341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 30
Текст из файла (страница 30)
К уравнениям Вольтерра 1-го рода приводит, например, следующая важная задача, часто встречающаяся на практике. Пусть задана некоторая линейная динамическая система, х(1) — ее входной, а у(1)— выходной сигналы. Тогда, как известно, зависимость у(г) от х(1) может быть записана в виде Гл. 15. Интегральные уравнения 228 д(й, т) = 0 при т > 1) и система находилась в покое до момента вре- мени Со (т. е.
х(С) = 0 при С ( Со), то (28) принимает вид с у(с) = д(с, т) х(т) сст. (29) Если теперь требуется по известному выходному сигналу восстановить внешнее воздействие, то мы приходим к уравнению Водьтерра 1-го рода (29) относительно х(С) при заданной функции у(С). В отличие от уравнений Вольтерра 2-го рода, решение уравнения Вольтерра 1-го рода (27) существует только в том случае, когда свободный член ) (х) удовлетворяет ряду дополнительных условий, зависящих в каждом конкретном глучае от свойств ядра К(х, с). В частности, каково бы ни было ядро, необходимым условием существования решения, как это видно из (27) при х = О, является равенство у(а) = О. Пример 10.
Найти условия разрешимости в классе непрерывных функций и решение уравнения 1 (х — 1)" ' у(С)сМ =,((х), и =1, 2, ..., х б [О, с]. (30) (и — 1)! о <э Предположим, что непрерывное решение у(х) существует. Тогда из (30) следует, что у(0) = 0 и существует непрерывная производная ус(х), х Е [О, с]. Дифференцируя (30) последовательно и раз, получаем х .( .-') ( . 1)н-з у(С) асс = с' (х), о х у(1) СС = У<" О(х), о у(х) = )с"с(х). Таким образом, если непрерывное решение у(х) существует, то функция ,)(х) имеет непрерывные производные до и-го порядка включительно, причем ,с (0) = с"'(0) =... = с"с" О(0) = 0; (31) при этом решение единственно и доджно иметь вид у(х) = )с "с(х).
Подставляя в (ЗО) у(х) = 700(х) и и раз интегрируя по частям с учетом 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 229 К(х, х) у(х) + / ' у(«) Й = ('(х) Г дК(х, «) дх а или ~'(х) (' 1 дК(х, «) К(х, х) „/ К(х, х) дх (32) т.е, у(х) есть решение уравнения Вольтерра 2-го рода (32). Обратно, непосредственной проверкой убеждаемся, что решение уравнения (32) при условии у(а) = О уловлетворяет и исходному уравнению (см. задачу 15.77). Пример 11. Решить уравнение (2+ х' — «') у(«) Й = х', о ' сведя его к уравнению Вольтерра 2-го рода.
1 Дифференцируя вто уравнение, получаем 2у(х) + 2ху(«) Й = 2х о или ху(«) Й / о Ядро К(х, «) = — х вырождено и, у(х) = х— — уравнение Вольтерра 2-го рола. х полагая и(х) = у(«) Й, получаем о у(х) = х — хи(х), и'(х) = у(х) =.х — ху(х) соотношений (31), найдем, что функция у(х) = у'Ой(х) действительно является решением исходного уравнения (проверьте)). О. Если ядро К(х, «) и свободный член «(х) («(а) = О) уравнения (27) дК(х, «) таковы, что существуют непрерывные производные и «'(х) и, дх кроме того, функция К(х, х) ф О всюду на [а, 6], то уравнение (27) вквивалентно уравнению Вольтерра 2-го рода и, следовательно (см.
и. 1), имеет единственное непрерывное решение. В самом деле, предполагая существование непрерывного решения и дифференцируя (27) с учетом перечисленных условий, получаем Гл. 15. Интегральные уравнения 230 или и~ + хи = х, и(0) = О. Отсюда и(х) = 1 — е ' ~2 и р(х) = хе Если в исходном уравнении Вольтерра 1-го рода (27) К(х, х) = 0 на [а, 5), то после дифференцирования этого уравнения снова получается уравнение 1-го рода, и при выполнении соответствующих условий— можно повторить описанный выше прием. При этом, однако, следует всякий раз внимательно учитывать отмеченные выше ограничения на свободный член, необхолимые лля разрешимости уравнения. Пример 12. Решить уравнение гйп (х — 1) у(1) о1 = ех — 1. 1 о (33) з Условия существования и непрерывности производных для ядра и свободного члена здесь выполнены.
Дифференцируя дважды, получаем х соэ (х — 1) р(1) Й = е*, о (34) у(х) — сйп (х — 1) у(8) Й = с'. (35) 15.78. (х — 1) у(1) с(1 = сх — х — 1. о х .2 15.79. е* 'у(1) ог = —. 2 о а Уравнение (35) есть уравнение Вольтерра 2-го рода и оно имеет единственно непрерывное решение у(х) = 2ех — х — 1, которое может быть найдено, например, операционным методом. Однако функция 9(х) = = 2е* — х — 1 не удовлетворяет исходному уравнению, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой, Дело здесь в том, что уравнение (34) не имеет решения, так как е*~,-о — — 1 ~ О.
А поскольку решение уравнения (33) должно удовлетворять уравнению (34), то и исхолное уравнение (33) не имеет решения. ~> 15.77. Доказать, что решение уравнения (32), в котором у (а) = = О, является решением и уравнения (27). Решить заданные уравнения Вольтсрра 1-го рода, сводя их к уравнениям 2-го рода: О 1.
