В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 40
Текст из файла (страница 40)
рис. 7.19). Рмс. 7.11 П р и м е р 7.З. Определить главные напрюкення в случае напряженного состояния (рис. 7.12, а) Рмс. 7.12 Согласно выражениям (7.9), получаем Л = О, Уг = — З»з, зз = 2»з. Тогда Я~ — З»~5 — 2»з = О. Подбором определяем адни кз корней. Это будет Я = -». Разделив левую часть уравненкя на 5+», сводим уравнение к квадратному и определяем остальные два кориа.
В итоге получаем оь = 2»; оз = оз — ». Слеловательпо, напряженное состояние является трехосным (рис. 7.12, б). Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок, 312 обладающих тем замечательным свойством, что касательные напряжения в них равны нулю, и назвали эти площапхи главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится пам в дальнейшем. Рис. 7.13 Положим, что оси х, У и Я вЂ” главные и оя = о1, ая = аз, о., = оз (рнс.
7.13). Тогда выражения (7.3) примут вип Я = озп. К = о11; У = озт; Найдем касательное напряжение т„в этой площадке: т =р — о„, (7.10) где р — полное, а о„— нормальное напряжения в той же площадке. Очевидно, что р2 К2 + Уз + Я2 д212+ д2т2 + дтнз. а„= Х1+ Ут + Яп = о1! + пят + ояп . Подставляя рт н и„в выражение (7.10) и учитывал, что 13 + +тт + пя = 1, получим т = (п1 — багз) 1 т + +(ю1 — оЗ) 1 Я + (Фз — УЗ) и1 Я . (7.11) Ках виним, т~ — величина существенно положительная н на главных нлощадках, как н положено, обращается в нуль. 313 Действительно, если нормаль и совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда т„= О.
2 Для дальнейшего нам потребуются выражения для напряжений в так называемых октаэдрических площадках, т.е. в площадках разнонаклоненных к главным. Для таких площадок 12 = го~ = нз = 1/3, и тогда мы получим 1 токт = (~т1 п2) + (о1 оэ) + (оз пэ) 3 1 оохт = (п1 + п2 + 'УЗ).
3 (7.13) Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему арифметическому трех главных напряжений. Особый интерес представляют площадки, в которых возникают наибольшие касательные напряжения. Положение этих площадок можно определить, отыскивал экстремум выражения (7.11) при условии, что 12+ ттзз+ пз = 1. Но этих выкладок мы делать не будем, нбо о результате можно догадаться сразу. Заметим, что сгЗ вЂ” пэ = (оЗ вЂ” пг) + (пз — пэ) и, поскольку квадрат суммы не меньше суммы квадратов, (п1 — о2) ~ (п1 — п2) + (62 — пЗ) Значит, при равенстве Р = пзз = пз второе слагаемое в выражении (7.11) будет не меньше суммы двух остальных.
Если мы хотим, чтобы величина тз достигла наибольшего значения, то, подбирал 12, шз и пз, мы должны, очевидно, максимально увеличить произвепение 12пз за счет шз. Но это будет достигнуто при пзз = О, и тогда произведение величин 12 н пз при условии, что нх сумма равна единице, будет наибольшим, если 12 = пз = 1/2.
Таким образом, 1 ~ = — ( з — <з). 2 (7,14) Так как ти = О, а 1 = п = ~/2/2, то максимальное касательное напряжение возникает в площадках, разнонаклоненных к глазным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений. 314 7.4. Круговаа диаграмма напряженного состоянии Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность в сложном напряженном состоянии. Поэтому вычислять значения главных напряжений приходится довольно часто.
Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8). Пело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее. Тогда две другие главные площадки можно определить в семействе площадок, перпендикулярных первой, что значительно упрощает задачу. Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рнс. 7.13. Эта призма образована путем сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой, которая, независимо от угла наклона а,остается параллельной одной из главных осей.
