(О, 203аз), в точке В напряжение г = О. Векторы гм,з также вычерчиваем на гранях элемента.
В итоге имеем: в точке А ля = ая — — О, гг, = Р/аз, гуя — — О, г„= ОД/(0,203аз), з ' гяк —— О; в точке В ая ю пу — О, а, = Р/а, гкз --1зя — — гяя - -О. 303 7.2. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке Если дано шесть компонент напряженного состояния: оэ, ою а„гкс, т;с и т,я в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку. Из напряженного тела (см.
рис. 7.1) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис.7.4). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы Охую Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющимк косинусами 1, гл, а нормали и к секущей плоскости. Рис.
7.4 Элементарный четырехгранннк обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматриваем как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках. 304 На рис.
7.4 штрихами показаны составляюшие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке ВСР спроецируем на оси к, у и у. Обозначим эти проекции через Х, У и Я соответственно. Если эти три величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на произвольной площадке. Плошадь треугольника ВСР обозначим через Г, площади треугольников ОСР, ОВР и ОВС вЂ” соответственно через Г~, Гу, Г,.
Очевидно, Ге = П; Гу — — Ггп; (7.2) ~'3 = Гп, где 1, тп и и — направляющие косинусы нормали и. Проецируя все силы, действующие на элемент, последовательно на оси х, у и у, получим Х Г вЂ” о з Ге + ту я Гу + т х Гя УГ = теуГе + о'уГу + т~уХ~,' ИГ = т„Г, +ту,Гу+о,Г„ или в соответствии с соотношениями (7.2) Х = о 1+ туегп+ треп; теу! + Оутп + тяуп Я = те,! + ту, тп + о,п. (7.3) 606 Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами 1, т и п, проекции Х, У и Я можно выразить через шесть исходных компонент ое, оу, ою т „т, 2 н тку.
Иными словами, напрялсенное состпояние в тачке определлет- р ся шестпью компонентами. При помощи формул (7.3) лег- Х ко определить вектор полного напря- у л жения на любой плошадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 7.5). Рис. 7.6 Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сих пор. Нам известно понятие числа и понятие вектора каи величины, определяемой тремя числамн. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой текзор, Тензору в отличие от вектора не может быть дано простое геометрическое толкование, и его обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде < 500 200 100 200 -50 43 100 43 720 где каждое число представляет собой значение ез, гя, и т.д.
в соответствии с расположением козффидиентов в трех уравнениях (7.3), т.е. аз = 500, тяз ж 200 и т.п. Если взамен исходной системы Охуя выбрать новую систему, компоненты тензора изменятся, т.е. значения оз, ою ... будут иными, однако сам тензор напряженного состояния останется тем же. Сказанное можно легко пояснить на примере веитора, показанного на рис. 7.6. Рис.
7.6 Вектор может быть определен матрицей, членами которон являются координаты конца вектора: (400 300 О). Если перейти к системе Ох~у~зд (см. рис. 7.6), то для того же вектора получим (500 0 О). ЗОВ Компоненты вектора, как видим, изменились, но сам вектор остался неизменным. Остановимся более подробно на нехоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат, 7.3. Главные оси и главные напряжении Выразим через Х, У н Я нормальное напряжение п„в наклонной площадке. Очевидно, <т„= Х1+ Угп+ Яп, илн, согласно выражениям (7.3), о„= пх1 + <тягп~ + охп + 27у пзп + 27, и1 + 2т 71тп.
(7.4) 2 2 2 Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке отложим отрезок т = 7(с„) (рнс. 7.7). Координаты конца этого вектора будут следующими: х = 71, у = ттп, х = тп. Рис. 7.7 Исключая нз выражения п„направляющие косинусы 1, пз и и, получим геометрическое место точек концов вектора: а~т = охх + оуУ + ихх +277,Ух+ 2тхххх+ 2тхяхУ. г Теперь решим, в какой зависимости от о„откладывать абсолютную величину отрезка г.
Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа. В данном 307 же случае, не стремясь к наглядностя, а исключительно в целях простоты полученного выражения пркмем формально, что й т ~ав!' где гт — произвольная настоянная, отражающая масштаб построения. Тогда к = а х + азу +атз + 2тэ,ух+ 2т гх+ 2т зху. 2 2 2 Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения коордкнат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это означает, что в каждой тпочке напряженного тела суи1естпвуетп топкая систпема Охуз, в катпарой касатпельные напряжения тз„т и т к равны нулю.
Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными плои4адками, анормальные напряжения на них — елавными напряжениями, В порядке возрастания зти напряжения обозначают через аэ, аз и аг. Если в окрестности исследуемой точки элементарный объем выделен главными площадкамк, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис. 7.8).
Существенно упрощаются также выражения (7.3), они принимают вид Х = ттг1; 2 = ттзп. = тт2тп~ 1 +тп +и =1, Х2 У2 У2 — + — + — = 1. а2 О2 аз з Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот раз и наглядное толкование. Величины Х, У, Я можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной звв Рис. 7.6 Рис. 7.9 площадке. Геометрическое место концов вектора полного напряжения образует эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения о1, оэ и оз (ркс. 7.9), Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напряжений. Из этого геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку.
Наименьшее же из главных нглряжений будет наименьшим среди множества возможных полных напряжений. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела вращения. Тогда каждгл плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. В случае, когда равны не два, а все трн главных напряжения, эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными. Перейдем теперь к определению главных напряжений до заданным шести компонентам напряженного состояния в произвольной системе Окую Возвращаясь к рис. 7.5 и соотношениям (7.3), положим, что наклоннгл площадка является главной.
Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали и. Обозначим его через 5: У =Ят, Я =Яп. Х=Я, Соотношения (7.3) примут теперь вид Я=о.!+г т+т, и; Ят = тяу! + Оут + тзуи; Яп = тв,! + тя,т + и и, 309 или (а — 5) ! + ту ти + т, и = О; тху! + (ау — Я) гп + тзуп = О; т„!+ ту,гтс+ (сгз — Я) и = О. Их можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных 7, пз и н, определяющих ориентацию главной площапки в исходной системе Окуз. Полученная система является однородной.
Вместе с тем она должна давать для !, гп и и ненулевое решение, так как направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку !2+ 2+ 2 (7.6) в котором ах + сгу + сгз! 2 2 2 . сгусгз + азах + тхау — туз — тзх — тху! (7.9) сг. тух т,х т ау тзу = О. тхз туз аз 7з = 310 Лля того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю: ах ~ тух тзх тху сгу — Я тзу — О.
тзз туз аз — 5 Постигается это надлежащим выбором величины Я. Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения !, из и и, определяющих положение главных площадок. Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдем к определению главных напряжений 5 из уравнения (7.7). Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням 5, получим следующее кубическое уравнение: Я вЂ” Я,71+ Ю2 — 72 = О, (7.8) Можно показать, что все три корня уравнения (7.8) являются вешественными. Они дают три значения главньпс напряжений сг1, а2 и аз.
Понятно, что главные напряжения, т.е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, какал система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей Охул коэффициенты 71,,72 и дз уравнения (7.8) должны оставаться неизменными.
Они называются инвариангпами напряхсенноео сосгпояния. В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если Хз = О, то один из корней уравненкя (7.8) также равен нулю. В этом случае говорят, что напряженное состояние является двухосным, или плоским. В частности, уже знакомое нам напряженное состояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого а1 = — юз и У2 = О.
Если одновременно равны нулю второй и третий инварианты, т.е. 72 = Уз = О, то уравнение (7.8) имеет два нулевых корня н только одно из главных напряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. С ним мы уже встречались при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба.
Рассмотрим некоторые примеры определения главных напряжений. П р н м е р 7.2. Определнть главные напркженнк в случае, еслн все компоненты напркженного состокнкк равны ме:нду собой (рнс. 7.10, и). Ржс. 7.10 З11 Согласно выражениям (7.6) к (7.9), пмеенс уг = Зо, уз = зз = О; ог = За, оз = оз = О. Следовательно, заданное напряженное состояние представляат собой одноосное растязгепне. Полученному результату можно дать простое объяснение, есля учесть, что элемент может быть выделен нз растянутого стержня любым образом.
Очевидно, есля трн секущие площадки равнонахлонеиы х осп растянутого стержня, в гранях элемента как раз к возки- хают равные составляющие напряженного состоянкя (ркс. 7.11). Поскольку прн кзмененнн ориентации секущих площадок напряженное состояние ие меняется, полученное решение может быть представлена в вкде символического равенства (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
