В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 17
Текст из файла (страница 17)
формулу (2.13)).,Пля сплошного сечения „Оз ИЪ = — 0,2,03, 16 для кольцевого сечения (полый вал) 14 '1 б 2Оз~1 114 (2.18) Рис. 2.1$ дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон. 115 Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что при заданном крутящем моменте угловые перемещения вала обратно пропорциональны четвертой степени диаметра.
Что же касается наибольшего напряжения,то оно, согласно выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаме- тра О, Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу р. Из условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях (рис.2.15). Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов. Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16). Рис. 2.16 Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент АВСР, показанный на рис.
2.17, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига, как и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение г изменяется по радиусу поперечного сечения. Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с т значение.
При этом одно из них является растягивающим, а второе — сжимающим. Рис. 2.17 11В Согласно сказанному, на гранях элемента А1В~С1 Р1, выделенного из стержня при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45' к образующим, возникают нормальные напряжения, показанные на рис 2.17. Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягнвающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис.
2.18). Наличие растягивающкх и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала (рис. 2.19), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45е к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей — сжатие. Рис. 2.19 Потенциальную энергию деформация, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения.
Рассмотрим участок закрученного стержня длиной Нл (рис. 2.20). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов Ме, приложенных по торцам: 1 «ЕЕ = — МяФ~ 2 Мз<Ел НЕЕ = (2.10) Потенциальную энергию во всем стержне определяем кнтегрнрованием выражения (2.19) по длине: Е о (2.20) Если момент М„по длине не меняется и жесткость постоянна, то М„= 9Л и Ж\зЕ ЕЕ = —. 20.Ер Рассмотрим некоторые примеры. гза где Еу — взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент М„ меняется пропорционально Щ В полученное выражение подставляем Ыу согласно формуле (2.8).
Тогда П р и м е р 2.1. Вал передает момент Од = 10000 Н м. Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев: а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сеченмя с отверстием (4 м 7Р/8). Сравнить оба сечения по расходу металла. Лапускаемое напряжение [~ ] = 60 МПа. Согласма формуле (2.14), для обоих сечений 14гр м М„/[г] = 167 ем . Лля сплошнага сеченмя, согласмо вырикеиию (2.17), Рз = 167/О, 2 = 886 смз, 'Р = 9, 41 см. Лля полого сечения из выражения (2.18) получаем Р = =2014см; Р =12,6см. О, 2 (1 — уь/бь) Расход металла цропарционален площади поперечного сечения.
В первом случае Г = яР~/4 = 69,6 см, ва втором— хРэ / 1г = — 1 — — ~ = 29 2смз. — Р~- Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (пря я/Р = 7/8) дает более чем двукратное снижение расхода металла. Рмс. 2.21 То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошнага сечения, ясно мз рассмотренна эцюры напрюкеннм в сечеммм вала (рис. 2.21). В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало и его использование далеко не полно. Для сечения с отверстием напрюкенмя распределены более равномерно (см.
рис. 2.21) к степень использования материала повышается. 119 П р и м е р 2.2. Построить зпюры крутююаг моментов, иапряжеикй и углов поворота для вала, показанного ыа рис. 2.22, я. ггяррг П,рря д~ыг ы П4'р Ору 1р зМ Ф Рыс. 2.22 Система является одыы раз статически неопределммой. Пазтому сначала раскрываем статическую неопределимость. Пля етого отбрасываем левую заделку и ее декствие на взл заменяем моментом 9й„(рис, 2.22, 6). Этот момент определяется из условия, чта поворот левого торцевого сечения относительно правота равеы нул)а. Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взакмных углов поворота торцевых сечений на участках АВ, ВС, СР и РЕ.
Согласие формуле (2.11), соответственыо этим участкам получаем и и )и — )[ )~ — )1 )и - а)з С3р С1р С3р С3р' 120 где СУр — жесткость ма участке с диаметром В, а г Зр — жесткость ка участке с дыаметром 20. Очевкдыо, бзр = 190зр. Учмтывая это соотнощенме, находим 9 99э ж — 99.