В данном случае такой осью является главная ось у. Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные векторам а и т (см. рис. 7.13, 6), получим Нв о'Ну — = а1дуозсова+ оЗНупвсбавпга; сов а Из тНу = о1дулввша — озлуявгйасова, сов а или и = о] сов о + ив в1п о; T = (О'1 — нв) в1по сов и. 2 2 Эти выражения можно переписать в виде П1 + ОЗ О1 — ПЗ . О1 — ПЗ о = — + — сов2а; г = 2 2 ' 2 вш 2о. (7.15) Таким образом определяют напряжения в семействе длощадок, параллельных одном из главных осей. Выражениям (7.15) можно дать простое геометрическое толкование. Пере- а1+гз несем полусумму главных напряжений — в левую часть 2 первого уравнения.
Палее, возводя в квадрат левые и правые части уравнений, исключаем угол а. Получим о1+УЗ 2 о1 юз В системе коордкнат о, г это есть уравнение окружно- п1 + пЗ сти, пентр которой находится на осн и на расстоянии от начала координат. Радиус окружности равен полуразности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена на отрезке а1 — оз как на диаметре (рис.
7.14). Полученный круг называется кругом Мора, илн круговой диаграммой напрялсенного сосгпояния Что касается уравнений (7.15), то нх можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде. Роль параметра играет угол а, устанавливающий соответствие между точкой окружности и секущей площадкой. Каждой сехущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора.
В частности, если угол а = О, секущая площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения г1 1точка В на рнс. 7.14). Если о = 90в, секущая площадка совпадает с другой главной площадкой нз того же семейства (точка С на окружности). Показанная на рнс. 7.14 окружность построена для семейства площадок> параллельных вектору аз.
Аналогичным образом можно построить круги Мора и для семейств площадок, З1Е параллельных векторам о1 и оз. В этих случаях круги строят соответственно на отрезках аз — аз и о1 — оз как на диаметрах. Таким образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак 7 не оговаривают, обычно ограничиваются построением только верхней половины круга (рис. 7.15): Длл плопвдок, Длл плошлдок, Длк площц~ок, колол к т Рнс. 7.15 Каждой точке любой окружности соответствует определенная секущая площадка в соответствующем семействе.
Понятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, не исчерпывают всего множества секущих площадок. Площадки, не параллельные нн одной нз главных осей, не вписываются в рассматриваемую схему. Можно показать, что секущим площадкам соответствуют на плоскости о, 7 точки, лежащие внутри заштрихованного криволинейного треугольника ВСЮ, образованного тремя совмещенными кругами Мора (рис.
7,16). Имеются также Рис. 7.16 317 и методы определения напряжений в соответствующих площадках. Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы заштрихованного криволинейного треугольника, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга а~ — пз Трах = 2 Это напряжение возникает в площадке, равнонаклоненной к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных нелряжений, что уже было установлено ранее (см. выражение (7.14)). Круговая диаграмма может быть построена не только, когда заданы главные напряжения. ??остаточно знать напряжения в двух любых площадках из рассматриваемого семейства площадок, параллельных главной оси. Положим, налример, задано напряженное состояние, показанное на рис.
7.17, а. Ось у является главной. Среди семейства ей параллельных площадок есть две> в которых напряжения известны. Это площадки? и??. Следовательно, на круговой диаграмме могут быть Рис. 7.17 найдены две соответствующие им точки. Эти точки должны располагаться на противоположных концах одного диаметра, так как угол между площадками равен 90е, а на круговой диаграмме он удваивается.
Однако, поскольку знак напряжений г не оговаривали, ординаты обеих точек откладываем вверх. На форме круговой диаграммы это не скажется (рис. 7.17, б). здв Из круговой диаграммы легко определить главные напрдженкд: ! ох+ох н «гк+оз о= — — В о = — +В 2 ' 2 где й — радиус круга, гС = Таким образом, сг + ггз о 2 (7,16) н сгк + ггз о = — + 2 После того как напрдженид а' и а" найдены, их сопоставляют с ор, и все главные напрдженид переименовывают на гг1, 02 и оз в порддке убыванид. Н р н м е р 7.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
