В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Точно так же не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится еще более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметрнчных факторов будет кососимметричной (рис. 6.24, а), а от симметричных факторов — симметричной (рис, 6.24, 6).
При перемножении танях эпюр, естественно, получим нуль, в то время хая перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную н симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля. 1 Рис. б.г4 Итак, вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем быХз+ 61гХг = -61р, бг1Х| + бггХг = — бгр., бзз Хз + бзбХ4 + бзбХб + бзбХб = — бзр, 643ХЗ + 644Х4 + ббзХ5 + 64бХб = ббр~ ббзХз + бб4Х4+ бззХб+ бзбХб = -бзр1 ббзХз + бб4Х4+ ббзХз+ ббвХб = -ббр.
Как видим, система уравнений распалась на две независимые. гво Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из высказанных выше соображений следует, что б1р — — 6зр = О. Первая система уравнений становится однородной. Тогда Х1 = О, Хз = О.
Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль. Прн кососимметричной нагрузке бзр —— б4г = бзг = Юе =О. ТогдаХз=О,Х4=О,Хе=О,Хе=О. Вэтомслучае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы. Все сказанное, понятно, сохраняет силу не только для плоских, но и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости. Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рис. 6.25.
Задача, таким образом, распадается на две. Рассматривают отдельно симметричную раму с кососимметричной нагрузкой и раму с симметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в раме определяют в дальнейшем наложением полученных решений. Рнс. 6.25 В случае, если рама геометрически кососимметрнчна (рис. 6.26), можно также путем сопоставления эпюр для двух половин рамы получить упрощения в системе канонических уравнений.
Нетрудно, например, таким способом установить, яв1 Рмс. 6.26 что длд рамы, показанной на рис. 6.26, при выбранной основной системе б13 = О, бзз = О, б1 р = О, бзр = О. Тогда уравнения принимают вид быХ1+ б32Х2 = О; б21Х1 + б22Х2 = О; бззХ3 + бзР = О. Следовательно, в сечении А возникает только изгибающий момент, а нормальная и поперечнад силы обращаютсд в нуль. П р и и е р 6А.
Раскрыть статмческую неопределимость н построить зпюру мзгмбающмх момеитоа длз рамы, похазаммой на рнс. 6.27, а. Р Р Р Р Р Р Рг Р4 С 'Г 'г Т у д Я Рнс. 6.27 Рама снмметрмчмак и магрумена кососимметричмо рзсполоменмымн снламм. Разрезаем ее по оси симметрии и в произведенном сечемнм прикладываем силы Х~ (рнс. 6.27, 6). Строям эпюры моментов (рнс. 6.27, е, е). Симметричные силовые факторы, как мы у|не знаем, равны здесь кулю. Взамем трех уравненмй получаем одна: БыХ1 + 61~ — — О, где дз Р~з 3 бы =, 61з = — —, откуда Х1 = — Р. Эпюра кзгмеающнх мо- 12Е,7 ' 4соу ' 7 ментов н форма язогмутои осм рамы представлены на рмс.
6.26. П р м м е р 6.6. Определить наибольший мзгкееющмй момент в кодьдевой раме, кзгруиекиой двуми скламк Р (рис. 6.29). /б 4Рй Рис. 6.26 Рис. 6.29 Рама трк раза статмчески иеопределима, ко условия снмметркк по. зволяют сократить число меызвестмых до одного. Разремем раму по верткхальыому дкаметру АВ (рис. 6.30, а), т.е. по оси сммметрки.
В сечениях А и В поперечные склы равны нулю. Рама одновременно скмметрмчна Р относительно лиымн действия скл. Позтому /уя = /гв = — Мя = Мв. Обозначим момент через Хг. В итоге получаем зхвмваленткую систему, представленную на рнс. б.бб, б.
// у Рмс. 6.30 В сечении с угловой моордикатай у момеыт от заданных скл Р будет РЯ М« = — (1 — со«о«). Момент единичного силового фактора равен Мг = 2 — — 1 Определяем козффмцкеиты хананкчесхого уравненмя «/з / м,«,«~, ««' (,) о «/3 / Мз~ВНа т/г 11= / Е1 2В1' о Тогда б, /1 Хг = — — = РН ~- — -!. бы 1 2 т/' Изгнбаюшнй момент в произвольыом сечения равен алгебраической сумме момента Мр от заданных сил и момента Мг, увелнченкога в Хг рез.
В итоге Г1 1 М = Мр — Хг = РЯ ~- — — сов аз 1з" 2 рй~--) 1 1У Согласно этому выраженша, на рассматриваемой четверти окружности мозгет быть пастраеыа эпюра изгмбаюшега момента, которую затем па условием симметрии можно распространить и на другие участки окружности (рис. 6.31). Наибольший изгябающнй момент возникает в точках приложение сил Р и равен РЗЦы. Рмс. 6.31 П р и и е р 6.6. Раскрыть статическую неапределымость и построить зпюру момектов длх рамы, показанной на рнс. 6.32, е. Рмс. 6.32 Рама геометркчески кососкмметрячна. Разрезаем ее в пемтре снмметрнк ы прикладываем в сечеыки тря неизвестных силовых фактора (рмс.
