В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Перепишем последнее уравнение пашей системы в виде Х«-з+ 4Х»-1+Х«Х« = О, откуда Аа7+ Вах х«О. Решая совместно оба уравнения, получим аз» вЂ” а» ' аз» вЂ” ег" Таким образом, «г «г М азе1 е1ее г » « ез ег Но тзл как агез = 1, то »-в «-и х, хм -В— а», « 2 1 Решение получено для любого чясла опор. В данном случае мы имеем 10 опор н» = 9.
Подставляя значения е, и аз, легко обнарумнть, что нзгнбающяе моменты на опорах с увелкчением индекса г, т.е. пря счете слева направо, имеют чередующиеся знаки и быстро убывают по абсолютной велнчяне. Момент Х1 прямерно в четыре раза меньше момента М. На предпоследней опоре он оказывается равным М/40545. Эпюра кзгябающкх моментов показана на рнс.
6.3б. Рис. 6.36 ййб 6.5. Плоскопространственные и пространственные системы Рассмотрим основные особенности плоскопространственных систем. Как уже указывалось выше, плоскопространственными называются системы, плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными плоскости рамы. Примеры плоскопространственных систем представлены на рис. 6.37. Рис. е.зт Особенностью этих систем является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Показывается это так же, как и при рассмотрении свойств с учетом прямой и косой симметрии.
Рис. 6,36 Положим, имеется некоторал плоскопространственнал рама (рис. 6.36). Разрезаем эту раму в произвольном сеченки, превращал ее в статически определимую. Обозначим через Х1, Хз, Хз силовые факторы, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости рамы. Это — изгибающий и крутящий моменты и вертикальная поперечная сила. Остальные три силовых фактора в сечении обозначкм через Х4, Хз, Хя. На рис. 6.38 эти силовые факторы, возникающие в плоскости рамы, вынесены для ясности в сторону.
Система канонических уравнений бы Х1 + бгз Хз + б1з Хз + бы Х4 + бгз Хз + б1 е Хз = -б1 р, би Х1 + бзз Хз + бзз Хз + бз4Хз + бзз Хз + бзз Хв = -бзр ' бз1Х1 + бззХз + бззХз + бз4Х4+ бззХз+ бззХе = — Бзр, Б41Х1 + б4зХз + б4зХз + бе~Хе+ б4зХз+ бззХе = -б4р,' бы Х1 + бззХз + бззХз + бз4Хз + бззХз + бзеХз = — бзр, бе1Х~ + безХз+ базХз+ бз4Хз+ безХз+ бзеХе = -бзр распадается здесь на две независимых системы, поскольку при перемножении зпюр от первых трех факторов на эпюры от трех последних получим всегда нуль: б14 = б1з = б1з = бз4 = ° ° = О При этом, естественно, предполагаем, что одна из главных осей сечения расположена в плоскости рамы. Таким образом, получаем б11Х1 + Б1з Хз + Б1з Хз = -б у' бз1Х1 + бззХз + бззХз = — бзр,' бз1Х1 + бззХз + бззХз = -бзн' Б44Х4+ Б4зХз+ Б4зХз = -б4р,.
бз4Х4 + бззХз + бззХз = — бзр, бе4Х4 + безХз + бееХа = — бар. Если внешние силы действуют в плоскости рамы, т.е, если рама является плоской в обычном понимании, то ооращаются в нуль б1р, бзр н бзр, и внутренние силовые факторы Х1, Хз, Хз равны нулю. Это значит, что для плоской рамы возникают только внутренние факторы, действующие в ее плоскости. Если же внешняя нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, то равны нулю Б4р, бзр, и бер. Тогда равны нулю и Х4, Хз, Хе. В заданной для расчета раме, как видим, сохраняются внутренние силовые факторы, плоскости действия которых перпендикулярны к плоскости рамы. При смешанной нагрузке (рис. 6.39), действующей на плоскую раму, всегда имеется возможность разложить силы по плоскостям н рассмотреть отдельно плоскую и плосхопростралственную системы. Внутренние силовые факторы определяют в дальнейшем иак результат наложения полученных решений.
Рис. В.ЗВ Перейдем к пространственным статически неопределимым системам. Исследование таких систем не содержит в себе принципиальных трудностей. Понятно, что для пространственных систем задача раскрытия статической неопределимости выглядит, как правило, более громоздкой, чем для плоских систем.
Однако канонические уравнения метода сил остаются теми же, и их коэффициенты определяют при помощи тех же приемов. Особого внимания при раскрытии статической неопределимости пространственных рам требует проверка основной системы на кинематичесхую неизменяемость. Случается, что пространственная система представляет собой механизм, но обнаруживается это только при внимательном рассмотрении.
Например, системы с пространственными шарнирами, показанные на рис. 6.40, являются хинематичесхи изменяемыми. Рис. 6.40 ие гез для каждой из ннх наложенные связи не препятствуют вращению системы относительно осей, отмеченных на рис. 6.40 штриховыми линиями. Проверку пространственнок системы на кинематнческую неизменяемость проводят обычно дрн помощи проб, т.е. путем последовательных попыток мысленно сместить раму нлн некоторые ее элементы относительно неподвижных осей. В связи со сказанным следует в захлючение отметить, что требование кинематической неизменяемости, которое подчеркивалось выше, вообще говоря, не всегда является обязательным.
