В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Может случиться, что в напряженном состоянии А (см. рис. 8.1) при пропорциональном увеличении всех составляющих напряжений произойдет хрупкое разрушение, а в состоянии В прн увеличении оэ„э начнется процесс образования пластических деформаций. Тогда напряженные состояния оказываются несопоставимыми. Таким образом, понятие сгэ„э следует рассматривать как не всегда безупречное, но в то же время весьма удобное средство для ведения практических расчетов. Вводя понятие эквивалентного напряжения, мы сводим расчет на прочность в сложном напряженном состоянии к расчету на обычное растяжение.
действительно, коэффициент запаса при растяжении (состояние В на рис. 8.1) определяется, как обычно, следующим образом: от.р п= — ' оэхв Такую же величину коэффициент запаса имеет и для случая сложного напряженного состояния А. Весь вопрос заключается только в том, как выразить оэк, через пг, о'з и пз. Лля этого рассмотрим некоторые уже сложившиеся и зарекомендовавшие себя гипотезы пласткчности, или критерии появления пластических деформаций. 8.2. Гипотезы (критерии) появления пластических деформаций Итак, основной вопрос при формулировке критерия пластичности заключается в том, какал из компонент напряженного состояния (или какая их комбинация) в общем случае определяет переход материала к пластическому состоянию.
Из множества предлагавшихся в свое время гипотез пластичности лишь две сохранили к настоящему времени свое значение. Первая гипотеза связана с именами Треска и Сен-Венана, Она основана на достаточно очевидной предпосылке: пластическая пеформапия в металлах возникает в результате необратимых сдвигов в кристаллической решетке, Понятно, что переход к пластическому состоянию не происходит внезапно. Сначала пластическая деформация возникает в отдельных, неблагоприятно ориентированных зернах.
Возрастание нагрузки вовлекает в пластическую деформацию новые микрообласти, и, когда пластической деформацией охватывается пода; вляющее множество зерен, мы можем говорить о том, что произошел переход к пластическому состоянию. Естественно предположить, что мерой этого перехода является наибольшее касательное напряжение в объеме, охватывающем достаточно большое число произвольно ориентированных зерен, т.е. то са; мое касательное напряжение, которое мы определяли на основе предпосылки сплошной изотропной среды. Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, равнонаклоненных к площадкам наибольшего и наименьшего главных напряжений, и равно полуразности этих напряжений (см.
выражение (7.14)): 1 7п~ах = (О1 вз) 2 Таким образом, если г,вв„достигло некоторого предельного значения, свойственного данному материалу, то независимо огп вида напряженного сосшояяпя происходит переход к пластическому состоянию материала, Зао Экспериментальная проверка этой гипотезы показала, что для пластичных материалов она приводкт, в общем, к удовлетворительным результатам. Переход от упругого состояния к пластическому действительно с достаточной точностью определяется разностью между наибольшим и наименьшим из главных напряжений и слабо зависит от промежуточного главного напряжения пз. Наложение всестороннего давления на любое напряженное состояние не меняет г,<зя и, следовательно, не оказывает влияния на возникновение пластических деформации.
В частности, при всестороннем гидростатическом давлении г~,„обращается в нуль. Это означает, что в таких условиях в материале пластические деформации не возникают вовсе, Все опыты, проводившиеся при доступных для техники давлениях, подтверждают это. Сказанное нисколько не противоречит описанному ранее поведению чугуна в условиях высокого давления. Наложение всестороннего давления влияет не на условия пласшичносгпи, а на условия разрушения. Граница разрушения отодвигается, и материал приобретает способность пластически деформироваться без разрушения.