Интегральные уравнения Вольтерра 231 15.80. 3* ~у(8)й = х. о х 15.81. яп(х — 1) у(~) й = 1 — соах, о х 15.82. вЬ(х — 8) у(г) й = аЬх — х. о х 15.83. (х — ~) у(~) Й = х . о 15.84. (х — 1) у(1) й = х + х~. о -х 15.85. (1+ х — 8) у(1) й = -е япх. 2 о х2 15.86. / (1 — х +8 ) у(1) Ж = —.
2 о х 15.87. (21 — х) у(1) <И = х — 1. 1 Решить уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки, применяя преобразование Лапласа непосредственно к заданному уравнению (см. также п. 3): х 15.88. (х — 1) у(1) й = сЬ х — 1. о х 15.89. яп(х — 1) у(1) й = — х . 4 2 о 15,90. соа (х — 1) у(М) о1 = хяпх.
о 232 Гл. 15. Интегральные уравнения х 15.91. яЬ(х — Е) у(1) й = 2яйи2 —. 2 о 15.92. (х — 1) я1п (х — 1) у(с) й = ягп х. о 15.93. (х — х)е у(с) й = -е — хе х-~ 1 2х х 2 2 0 х 15.94. ех 'соя(х — 1) у(Е) й = хе*. о х-1 2х 15.95. ~ ех яй(х — 1) у(Е) й = — е "' — -х — —. 4 2 4 о 15.96. (х — Е) яЬ (х — Е) у(1) й = х сЬ х — я)1 х. о х 15.97*. ъ/х — 11ЕЯ й = хат/х.
о 9 2. Интегральные уравнения Фредгольма 1. Основные понятия. Метод последовательиыл приближений и резольвента для уравнений Фредгольма 2-го рода. Линейными интегральными уравнениями Фредгольма называются уравнения вида у(х) — / К(х, С) у(2) й = ~(х) а (уравнения 9-го рода) и К(х, ~) у(2) й = Е(х) (2) (уравнения 1-го рода).
В (1) и (2) у(х) — искомая функция, а ядро К(х, 2) и свободный член Е (х) предполагаются заданными соответственно в квадрате а < х, 2 < 6 и на отрезке [а, 5). Если, в частности, 3 2. Интегральные уравнения Фредгольмз 233 К(х, г) = О при а < х < ь', то уравнения (1) и (2) превращаются в уравнения Вольтерра 2-го и 1-го рода соответственно. Мы ограничимся рассмотрением уравнений ГРредгольма 2-го рода, наиболее интересных и важных для приложений. Далее будем предполагать, что пределы интегрирования а и Ь в (1)— конечные числа, а функции К(х, 1) и у (х) либо непрерывны в своей области определения, либо, в более обшем случае, уловлетворяют условиям ~К(х 1))~дхдь = Вк <+со.
(3) а а ~У(х)~т дх < +со. (4) ь ь — 1/2 Ю ~ — ' = Д>кС*.С'ья Вк а а (6) (точнее, )Л( < Ль (, где Ль — наименьшее по модулю характеристическое число уравнения (5), см. и. 3). При условии (6) уравнение (5) имеет единственное решение (непрерывное, если непрерывны К(х, г) и г" (х)), которое может быть найдено методом последовательных приближений подобно тому, как зто делается в,случае уравнений Вольтерра 2-го рода (см. и. 2 ~ 1). А именно, перепишем уравнение (5) в виде р(х) = г(х) + Л К(х, ь) р(С) дт Если у(х) = 0 всюду на (а, Ь), то уравнение ьррсдгольма 2-го рода (1) называется однородкь и, в противном случае оно называется нсодкоридиььк. Решением уравнения (1) будем называть всякую функцию у(х) класса Ет(а, Ь), обращающую зто уравнение в тождество относительно х б (а, Ь).
Обычно рассматривается нс одно уравнение (1), а семейство уравнений ь у(х) — Л К(х., 1) у(Х) й = у(х), (5) а зависяших от числового параметра Л, который может принимать как действительные, так и комплексные значения. В отличие от уравнений Вольтерра 2-го рода, сушествованпе и единственность решения уравнения (5) сушественно зависят от значения параметра Л (см.
подробно об атом в п. 3). В настояшем пункте рассмотрим случай, когда число Л удовлетворяет условию Гл. 15. Интегральные равнения 234 1 1 !К(х, Ф) ~з г(х г(! = В2к — 1 о о и, следовательно, условие /Л! ( 1/Вк выполнено. Приняв уо(х) = яп ах, последовательно находим 1 1 р (х) = згпггх+ — / ро(г)г(! = з!пггх+ — ) яплгг(! = зшлх+ —, 2,/ 2) а о о 1 г" ут(х) = япггх+ — уг(Г) г)! = 2,/ о г = япггх+ — / ~з!пп!+ — ) гГ! = з!пах+ — + —, 2,/ Л л) .г 2а.' о г 1 г, 1 1Л '(з!пл!+ — + — 1 г!г = 2 ~, л 2л) -Л вЂ” ) = 1 1гз(х) = згпггх + / рт(х) гг! = згпах+ 2,/ о о 1 1 1 = япих+ — + — + —. я 2л 2тл Вообще, 1 1 у„(х) = яп.гх+ — + — +...
+ = зшах+ — у 2гг '' 2" г~ я~2 в=о и далее, выбрав произвольно нулевое приближение уо(х), построим последовательность у„(х), и = 1, 2, ..., полагая ь ро(х) = Дх) + Л К(х, !) у„г(!) г(1, и е Р!. а Если число Л удовлетворяет условию (б), то при п -+ оо последовательность у„(х) сходится (в обшем случае в метрике Ьт(а, 6), а в случае непрерывного ядра и равномерно на [а, 6)) к точному решению р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