В некоторых случаях кннематическал изменяемость основной системы может быть допущена, но этот вопрос решают обязательно в связи с особенностями приложенных к системе сил. Так, в примере 6.5 кольцевая рама была рассечена двумя сечениями (см. рис. 6.30). Части рамы получили при этом возможность свободно перемещаться одна относительно другой. Однако полученная кинематическал кзменяемость не оказалась существенной, поскольку и система заданных, н система единичных сил были уравновешены независимо одна от другой. П р и м е р 6.8.
Раскрыть статкческую неопрекеаимость рамы, показанной на рнс. 6.41, а. Жесткость состааккюпгик стерксней на изгиб равна Е1, а на кручение СХ„. Легг Ф Рис. 6.41 Рама являегся плоскопрострапсгвенной. Поэтому а любом ее поперечном сечении силовые факторы, лемащке в плоскости рамы, равны нулю. Кроме того, рама симметрична. Следовательно, в поперечном сечении в плоскости скмметрии обращаются в куль хососимметричиые факторм — крутящий момент в верткквльпел поперечкая сила. Отличным от куля остается только пзгвбаюшвй момент в вертикальной плоскости. Разрезаем раму по плоскостк симметрии в прикладмввем момент Х, (рве.
6.41, 6). Строим эпзору моментов от задаккыг. спа п единичного момента (рпс. 6.41, е и е) н находим воэффипкепты канонического урависнкя быХ, +6„-6. Получаем 21 21 61 9Ф Юы= — + —; бп =-— Еу Су„' ЗЕ.7 С2, ' Тогда ~~ ~Г 6юб1 оз11 6 \+ Еэ'/(С2,) Если рама состоит пэ стермней, имеющих круглое поперечное сечение, то Е2 С2, — =1+дся1,3 Х, =6,36661.
Суммарная эиюра вэгибыощвх моментов дава на рис. 6.42. ЩУ4У(б бубу(аг Рмс. 6.42 П р и м е р бта Раскрыть статическую неопределнмость пространственной рамы, показанной на рвс. 6.43, а. Жесткости ка кзгпб Е2 и иа кручение СУ„дяя всех элементов рамы одинаковы. Рама симметрична относительно вертикальных плоскостей 4В и СР. Разрезая раму по первой плоскости симметрик, получаем в сечениях только снмметркчные силовые факторы (рнс. 6.43, 6). Из условий рави~ ясеня сразу видно, что нормальная сила в этих сечениях равна Р/2, а один из моментов равен Р1(2. Остается тольхо один неизвестный момент Хм возникающий в горизонтальной плоскости.
293 Рис. 8.44 Зли половины рамы строим эпюры моментов от эаданнык сил и от единичного момента 1рис... е ( . б.43, е и и). Перемножал эпюры, находим р~г И Тогда Р1 1 4 2+ Е1/(С1э) Ллл круглого сечеинв Е1)(С)г) ю 1,3; Хг ал 0,076Р1. Суммариав эпюра моментов дана на рнс.
б.44. 394 6.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах Мы уже знаем, что в любой системе перемешенке определяется как результат перемножения зпюры моментов от внешних сил на эпюру моментов от единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой нано найти, В статически неопределимых системах, очевидно, для построения эпюры моментов от внешних сил нужно раскрыть статическую неопределимость к построить суммарную эпюру так, как это уже многократно делалось в рассмотренных выше примерах. Когда к такой системе приложена единичная сила, снова возникает вопрос о раскрытии статической неопределимости. Таким образом, получается, что для определения перемещения в статически неопределимых системах нужно дважды раскрывать статическую неопределимость.
Возникающие трудности, однако, легко устраняются. Положим, дана некоторая статичесхи неопределимая система и требуется определить перемещение, например, точки А (рис. 6.45, а). Рис. Н.4З Рассмотрим некоторую основную систему и приложим к ней заданные силы н неизвестные силовые факторы Х1, Хз, Хз (рис. 6.45, б). После того как статическая неопределимость раскрыта и неизвестные найдены, рама, показанная на рис. 6.45, б, ничем не отличается от заданной. В частности, и перемещения всех ее точек будут точно такими же, как и у заданной. Поэтому можно рассматривать силы Х1, Хз, Хз как заданные.
Эпюра моментов от сил Р, Х1, Хэ и Хз представляет собой эпюру моментов в статически неопределимой раме. Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру моментов. Вид этой эпюры, понятно, не зависит от выбора основной системы Палее, освобождаем систему от внешних сил, в том числе и от сил Х1, Хз и Хз, и прикладываем единичную силу к статически определимой раме (рис. 6.45, в). Полученную единичную эпюру перемножаем с суммарной эпюрой внешних заданных сил. На практике удобнее умножить единичную эпюру отдельно на эпюры от заданных сил н от силовых факторов Х1, Х2, Хз, а затем полученные результаты алгебраически сложить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
