В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 43
Текст из файла (страница 43)
если «г1 = «г, «гз = О, оз = -«т, составляющие потенциальной энергии имеют вид ~+р ие.е = О; 17еф =— Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7.28) с (7.11), легко заметить любопытную особенность: энергия изменения объема и энергия формоизменения соответственно пропорциональны квадратам нормального и касательного октаэдрических напряжений. 7.8. Анизотропии Все сказанное по поводу обобщенного закона Гука и вытекающих из него следствий относилось к изотропным средам. Теперь остановимся на упругих свойствах аннзотропных материалов. Ло недавнего времени в практических задачах инженерной механики эти вопросы на передний край не выдвигались.
Это не значит, что анизотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бы резннокордную конструкцию автомобильных и авиационных шин, где резиновая оболочка армирована стальными или нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку. Можно вспомнить н фанерные анизотропные панели, применявшиеся в прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует ЗЗЕ как важный фактор расчетной схемы.
И все же, несмотря ка несомненную важность и даже заслуженность подобных прикладных задач, следует признать, что все они узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатству структурных схем, которое раскрывается перед нами в связи с применением композицконных материалов. Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую технику без применения композитов. Композиционные материалы уже охватили многие отрасли промышленности, в том числе произвоцство предметов домашнего обихода.
Композиционные материалы могут иметь различную структуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов — наполнителя и связующего. Последнее обычно называют матрицей. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей илн нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойства анизотропии, и модули упругости в различных направлениях могут различаться в несколько крат. Не касаясь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композкта как сплошную и однородную среду с соответствующими упругими константамн, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линекных зависимостей между компонентами напряженного н деформированного состояний.
И обобщение в этом случае достаточно очевидно: каждая компонента деформированного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем следующие соотношению бх = Б11пх+ Б12аау+ Б130 а+ Б14ту~+ Б15тах+ Б16тту,' бу — — Б21сах+ Б22пу+ Б23па+ Б24туа+ Б25тах+ Бзбтху ба = Б31аах+ Б32пу+ Бззааа+ Б34туа+ Б35тах+ Бзбтху1 (7.30) 7уа = Б41 ха + Б42аау+ Б43ааа + Бббтуа + Б45тах+ Б46тау1 7а х Б51 аах+ Б52 пу+ Б53 ааа + Бзбтуа+ Б55 тах + Бзб тх у ' 7ху = Б61 ох+ Б62 агу + Без о а+ Бббтуа+ Бббтах+ Бббтху где Б;5 — коэффициенты податливости, которые определяются свойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентации выбранной системы осей х, у, 3. Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга). Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. Я;ь = Яы.
Это вытекает кз теоремы взаимности работ (см. г 5.6). Работа, например, силы ау НуНх на перемещении Ядоя Нх, вызванном силой ая Нх Нх, равна работе силы оя Нх ох на перемещении Яг1 х Ну: с"* Ь о» . з1гоя 4х = оя ох "х . багге* Ф откуда следует, что 51г = Яг1. Если оси х, у, х являют- ся главными осями напряженно- Х го состояния, то тя, — г,х л ~Ь~ = тхз — — О, При этом угловые дефоРмации 7з„7,х, 7хк в нУль ~~~ ! Г не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси ~l напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не | совпадают.
Это иллюстрирует ф простой пример, показанный на ф /Я рис. 7.32. деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не только удлиненке, но и перекос. В данном случае касательные напряжения тхя равны нулю и, следовательно, осн х и у — главные оси напРЯженного состокннЯ. ЛефоРмацик же 7хя в нУль не обРащается. Следовательно, для деформированного состояния оси х и у — не главные.
Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растяжении по оси х никаких перекосов не возникало бы, и главные оси напряженного и деформированного состояний совпадали бы. А зто означает, что некоторые нз коэффициентов податливости при таком выборе осей обращаются в нуль. Значит, при определении коэффициентов ззв податливости в целях простоты следует сообразовываться с осями анизотропии среды. Наиболее простой вид матрица податливости приобрета ет, естественно, в случае полной изотропин (см. (7.20) и (7.21)): О 0 0 0 0 0 1 0 С 0 0 0 0 Несколько сложнее выглядит матрица податливости в случае моногпропии, или, как ее часто называют, шрамсеерсальмой изогпропии, которая свойственна композитам с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя (рис. 7.33). Рис.
