341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 32
Текст из файла (страница 32)
у(х) — 1 ~ — х1+ х (1 — 1) у(1) й = О. )' /3 / 1,2 -1 15.124. у(х) — — ~ соэ (х — ~)у(1) й = э1п2х. о 1 5 1 15.125. у(х) + (х — 11г1)у(1) й = — х + ~/х — —. 3 6 о л 1 15.126. у(х) — — / сов(х — 1)у(1) й = О, 1 15.12Т. у(х) — 3 (хает + 4х~+ 1) у(1) й = 2лэ сов 2лх. о 1 15.128.
у(х) — (х1+ х~)у(1) й = О. 3. Характеристические числа н собственные функции. Теоремы Фредтольма. Значения параметра Л, при которых однородное уравнение ь у(х) — Л э~ К(х, 1) у(1) й = О имеет ненулевые (нетривиальные) решения у(х) ф О, называются хирвнтяерисгяическими числами этого уравнения нли ядра К(х, 1), а кажное ненулевое решение — собственной функцией, соответствующей характеристическому числу Л. Заметим, что число Л = О не является характеристическим, так как при Л = О уравнение (21) имеет лишь нулевое Решение. Если Л вЂ” характеристическое число, то число р = 1/Л называется собственным числом интегрального уравнения. 1!ри этом р ф О.
Гл. 15. Интегральные авнения Из результатов и. 2 следует, что в случае уравнения с вырожденным ядром ь р(*) — «) у)р,(*)р«(«)) р(«)а=о 1=1 (22) всякое решение имеет вид п у(х) = Л~~ а.р,(х), 1'=1 (23) где Б = (а1,..., з„) — решение однородной системы (Š— ЛА)Б = О (24) ь с матрипей А = (аб), аб = дь(х) ру(х), 1, у = 1, ..., н. Заметим, что а если заменить Л на 1/р, то система (23) принимает вид (25) (А — рЕ)Б =О, рфО. Отсюда следует, что собственные числа интегрального уравнения (22) совпадают с отличными от нуля собственными числами матрицы А, а собственные функции определяются соотношением (23), где Б = (я), ..., а„) — соответствующие собственные векторы этой матрицы.
Пример 6. Найти характеристические числа и собственные функции уравнения 1 у(х) — Л ( (ХФ вЂ” 2хэ) у(1)(41 = О, о З Ядро К(х, 1) = хр — 2х вырожпенное. Полагая р1(х) = Х, рэ(Х) = — 2Х, д,(1) = ь, д,(ь) = 1, найдем элементы матрицы А в (25): 1 3' 2 1 2 2 3 1 а)1=~ х ((х 2 о 1 а«п = х((х о 1 а)э —— — 2 хз Их о 1 ахт — — — 2 х а)х о 3 2. Интегральные аанения Фредгальма 245 )(арактеристическое уравнение для определения собственных чисел матрицы А имеет вид 1 1 Р 3 2 дес (А — рЕ) = 1 2 Р 2 3 откуда р = — 1/6 — единственное собственное число матрицы А.
Соответствующие собственные векторы находим из системы уравнений 1 1 (А!- -Е) Я = 2 2 общее решение которой а1 — — С, аэ = С, где С вЂ” произвольная постоянная. Следовательно, окончательно получаем, что заданное интегральное 1 уравнение имеет единственное характеристическое число Л = — = — 6, Р а соответствующие собственные функции имеют вид у(х) = — 6(а1х — 2аэх ) = С(х — 2х ), где С вЂ” произвольная постоянная.~> Интегральное уравнение может вообще не иметь характеристических' чисел (например, в том случае, когда ядро К(х, 1) вольтерровское или, в случае вырожденного ядра, матрица А в (24) нулевая) либо не имеет действительных характеристических чисел. Пример 7.
Найти характеристические числа и собственные функции уравнения у(х) — Л хсоа1у(1) й = О. 0 Имеем у(х) — Лха = О, а = / соа1у(1) ай откуда л а — Ла / хсоахох = О. Ио хсоэхАх = О, поэтому при любом Л последнее уравнение имеет только одно решение: а = О. Следовательно, при любом Л интегральное Гл. 15. Интегральные уравнения 246 уравнение имеет только тривиальное решение, т. е.
не имеет характеристических чисел. ~> Приме р 8. Найти характеристические числа и собственные функ- ции уравнения у(х) — Л яп (х — 1) у(г) г11 = О. — л < Ядро К(х, 1) = яп(х — 1) = ашхсов1 — соахвгпс выроагденное, причем можно положить 1гг (х) — агп х Рт (х) — сов хг чг (С) = сов 1, гут(1) = яп(1); л г матрица А = а;. = дг(х)р.(х) г(х имеет вид характеристическое уравнение г(ег(А — рЕ) = ~ Р =р +х =О (А — тЕ)Бв = ( х — 1х) (а,) = (О) (а ) =С'(-г).