17 Теперь легко постронть эпюру крутящкх моментов (рпс. 2.22, е), а ыо формуле (2.14) определить э'ньз во всех сеченмях вала (рыс. 2.22, е). Прм рассмотрении построенной эпюры напряженый следует учмтывать, что в зонах прнложенкя внешних моментов нмеет место откломенке действительного закона распределенмя ыапрюкенмй в сеченмн от полученного лмнейного. Однако, согласна прмнымпу Сен-Вемена„ зтн отклоненкя носят местный характер ы практически не распространяются по оси за пределы расстаяммй порядка дкаметра сеченмя.
Находим углы поворота сечеымй. На первом участке угол поворота сечення, расположеннога на расстоянии я~ от заделкн, 99э з~ 999з! Ьгз = С !р 170 !р ' Эта завнснмость нэображается прямой, показанной ка зпюре р (рнс. 2.22, д). Прм з~/2! ммеем 1999! 1Р = 17С~'р ' На втором участке к этому углу прмбалляем (99А — 99) зз бур где зэ отсчнтываем от левого края второго участка. Так по участкам строим эпюру, показанную ма рмс.
2.22, д. П р н м е р 2.3. Имеется система, показанная на ркс. 2.23. Рычагы ЯВ и С — абсолютно жесткме. Между мнмк образован зазор Ь. Найти вертнкальное перемещеные точкн ~рмложенмя снлы Р, еслн жесткостн валов ! н П на кручеыке одкмаковы к равны СХр. Прм малой сыне Р зазор Ь не перекрывается, м работает только вал П. Искомое перемещеыме равна, очевндко, б = ре, клы, согласно формуле (2.11), Раз! б = —. (2.21) После тога как зазор закроется, система становмтся статмческк неопределимой.
Пусть М~ к Мп - крутящке моменты, возникающие в валах 121 Рмс. 2.23 1 и П. Из условий равновесия М~ + Мп — — Ра. Уравнение перемещений будет следующим: азгп — ачч — — Ь, или, согласна формуле (2.11), б Мп — М, = — йУ,. !а Исмлючая Мь находим Ра 6 2 2!а Искомое перемещенме Мо! Р!а 6 6= — а= — +— Гззп 2С.уз 2 (2.22) Вырамепме (2.21) применимо до значений 6, не превышающих !з, т.е. прн р,с з ~Жз „з! 122 Если сила превышает эту величину, перемещение следует определять по формуле (2.22), На рис.
2.24 помазана зависимость перемещения 6 от силы Р. 2.3. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением Определение напряжений в стержне с некруглым поперечным сечением пре редставляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена м тод е ами соп отнвления ма- Р те палов. Причина заключается в том, что д ру ля нек углого териалов. свих сечений, сечения упр ошаюшая гипотеза неизменности плоск введенная ранее, оказывается непрнем лемой. Сечения заметно иск ивляются, в езультате чего существенно меняется картина распределения по ним напряжений.
а рис.. в к примера показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечного сечения. . На поверхность предварительно была нанесена мелкая прямоугольная сетка, которая деформировалась вместе с поверхностными частицами металла. оперечные линии сетки замет заметно искривлены, следовательно, будут искривлены и поперечные сечения. Рис. 2.2В Таким образом, прн определении углов сдвига необходимо учитывать н не только взаимный поворот сечении, но также н местныи пере екос связанный с их искривлением. Задача, кроме того, резко усложняется тем, что для ру нек глого сечения напряжения будут определяться в фу у нкции же не одного независимого переменного (р), а двух (я и у).
Выскажем общие соображения относительно законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой фортеории упругост и нли некоторых наиболее часто встречаю- 1 шихся форм поперечных сечений. 123 Прежде всего, можно довольно просто установить, ито касательные напряжения в поперечных сечениях для точек, расположенных вблизи контура, направлены по касательной к луге контура. Пействительно, полохсим, что в точке А (рис.
2.26) касательное напряжение т вблизи контура налравлено под некоторым углом к хонтуру. Разложим зто напряжение на две составляющие — по касательной к контуру т~ и по нормали т„, Рис. 2.26 Рис. 2.27 По условию парности на свободной поверхности стержня должно возникнуть хасательное напряжение т,', = т„. Но внешняя поверхность свободна от нагрузки и к ней никаких внешних сил не приложено, кроме, разве что, сил атмосферного давления. Таким образом, т,', = О. Следовательно, т„= О, н касательное напряжение т вблизи контура направлено но касательной к контуру. Совершенно аналогично можно показать, что в случае, если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения обращаются в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