7.$$ Обратимся к первому выражению (7.21) и, сохраняя обозначения для модуля и коэффициента Пуассона, снабдим их соответствующими индексами. Пусть по оси я модуль будет Е1, а по равноправным осям у и х — Е2. Тогда Йи 921 ея — оя оя Ог Е1 Е2 Е2 $39 1 Е Е р Е р l~ Е Е 1 р Е Е р 1 Е Е 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — 0 0 1 0 С Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя нндексамы.
Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй — той оси, по которой происходит сужение. Зля монотропной среды, естестиенно, р21 = п31. Написав аналогичные выражения и для остальных компонент деформкрованного состояния, получаем матрицу податливости монотропного материала в следующем виде: 1 ~23 0 О О 0 0 О Здесь по свойству симметрии — = —, а кроме того, поР21 7з12 Е2 Е1 ' скольку в плоскости у03 среда изотропна, для нее сохраняется Е2 хорошо известное соотношение 023 = . Таким обра- 2(1+ р32) зом упругие свойства монотропной среды определяются пятью независимыми константами.
И, наконец, еще один вид анизотропии, характерный для композитов — оргпогпропея, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 7.34). Здесь, в отличие от монотропии, оси у и э неравноправны. В частности, ортотропной является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными: 340 1 Е1 Р12 Е1 1~г Е1 ИП Е2 1 Ез Й32 Е2 ФИ Е2 Р32 Е2 1 0 0 0 0 О 0 0 0 0 1 — 0 а12 1 0 012 Рис. 7.34 Рис.
7.36 1 — о о ~23 1 о — о ~31 1 612 о о о где, конечно, по свойству симметрии И1 И12 И31 013 032 Й23 Ег Е1 ' Ез Е1 ' Ез Ег ' Упругие постоянные Ег, Ег, ... лля компознта можно определять не только путем испытания образцов. Если известны моцулн нитей и связующего, можно с достаточной точностью рассчитать упругие постоянные создаваемого композита. В частности, особенно просто определить модуль упругости Е1 для монотропного композита (рис. 7.35). Достаточно очевидно, Зчт 1 Е, И2 .Е1 Из Е1 И21 Е2 1 Ег Изей Ег из~ Ез йза Ез 1 Ез о о о о о о о о о что в случае длинных нитей Е1 = ЕвК~+ ЕсК~ где Е„и Ес — модули упругости нитей и связующего; тв и К~ — соответственно их объемные доли в композите.
Если наполнитель состоит из коротких нитевидных кристаллов, формула дает завышенные значения Е1. Возникает также погрешность вследствие различия коэффициентов Пуассона для нитей и матрицы, но она незначительна. Формулы для определения других упругих констант композита существенно сложнее только что приведенной, но не настолько, чтобы это серьезно затрудняло вычисления. В практике расчетов и упругих констант, и предела прочности композита широко используют понятие монослоя — как основного составляющего элемента слоистых структур. Монослой — это скорее двойной слой (см. рис. 7.35), содержащий два семейства нитей, направленных соответственно под угламн +у, — ~р или Ос, 90о к оси х. Если у = 0", получается однонаправленный монослой. Значения модулей упругости и пределов прочности такого монослоя даны в табл.
Ч.1. Приведенные данные заметно изменяются в зависимости от рецептуры связующего и от методов изготовления комцозита. Таблица 7.1, механические свойстве однонаправленных хомпоэитов с эпоксидной мвтрицей Окончание гаабл. 7.Д П р н и е ч ах н е. 1а — объемнал доля наполннтелз. Через П+, П н П,з длз наглюдностн обозначены соответственно пределы прочностн на растзженне, на сжатие н на сдвнг. В табл. 7.2 даны значенид модулей упругости и пределов прочности перекрестно армированных хомпозитов. Таблица 7.3. Механическке свойства ортогоналъно армированных и перекрестно армироваинвгх композитов 343 Глава 8 КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ 8.1.
Основные положения теории пластичности и разрушении Материал конструкции в зависимости от условий нагружения может находиться в различных механических состояниях. При небольших внешних силах вознихают только упругие деформации, или, как говорят, материал находится в упругом сосгвохкии. При больших силах обнаруживаются заметные остаточные деформации и материал находится в аласгаическом сосшохкии. Прн дальнейшем увеличении нагрузки происходит образование местных трещин и наступает сосглохкие разрушеких.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
