В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

ПРи а = О и а = 90е напРЯжениЯ ое и то пРинимают значения, соответствующие исходным площадкам, т.е. сг,„= О, а т,„= т. При а = ~45е т„= О, а а,„= ~т. Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45~, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения являются растягивающими, а на другой — сжимающими.

Таким образом, чистый сдвиг может быть представ- 105 Рие. З.Ь лен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимна перпендикулярным направлениям (рис. 2.5). Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напряжение т связано с угловой деформацией у соотношением (1.13): Е т = 6 у, где, как мы уже знаем, 6 = (см. з 1.5). г(1+ р) Рис. 2.в В результате возникающих угловых деформаций пластина, показанная на рис.

2.2, перекашивается, а торцевые сечения трубки (ркс. 2.б) получают взаимные угловые смещения у. Характер возникающих смещений показан на рис. 2.7, причем у= у1/В. (2.2) Рис. 2.7 106 Прк чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом теле накапливается упругая потенциальная энергия.

Эту энергию легко подсчитать, рассматривал изменение формы прямоугольного элемента с размерами Их, Иу и толщиной б (см. рис. 2.7). Примем нижнюю грань элемента условно за неподвкжную, Тогда при смешении верхней грани сила тдхб совершит работу на перемещении 7ду. Так как сила меняется пропорционально смешению, то ее работа равна половине произведения тдхб 7ду (см. $1.3). Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна И(7 = 1/2т7дхдуб. Если отнести энергию к единице объема, получим Н7 1 оо = = т7 оУ 2 Выразим 7 через т по закону Гука.

Тогда 170 = —. 20 (2.3) Величина У0 называется удельной пошенциальной энергией при сдвиге н измеряется в Дж/м . Аналогична испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига. Пля этого удобнее всего воспользоваться испытанием тонкостенной трубки (рис.

2.8). Если во время испытания производить замер момента 9И и взаимного угла поворота сечений ~р на длине 1, можно построить пля образца диаграмму йл = Д~Р). В дальнейшем эту диаграмму, согласно выражениям (2.1) и (2.2), можно легко привести к переменным т и 7. Таким образом может быть получена диаграмма сдвига для материала т = 1(7) Рис. 2.8 107 Сопоставление диаграммы сдвига с диаграммой растяжения для одного и того же материала показывает их яачественное сходство. На диаграмме сдвига также имеется упругая зона, зоны текучести и упрочнения. Аналогичным образом для сдвига, яая и для растяжения, можно было бы дополнительно ввести следуюшие хараятеристихи: предел пропорциональности при сдвиге, предел упругости, предел теяучести и т.д.

Прежде, когда изучение меха ники деформируемых тел находилось еще в начальной стадии, тая обычно и поступали. В дальнейшем, однако, было установлено, что харахтеристияи сдвига связаны с характеристиками растяжения. В настоящее время теория пластичности дает возможность построить теоретически диаграмму сдвига по диаграмме растяжения, а также выразить все характеристики сдвига через уже знакомые нам механические характеристики растяжения.

Точно тая же допускаемые напряжения и коэффициенты запаса при чистом сдвиге могут быть связаны с соответствующими величинами для простого растяжения. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в гл. 10. 2.2. Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Уравнения равновесия Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только ярутяший момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Пля крутяшего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент М„ направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.

На рнс. 2.9 показан стержень, нагруженный по концам моментами 9Л. Если посмотреть на плоскость А со стороны внешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, что момент М„направлен по часовой стрелке. Следовательно, М„ 106 Рис. 2.9 будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В, Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов.

На рис.2.10 показано несколько примеров нагружения стержня сосредоточенными 9Л и распределенными д~ (Н м/м) внешними моментами. Лля этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную не наблюдателя, а кружок с крестиком — силу, направленную ош наблюдателя.

На рис. 2.10 приведены соответствуюшие эпюры крутящих моментов. Положительные моменты отложены вверх. -ф Ф Рис. 2.10 109 При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид кмеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней. Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое.

Этот угол поворота для различных сечений будет различным. Сказанное представляет собой еипогпезу плоския сечеиий — предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений. Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой. Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Лвумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной Иг, а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами р и р+ Ир — элементарное кольцо, показанное на рнс. 2.11. шо Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол Иу.

Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол 7 и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны, рйр, а с другой— 2 Ыг. Следовательно, и называют отоиосительным углом закручивания. Это — угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина д аналогична относительному удлине- нию при растяжении Ы/1. Вводя обозначение д, получаем По закону Гука для сдвига т = Сдр, (2.5) где т — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения образуются в продоль- ных плоскостях — в осевых сечениях (см. рис.

2.11). Угол у представляет собой не что нное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величину йр/Нг обозначают обычно через д: — =д, д1о (2.4) ~Ь Рис. 2.1В Элементарные силы тНК (рис.2.12) можно привести к крутяшему моменту М„= гроГ. Выполним интегрирова- Г ние для всей плошади поперечного сечения г.

Подставив в подынтегральную функцию напряжение т из выражения (2.5), получим М„= Сд | р ЫГ. Интеграл у р Нг' представляет со- 2 Г з г г бой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см4 и носит название полярного момекпза инериии сечения: (2.6) Таким образом, получаем М„= 0.7яд, или д=— Мк (2.7) у.у„' Произведение 6.7я называют жесткостью стиержна при кручении.

Если стержень имеет переменное сечение, то 1я зависит от з. Через относительный угол закручивания д легко определить и взаимный угол поворота сечений у. Согласно выражениям (2.4) н (2.7), (2.8) Уравнение (2.8) и первое уравнение системы (В11) при Р ф О дают систему двух 'уравнений равновесия прямолинейного стержня переменного сечения при кручении (Ра = М„): НМ, — '+Р, =О; лз ~6Р М„ — — — ' = О.

Н2 0,7р Система уравнений (2.9) позволяет определить внутренний крутящий момент М„н угол поворота сечения у для любых Ра и 91?, в зависимости от координаты з, например для случал г показанного на рис. 2.10. Из уравнения. (2.8) получаем 1 (2.1О) где 1 — расстояние между сечениями, для которых определяют взаимный угол поворота т. Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, М, = ОЛ, а жесткость остается постоянной, то ОЛ! 'Р = (2.11) й~„' Вернемся теперь к выражению (2.5). Исключив нз него д, получим МаРтах гтак = Хя Величина 1р — = И' Р Ртак (2.13) 113 г = —. МаР (2.12) 1Р Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рис.

2.13). При этом называется полярным момекгаом сопротивления и измеряется в см . Окончательно имеем М, тп~ах = (2.14) Юя ,7 = 2я р~йр о где Р— диаметр сечения, нли тв ,г 32 Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметром Ы (рис. 2.14), то (2.15) В/2 ,У„= 2т р~Ыр, Н/2 Формулы (2.11) и (2.14) являются основнымн расчетными Формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения.

Определим теперь геометрические характеристики сечения 1р и И'р. Лля этого подставим в выражение (2.6) вместо НГ плошадь пояска 2трНр (см, рис. 2.12). Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то п~з 114 или (2.16) Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления Ия (см.

Характеристики

Список файлов книги