И это характерно вообще для всех конструкционных материалов. Если представить себе существование цивилизации на самых больших глубинах океана, то для этих воображаемых разумных существ понятия хрупкости и пластичности матеркалов были бы отличны от наших. Придерживаясь сформулированного критерия пластичности, мы можем принять, что два напряженных состояния равнооцасны в том случае, если имеет место равенство наибольших касательных напряжений. Лля напряженных состояний А и В (см. рис. 8.1) имеем 1 1 2 2 (О1 ОЗ) = Озяв откуда (е.1) озяз = о1 — оэ. Это и есть то расчетное напряжение, которое по критерию максимальных касательных нзлряжений должно быть сопоставлено с пределом текучестк при растяжении.
361 Казалось бы, что простота расчетных зависимостей, физическая наглядность критерия и, наконец, соответствие с экспериментом должны были бы обеспечить гипотезе максимальных касательных напряжений полную монополию если не в теореткческом аспекте, то по крайней мере при решении практкческих задач. Этого, однако, не произошло, и в своеобразном естественном отборе, который происходил среди многих гипотез, предлагавшихся в конце прошлого и начале настоящего века, выжила и заняла место наравне с теорией Треска — СенВенана также и гипотеза Хубера- Мизеса.
Она была сформулирована Хубером в 1904 г. в виде исправленного варианта критерия Бельтрами, согласно которому переход к пластическому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объема потенциальной энергии деформапии. Но принять в качестве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя. Это протнворечкло бы экспериментально установленному факту, что при всестороннем давлении пластические деформации не возникают, в то время как потенциальная энергия неограниченно возрастает.
В связи с этим Хубером было предложено исключить из рассмотрения энергию объема, а в качестве критерия перехода из упругого состояния в пластическое принять энергию формоизменення (7.28). Лля простого растяжения это выражение пркобретает вид 1+0 2 77о ф = — 2с'„, Из условия равноопасности определяем пзкв. Лля этого приравниваем два последних выражения и получаем (8.2) пэкв = 2 Но энергия формоизменения, как мы уже знаем, пропорциональна квадрату октаэдрического касательного напряжения (см.
~ 7.7). Поэтому то же самое выражение (8.2) для пэ„в можно получить, если в качестве критерия пластичности принять не энергию формоизменения, а касательное напряжение в октаэдрических площадках. Лействительно, 1 т = — [(п1 — пз) + (пг — пз) + (пз — пз) ) збв Пля простого растяжения 2 2 говт — пэвв. 9 Приравнивая выражения твзвт, приходим к уравнению (8.2).
Почему же гипотеза Хубера — Мизеса, приводящая к более сложному для пэ„в выражению (8.2), чем теория максимальных касательных напряжений, оказалась конкурентоспособной? Оказывается, дело не только в том, что, по мнению многих авторитетов, она для основных конструкционных металлов более точно отражает условия перехода в пластическое состояние. В процентном отношении разница между выражениями (8.1) и (8.2) не столь уж и заметна.
Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда оз = -о1, а оз = О, и составляет примерно 13 %. Более важным является другое обстоятельство. Когда конструкцию рассчитывают на прочность, мы, обращаясь к теории максимальных касательных напряжении, т.е. к выражению (8.1), должны обязательно продумать, которым из трех главных напряжений присвоить индексы 1, 2 и 3. Иногда это бывает не очень удобно, особенно если конструкция находится под воздействием системы сил, меняющихся по различным законам в зависимости от условий работы.
Тогда сложность перебора различных случаев в соотношении нагрузок сводит на нет те преимущества, которые дает нам простота выражения (8.1). Если же обратиться к теории Хубера — Мизеса, то обнаруживается, что перестановка местами индексов 1, 2 и 3 в выражении (8.2) не сказывается на пэвв, и зто освобождает нас от необходимости думать о том, какое из главных напряжений является наибольшим, а какое — наименьшим. Любопытно, что именно зто обстоятельство заставило Мизеса, не знакомого с работой Хубера, в 1913 г. в целях упрощения предпринять поиск аналитического выражения, близкого к тому, что дает теория максимальных касательных напряжений, но не зависящего от перестановки индексов, что в дальнейшем позволило с большим успехом использовать зто выражение при построении основ теории пластичности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
