В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимо от механических свойств материала. Наряду с линейной и угловой деформапиями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда объемную деформацию, т.е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда дх, Ыу и дх в результате деформапии меняются и становятся равными дх(1+ ез), ду(1+ ек) и дх(1+ е ).
Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью Относительное изменение объема обозначается буквой е к равно сумме линейных деформаций по трем осям: ЬУ е= — =е +е„+е,. С поворотом осей относительное изменение объема е в точке, очевидно, не меняется. Это — один кз инвариантов деформированного состояния (см.
формулу (7.18)). (7.19) 7.7. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния Рис. 7.3Е ЗЗО Ло сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривали независимо одно от другого и не связывали со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного — с другой, существует определеннал зависимость. В пределах малых деформапик эта зависимость является линекной и носит название обобщеккоео закона Гука.
Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентамн напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке. Лля того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис.
7,29). В любой кз коордкнатиых плоскостей, например уО», угловая деформация определяется только соответствующим касательным напряжением 7я, — — тя,)С. Пве другие пары касательных напряжений, а также нормальные напряжения не бУдУт влиЯть на уя„что ЯвлЯетси следствием свойств изотРопного материала. Сказанному можно дать следующее объяснение. допустим, что иа гранях злемента возникают только касательные напряжения тяя = тяя (рис.
7.30, а). Спрашивается, может лн ПРИ зтом поквитьск угловаи дефоРмацик 7яз В плоскости, перпендикулярной плоскости действия касательных напряжений гзя? Рнс. т.зе Если эта деформация вознякает, то указать ее знак для нзотропного материала невозможно, поскольку "предпочтительность" того нли иного нзлравления для г~я не обнаруживается, а в свойствах материала она отсутствует. Положим, например, что сдвиг происходит в направления, указанном на рнс. 7.30, а.
Тогда, поворачивал элемент на 180О относительно осн я, получаем точно ту же систему сил тяя и противоположный знак 7,я (рис. 7.30, б). Ясно, что указанное противоре. чне УстРанЯетсЯ только в том слУчае, если 7я, — — О. Следовательно, принимал принцип независимости действия сил, можно сказать, что Угловак дефоРмациЯ 7яя от тяя не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всех дрочнх компонент напряженного состояния, кроме ту,. Для анизотропного материала приведенные соображения не имеют 1 ее = — [а — р(оя+ о )); 1 ез = — [оз — р(оз+ о )]; 1 еэ = — [о — р(оэ + оз)).
Е Сложив левые и правые части этих равенств, получим выражение объемной деформапии (7.19) в виде 1 — 2р е = (ос+ оз+ оэ). (7.22) Полученные соотношения (7.20) — (7.22) являются аналитическим выражением обобшенного закона Гука для иэотропного тела. (7.21) силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем тяз т,е тей Из этих выражений видно, что для изотрошюго тела гневные оси нонряхсенного и деЯормированного сосшояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжеяиями обра- шаются в нуль и угловые деформации.
Подобно тому как угловые деформации не зависят от нор- мальных напряжений, линейные деформапии не зависят от касательных напряжений. Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений. Кро- ме того, это следует также и из теоремы взаимности работ (см, $ 5.6). Если нормальные напряжения не вызывают сдви- га, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смешений, на которых могли бы совершить работу нормальные силы. Относительное удлинение в направлении оси х, обусло- вленное напряжением ое, равно ое(Е.
Напряжениям аз и оэ соответствуют удлинения по оси х обратного знака, равные — раз(Е и -ро,(Е. Следовательно, ое оз о еэ = — — ~и — р —. Е Е Е Такие же выражения получрем по аналогии и для ек и е,. В итоге Выражение объемной деформации (7.22) позволяет уста- новить предельное значение коэффициента Пуассона для лю- бого изотропного материала.
Оно справедливо для любо- го напряженного состояния и применимо, в частностк, при пз = пэ — о, = р. В этом случае 1- гр с=3 р. При положительном р изменение объема е должно быть также положительным, а при отрипательном р — отрицатель- ным. Это возможно только в том случае, если р С 1/2. Сле- довательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5. Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает нз частного случая напряженного состояния, является общим,по- скольку р, является характеристикой материале к в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит.
Перейдем к определению потенпиальной энергии жфор- мации в общем случае напряженного состояния. Очевидно, потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхно- сти этого объема. Нормальная сила аэ ЫЗНз (см.
рнс. 7.29) на перемещении сэ Ыэ совершает работу. Эта работа равна 1 2 — ох ~1у~~з ех <~я, где сэ — относительное удлинение вдоль осн э, вызванное всеми действующими силами. Аналогичные выражения работ дают и остальные нор- мальные составляющие. Касательная сила т„, Иу<Ь на пере- мещении 7яэ Из совеРшает РаботУ 1 — туз нулэ 7эз бз (см. также З 2.1). Выражения для остальных слагаемых вну- тренней энергии получаем простой перестановкой индексов, В итоге имеем 1 ЗУ = — Пя Пу ПЗ(П,З,.(-П„ЗЗ -~ а,Е, + Гух7уг ~- Гзэ7ээ+ тэу7эу) 2 ЗЗЗ Если энергию отнести, как это обычно делают, к единице объема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразить деформации через напряжения, то окончательно получим Уо = ~~ [оя+ пя+ оз 2р(<ъяоэ+ааоа+а*оя)]+ 2 2 + ~ (тяя + 7~я + гяк), (7.23) 2С или в главных нзлряжениях 2 Уо = — [а1з+ а22+ азз 2р(озоз + изо1 + своз)).
(7.24) 2.Е Лля того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение Уо следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: Выведем выражения для так называемых экереии иэмекения формы и энереии изменения объело. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями. Пеленке внутренней потенциальной энергии на две укэ; занные составляющие является условным; в его основе лежит следующий принцип. Каждое из главных напряжений представляют в виде суммы двух величин: о1 =р+о1 оз =Р+из оз =Р+оз (7.25) в результате чего напряженное состояние разбивается на два. Первое нз ннх представляет собой всестороннее растяжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рнс.
7.31). Напряжения р подбирают с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало,т.е. Ю1+Е2+аЗ = 0 Ф Рис. 2.31 Складывая выражения (7.25), получают 1 Р = (о1+ о2+ ОЗ). а При указанном условии система сил первого напряженного состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния, Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, поэтому внутреннюю энергию разбивалот на две части, соответствующие пвум напряженным состояниям: УО = УО О+ Уеф где УΠΠ— энергия изменения объема, а УОф — энергия изменения формы, или энереия формоиэменениж Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину р из (7.26), получают для первого состояния 1- гр УОоб 6Е (о1 + о2 + из) . (7.27) Энергию формоизменения можно найти, вычитая УО О из УО. После несложных преобразований имеем УОф (и1 + оз + из ~~2оз изи1 о1о2)ь ~+И 2 2 2 ЗЕ или УОф = 1(о1 п2) + (Ю2 03) + (пз — о1) ).
(7.28) 1+р 2 2 2 6Е Если это выражение написать для произвольных осей, то в соответствии с (7.23) 1геф = бЕ «(оя ок) + («гя оз) + («гз «т~) )+ 1+и + — (тя + т + т ). (7.29) В частном случае всестороннего равномерного сжатия или растяжения, т.е, при «гз = «гЗ = пЗ = «г, 3 1 — 2р Уа а = — «г; 17оф =9. 2 Е Прн чистом сдвиге, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
