В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1ЗЗ Перейдем к составлению расчетных формул, Начнем с открытого профиля. Достаточно очевидно, что форма пленки (см. рис. 2.32, а), а следовательно, и напряжения в стержне сильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Но в зтом случае могут быть использованы расчетные формулы, приведенные выше для прямоугольного сечения с большим отношением сторон. Обращаясь к формулам (2.23), (2.25) и табл.
2.1, при а/б = оо получаем 3М„ га)ах = езя ' ЗйИ Ф Сезз' (2.31) где Б — толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника); з — длина контура поперечного сечения (ббльшел сторона прямоугольника). Полученные таким образом расчетные формулы являются общими, т.е. не зависят от формы профиля, еслк только последний может быть развернут в прямоугольник. В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным, как зто, например, показано на рис. 2.33, и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, поступают следующим образом: момент М„рассматривают кйк сумму моментов, возникающих в отдельных участках. Тогда, согласно формуле (2.31), ба = М = — 1 Аз~ + егяз + " + й еа) Ф~ 3 3 3 Зй?1 (2.32) 6 (б~~з1 + бззз + ..
+ безп) При помощи пленочной аналогии легко установкть, что наибольшие напряжения возникают на участке с наибольшей толщиной бра„. Для зтого отдельно взятого участка, которому Р .г.зз РиС. 2.34 мы припишем номер 1, справедливы формулы (2.30) и (2.31): зм„; зм„; — — 3.~ ~' — 3 б;в; Об;в; где М„, — доля крутящего момента, соответствующего б-му участку; у — угловое перемещение, единое для всех участков. Исключая из этих выражений М„;, находим ' =тпах =Ф— $ ~ \ или, учитывая выражение (2.32), получаем ЗмкАпах (бз1в1 + бз~вз + + бзвя) Изложенный метод определения налряжений в незамкнутом профиле является приближенным, поскольку не учитываются повышенные местные напряжения во внутренних углах ломаного профиля. Чем меньше радиус закругления во внутренних углах, тем больше местные напряжения.
Это наглядно можно проиллюстрировать при помощи пленочной аналогии (рис. 2.34). Местный угол наклона а пленки в точке А больше, чем в остальных точках внутреннего контура. Во избежание местных перенапряжений внутренние углы в профилях выполняют скругленными. Рассмотрим теперь кручение стержня, имеющего поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 2.35). Рис. з.зб Здесь, в отличие от открытого профиля, напряжения распределены по толщине равномерно. Выделим из стержня элементарную призму длиной Из. Размер призмы в направлении дуги контура, т.е. расстояние между точками 1 н й, является произвольным. Пусть толщяна контура в точке 1 будет бы а в точке 2- бг. Соответственно через т1, и тз обозначим напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях возникают парные напряжения тг — — тз н тз = тз. 1 1 Составим для выделенного элемента уравнение равновесна, спроектировав все силы на направление оси бруса.
Очевидно, т~б~йэ = тзбзйэ. Так как точки 1 и 8 взяты произвольно, то т6 = сопз$. Таким образом, произведение тб по длине замкнутого контура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщину, напряжения будут соответственно ббльшими. Выразим крутящий момент через напряжения т. Для этого возьмем на контуре элементарный участок длиной Нз (рис. 2.36). Момент силы тЫв относительно произвольно взятой точки О равен тбНэ~ОА~. Тогда Мк = ~ОАфз. гзе Рис. и.зе М„= т52Г. Наибольшее напряжение М„ теел = — „ ~м1п (2.34) Остается определить угловое перемещение у для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения.
Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение т, с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент 9Л. Обратимся к выражению удельной потенциальной энергии при сдвиге (2.3) тз Уе = —. 20 Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами Из, дз, б, равна .,г Ю = — ЫЫз, 26 137 Но произведение тб по длине дуги контура не изменяется, поэтому М„= те ~ОАфз. Произведение ~ОАфз представляет собой удвоенную площадь треугольника О ВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней лкнней контура.
Обозначим эту площадь через Е' в отличие от Г, Таким образом, Это выражение должно быть проинтегрировано по длине стержня! и по дуге замкнутого контура. Если стержень является однородным по длине, то ! 1 з 1тзбз /Ив у = — / тзИв = — / —. 20,/ 20 ,/ б Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что М, 9Л тб= — * = —, 2гч' 2Г' ' получим у 9Л21 ( (~в ВСР'з ./ б Однако энергию о' можно выразить как работу внешнего момента 9Л на угловом перемещении у: 1 У = — 9Л1в.
2 Приравнивая оба выражения для У, находим йП б ~Ь 40Р'з,/ б Если толщина б по дуге контура не меняется, то 9Л Св 4Сг"зб ' где в — длина замкнутого контура. Пля различных сечений геометрические параметры В'„и ,1„, входящие в формулы напряжений и углов поворота Мх 9Л1 твах = —, 1Р = —, Й'„' с,7, ' приведены в табл. 2.2. ззв П р к м е р 2 4.
Опршмлнть напряжение и угдовое перемещение в тонкостенной трубе, 'свернутой из листа, для двух вариантов: а) края листа свободны (рис. 2.37, е), б) краа листа склепаны (рис. 2.37, 6). Сопоставить напряжения и углы поворота сечений. Рис. 2.37 В первом варианте профиль поперечного сечения следует рассматривать как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев виахлестку, согласна формулам (2.30) н (2.31), получаем Фя = з 4С вЂ” 6 рассмотрим отношения наирюкеиин 3 Вз ря 46 Таким образом, отиошенке напряжений имеет значекке порядка В(6, а отношение углов поворота — порядка В~/6~. Но, согласно определению тонкосгенности, В много больше, чем 6.