6.32, б). Строям все четыре эпюры моментов (одну — от заданных смл и три — ат единичных скловых факторов). Сопоставлке эти эпюры (рис. 6.33), убеждаемое, что бзр -- бз1 — — бю = бгз = О. Следовательно, сметена трех канонических уравнений прмнымает вид бпХз = -бзр, 'бъзХз+бззХз = О; бззХз+бззХз = О, откуда Хз = Хз = О. Палее, перемножал эпюры, находим 6! 221~ бы = —; бгр = —,' Х) = -б)~/12. Ез ' 3Юб' Рнс. 6.33 2у у 0 — ф 7ху" Рмс, 6.34 Суммарная эпюра изгибающих моментов показана на рнс.
6.34. Рассмотрим еще один пример, не относнщийсд к свойствам симметрии, но наглндно иллюстрирующий значение правильно выбранной основной системы при раскрытии статической неопределнмости. П р и и е р 6.7. Раскрыть статическую неопредеяимость стержня постоянного сечения, располоменного на десяти равноотстоюцнх одна от другой опорах (рис. 6.36, а). В дакном случае (н не только в данном, но к вообще дня многопролетного стернин) удобно образовать основную систему, врезка на опорах 336 4 уг уэ уг уг хз ь г Рмс. 6.36 шарнвры и ввода в качестве неизвестных так называемые опорные моменты (ркс. 6.26, 6). Таких моментов будет восемь. Построим зпюры от заданного н от единичных моментов (рнс.
6.65, ~-3). Эюоры от едннкчных моментов представлвют собон треугольники, расположенные вишь на смюкных с опорок пролетах, а зпюра от внешних скл кзображаетск треугольником на первом продето. Составим систему кз восьми уравнений. В первом уравнении отличными от иуда будут сдедующке коэффициенты: 21 1 бзз ю —; Ззз ю— ЗЕ.7 ' ОЕэ' н т.д. В итоге после сохращеккй система уравнений примет внд 4Х+Х + О = -М, Х1 +4Хз+ Хэ + О +... — О, О +Хз+4Хэ+ Хэ+ О+... = О, О +Хэ +4Хэ+Хз+ О+ ° ° ° = О, О+Х+4Х = О. 21 бы = —; ЗЕ1' Во втором уравнеикк также трех: 1 бз1 = —,' ОЕЛ' М1 бю = —; 61г = —. ОЕУ ' 6Е7 обратнтсв в нуль все коэффициенты, храме Мы получили систему уравнений трехдкагоиалькой структуры. Термин не требует разъяснений, и говорит сам за себя. Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффкциентов прк раскрытии статической неопределимостя получаются для систем, имеющнх одпотипкые, повторявшиеся элементы.
Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорного стержня. В более сложных задачах системы уравнений могут получитьсз не только трех-, но к пятк-, семи- илк девяткднагоиалькыми. Эти системы обладают относительной простотой и особенно удобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета. Именна поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрамн) на множество опкотипных элементов, напяленных определенными свойствами.
Условия совместной деформации элементов записывают с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствамк, Это позволяет получить на ыашяие решение даже при числе кекзвестных, измеряемом тысячами. В рассматряваемом примере система уравнений приобрела диац» нальную структуру в результате рационального выбора основной системы. Понятно, что рассматриваемый пркмер особенно прост. Коэффициенты вдоль диагоналей остаются неизмекиымп, поскольку расстояние мюяду опорами неизменно и жесткость пролетов одна и та же. Но основная простота — именно в диагональной, плн ленточной, структуре уравнений.
Это приятное следствие такого выбора расчетной схемы было подмечено давно. Пля многопролетного стержня уравнения можно обобщить на случай различных длин пролетов и произвольной нагрузки. Такого рода уравнения называются уравкенкями трех моментов и еще в недавнем прошлом возводились даже в ранг "теоремы о трех моментах'. Лишь относительно недавно, в связи с развитием машинкой техники, была осознана общность подхода, далеко выходящая за рамки методов раскрытия статической неопределпмостк систем.
Но вернемся х уравнениям. Положим, что Х< = Ае', где А н а— неопределенные величины, яе зависящие от пидехса й Легко заметить, что при талом предположении будут удовлетворены все уравнения, кроме первого и последнего, если только 1+ 4а+ аз а О. Определим корни этого уравнению а1 = -2 + ~~3, аз = -2 — чз.
Теперь построим более общее вырикению х; = Аа)+ Вз. Опять удовлетворены все проме|куточные уравнения. Но теперь мы располагаем двумя яоистаптамк А и В, которые можно подобрать так, чтобы были удовлетворены первое и последнее уравнения. Подставлял в первое уравнение Хг и Хз, получим А+В м М. Пусть крайняя правая опора имеет индекс в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