П рз — — — г (А+тЕ)$л, (гг гк) (а )„, = (О) (:,')„, ='(~) (27) Окончательно заключаем, что заданное интегральное уравнение действительных характеристических чисел не имеет, но имеет два комплекс- 1 1 ных характеристических числа Лг т = — — — ~г —. Соответствующие игл х собственные функции имеют вид (см. (26) и (27)) уг(х) = Лг(Сг япх — гСг соах) = Агег*, ут (х) = Лт (Сз яп х + 1Ст соз х) = Ате '*, где Аг и Аз — произвольные комплексные постоянные. ~> имеет только комплексные корни рг,т — — хгмя Найдем соответствующие собственные векторы Пля рг = гх 247 2. Интегральные у авиеиия Ф едгольма Найти характеристические числа и собственные функции заданных интегральных уравнений с вырожденньгм ядром (ограничитьси случаем действительных характеристических чисел): 15.129.
у(х) — Л (1+ 2х) 1у(8) й = О. о 1 15.130. у(х) — Л (1 — хв) у(Р) й = О. о 1 15.131. у(х) — Л (х( у(г) й = О. -1 15.132. у(х) — Л хв1п1у(1) й = О. о 15.133. у(х) — Л совхсое1у(1) й = О. о 1 15.134. у(х) — Л (х+ 1) у(1) й = О. о 1 15.135. у(х) — Л (хе'+ 21) у(1) й = О. о 1 1 ~ 15.136. у(х) — Л хяп2х1 — — )' у(1) й = О. 2х,~ о 15.137. у(х) — Л з1п(х+ 1) у(1) й = О. о 15.138. у(х) — Л соа (х — 1) у(1) й = О. о Гл.
15. Интегральные уравнения 248 Длп уравнений Фредгольма 2-го рода вида у(х) — Л К(х, г) у(1) дг = )'(х), ь (28) у(х) — Л К(х, 1) у(ь) дг = 0 а (29) имеет либо конечное, либо счетное множество характеристических чисел; если этих чисел счетное множество, то они стремягася к бесконечности. 2. Если Л вЂ” харакгаеристическое число, то уравнение (29) и сопряженное ему однородное уравнение у(х) — Л К*(х, Г) у(1) дГ = О, а (30) где К'(х, 1) = К(х, Г), имеют одно и то же, и притом конечное. число линейно независимых решений. 3. Альтернатива Фредгольма: либо неоднородное уравнение (28) имеет одно и только одно решение для любой функции г"(х) б б 1г(а, 6), либо соответствующее однородное уравнение (29) имеет по крайней мере одно нетривиальное решение. (Другими словами, если число Л не является характеристическим, то уравнение (28) имеет, и притом единственное, решение длл любой функции у(х) б бэ(а, 6).) 4.
Если Л вЂ” — характеристическое число, то для того чтобы уравнение (28) имело решение, необходимо и доститочно, чтобьь свободный член г"(х) был оргпогонален любому решению у'(х) однородного сопряженного уравнения (30), т. е. ь ,) (х) у*(х) дх = О. а Проиллюстрируем теорему Фредгольма на примере интегрального уравнения с вьгрожденным ядром.
где а и Ь вЂ” конечные числа, а ядро К(х, г) и свободный член у" (х) интегрируемы с квадратом в области а < х, г < 6 и на отрезке [а, 6) (в частности, непрерывны), справедливы следующие теоремы Фредголь ма (при формулировке которых мы ограничимся случаем действительного лдра К(х, г)).
1. Однородное уравнение 3 2. Интегральпьге уравнения Фредгольлга Прилгер 9. Исследовать решения интегрального уравнения 249 л р(х) — Л ( (х~ сов 1+ тейпа) р(С) гй = сов х — л (31) в зависимости от значений параметра Л. сг Решение интегрального уравнения сводится к решению неоднородной системы (Š— ЛА)Я = Р (32) где ао = ~*(х) р,(х) Дх, г,; =1 2 л А = (а,.), и Р (Л У ) гг д (х) гг(х) с(х В рассматриваемом слу гае имеем р (х) = хт, р (х) = х, суг(Г) = совг, гуз(х) = сйпс, 6истелса (32) имеет вид (33) Характеристическое уравнение с)ег(Š— ЛА) = (1+2ггЛ)(1 — йхЛ) = О 1 1 имеет корни Лг = — и Лт — — — —, являюшиеся характеристическими 4х 2гг' числами соответствующего однородного уравнения. х а„= совх т, сгх =4х, г — ~г аги = вшх.х г4х = О, 2 -к Л Л = соз х с)х = и, -л агт = сов т хнах = О, авт = вгпх.
хс(х = — 2л., — гг к ,г 2 — я!п х соя х ссх — Π— л Гл. 15. Интегральные уравнения 250 1 1 При любом Л ~ —, — — система (33) имеет единственное решение 4п' 2х х 81 = аг — — 0; 1 — 4пЛ соответствующее решение интегрального уравнении; г у(х) = совх+ х, Лф —, 1 — 4пЛ ' 4п' 2п 1 При Л = Л1 — — — из (33) получаем 4п Эта система, а вместе с ней и исходное интегральное уравнение решения не имеют. При Л = Лг = -1/(2п) система (33) принимает внд (0 0) (в ) (0) и имеет решения а1 = и/3, аг = С. Соответствующие решения инте- грального уравнениа таковы: г у(х) — соях+ Лг(агх + агх) — соях х + Сх, 6 где С вЂ” произвольная постолнная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