Следовательно, замхиутый профиль оказывается существенно более прочным и в еще большей степени жестхкм, чем такой же незамхпутый. 139 39Л Ге= ~ фа еВ6з' Во втором варнанте лрофкль является (2.34) и (2.33), имеем Ы тя = — -~-,' 2 — 6 4 Лля более наглядного сопоставлениз к углов: ге 3В 26' 3321 бхВйз ' замкнутым. Согласно формулам Этот вывод является обигнм. Внешний момент, пркловмнкый к стержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментамн внутренних снл с длиной плеча порядка поперечных размеров сеченкя, в для открытого профиля — порядка толщины. Отсюда следует, что касательные напряжения в открытом профиле будут во столько раз болыие, чем в эамхнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше его толшины.
П р н и е р 2.3. При заданном моменте ЯЕ и геометркчесхих размерах трубы, рассмотренной в предыдущем примере, найти усидие, приходящееся на одну заклепку (см. рвс. 2.37, 8). Лвумя продольными сеченкямк выделяем кз трубы клепаный узел (рис. 2.38). Сила, денствующая на заклепки вдоль обраэующек, равна Р=гй, но яР 2 — 6 4 следовательно, 2йИ Р=— ,г~ю ' Если число заклепок равна и, то скла, приходящаяся на одну заклепку, будет равна Р)п.
С~ 'э Рис. 2.38 Иэ силовой схемы, представленной на рис. 2.38, видно, что прк отсутствии заклепок хонды листа получилк бы смещение вдоль образующей. Поперечное сечение вышло бы прн этом кэ своей начальной плоскости и произошла бы, ках говорят, деплаиацвл сечения. Ограничение депланапни приводит х повышению жесткости н прочности стержня.
В тех случаях, когда нз зхсплуатаннонны*, монтажных ила конструктивных соображений приходится идти на применекне незамкнутых профилей, стараются изложить местные ограничения на деплаиадию. 140 Рнс. 2,40 Рис. 2.39 Так, на рнс. 2.39 показан стержень с тонкостенным незамкнутым профилем, в котором при помоши жесткой заделки н двух перемычек ограничена депланания.
Кручение в таких условиях носит название спзесненного кручения. П р и м е р 2.8. К тонкостенному стержню корытнога профиля (ркс. 2.49) приваривают стержень с угловым профилем. Определить, во сколько раз увелнчитск жесткость стержня на кручение и во сколько раз при том же моменте снизятся напряжения. Пля корытного профиля формула (2,32) дает ЗОЛ! 06з(2Ь+ Л) Йля составного профиля по той же формуле получаем 393И С (ЗЬбз 4 (26)зЛ)' Следовательно, жесткость после приварки уголка увеличится в (ЗЬ+ 8Л)/(2Ь+ Л) раз. Согяасно формуле (2.31), для корытного профиля 399 бз(26+ Л) ' а для составного 399 .
26 ЗЬйз + (26)зЛ Следовательно, после приварки уголка напряжения уменьшатся в О, 3 (ЗЬ+ +ЗЛ)/(26+ Л) раз. 141 Глава 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ 3.1. Статические моменты сечения о'х = уН'; ЯК вЂ” — хаГ. (3.1) Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей пг' на расстояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется стаапаческим моменгпом сечения относительно оси х, а второй— При решении задач, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня. Эти характеристики применяются в основном при решении задач изгиба и в силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии не изучаются. Их рассматривают обычно в курсе сопротивления материалов.
Настоящая глава и посвящена этому вопросу. Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 3.1). Свяжем его с системой координат х, у и рассмотрим два следующих интеграла: Рис. 3.1 Рис. 3.3 статическим моментом сечения относительно оси у. Статический момент измеряют в смз или ммз. При параллельном переносе осей статические моменты изменяются. Рассмотрим две пары параллельных осей хг, у1 и хз, уз. Пусть а и 6 — расстояния между осями х1 и хз, у1 и уз соответственно (рис. 3.2). Положим, что плошадь сечения Г и статические моменты относительно осей х1 и у1, т.е.
Яс, и Яю, заданы. Требуется определить Я„и Як . Очевидно, хз = х1 — а, уз = у1 — 6. Искомые статические моменты будут равны 522 = (у1 — 6) НГ; 592 — — (х1 — а) ЫГ, нли Яд, —— Яд, — аГ. оса = Яс1 — 6Г; Ясз = Яс, — ЬГ. Величина 6 может быть любой: как положительной, так и отрипательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведению плошади Г на расстояние между осями.
Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений: единственным образом) так, чтобы произведение бг' было равно 5к,. Тогда статический момент 5 ,относительно оси хз обращается в нуль. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется иемнгральног1. Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до втой оси от некоторой, произвольно взятой, оси х1 равно 5к, Ь=у,= —.
— с— Аналогично для другого семейства параллельных осей 5 а=хс = —. Уз Г ' Точка пересечения центральных осей называется иемпгроле пглзсссгпн сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равнодействующих сил тяжести. Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжести пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной плошади оГ, а момент сил тяжести относительно некоторой оси — статическому моменту. Этот момент относительно оси, проходяшей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси. Выражении (3.2) и (3.3) дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, нли, наоборот, найти статические моменты, если известно положение центра тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
