341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 34
Текст из файла (страница 34)
з 3. '1исленные методы рсшснил интегральных уравнений 259 15.159. П(х) — Л К(х, 1) у(1) й = а)ц лх соз — х, о — о«. ~, К(х., г) = — 1(х(1. 15.160. П(х) — Л К(х, г) 9(1) й = х — н, о в1пгсоах, 0 < х < г, К(х, 1) = сов|а)пх, 1 < х < ~г. )' 1 15.161. 9(х) — Л / — в)п )х — Ц П(г) й = 1.
,/ 2 о 9 3. Численные методы решения интегральных уравнений Сушествуют различные методы численного решения интегральных уравнений; метод конечных сумм, метод моментов, могло<) коллокании и др. Ниже будут рассмотрены два из них — метод коночных сумм и метод моментов. Пусть задано интегральное уравнение гврсдгольыа 2-го рода (ср. з 2, и. 1 настоящей главьО р(х) — Л ( К(х, г) у(г) й = у(х), а Ь Г(х) дх = ~~~ А,Г(х;) Их + Нн, ~=1 (2) где х„г = 1, 2, ..., и, -- точки отрезка (а, б), А„1 = 1, 2, ..., н, — числовые коэффициенты, не завнспшие от выбора функции тт(х), и йк-- отибка формулы (2), порожденная приближенным вычислением интеграла.
В случае равноотстолших узлов х, = а+ (г — 1)И., г = 1, ..., и, где 9(х) — искомая функцил, К(х, г) и у(х) — известные функции, опредслснныс в прямоугольнике а < х, г < б и на отрезке (а, 5) соответственно, Л.— параметр, нс равный собственному числу соответствующего однородного уравнения. Метод к о н е ч н ы х с у м м. Этот метод основан на приближенном вычислении определенного интеграла с помошьк1 некоторой квадратурной формулы Гл.
15. Интегральные у веления 260 Ь вЂ” а где Ь =, коэффициенты А, в приближенных формулах (2) имеют и — 1 следующие значения: 1) для формулы прямоугольников 1 = 1, 2, ..., и — 1, А„ = 0; А;=Ь, 2) для обшей формулы трапеций Аг —— А„= )г/2, Аг — — ... — — А„1 = )г; 3) для обшей формулы Симпсона при и = 2ги+ 1 Аг = Аг„,т1 — — й/3, Аг — — А4 —— ... = Аг,„— — 4)г/3, Аэ = 4ь =... —— Агт — 1 = 25/3. Вводя обозначения у(х,) = уо К(хи х ) = Кеи У(х)=У. г у=1 2 и интегральное уравнение (1) на основании формулы (2), в которой ошибка Ня отброшена, можно заменить системой и линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных у, — приближенных значений точного решения у(х) в узлах х,: у, — Л ~ А Кйу, = („ г = 1, 2, ..., и.
(3) Система (3) ыоасет быть решена одним из численных методов линейной алгебры, например, методом Гаусса. Найдя у; из (3), для решения у(х) получаем из уравнения (1) приближенное аналитическое выражение у(х) = у(х) + А ~~ .4,К(х, х,) у,. 1=1 Пример 1. Используя квадратурную формулу Симпсона, методом конечных сумм найти приближенное решение уравнения у(х) — 0,5 хе'(у)г(с = е *. о В вычислениях положить и = 3.
а Выбираем равноотстоящие узлы х1 — — О, хг — — 0,5, хг = 1. Значения ядра К(х, С) = хе' и правой части у(х) = е * в точках (хи 1,) и х; соответственно оформим в виде таблиц: 3 3. Численные методы решения интегральных уравнений 261 Таблица значений Ко — — К(х„г,) Таблица значений /, = /(х,) Квадратурная формула Симпсона (см. (3)) в нашем случае имеет вид 1 г'(х) <Ь гз -(Е(0) + 4г'(О, 5) + Г(1)), 1 о так как 1г = 1/2, Аг = Ь/3 = 1/6, Аг = 4Ь/3 = 4/6, Аз = 5/3 = 1/6. Лля определения приближенных значений р„г = 1, 2, 3, решения р(х) в узлах х; согласно (3) получим, используя таблицы значений КО и /к следуюшую систему линейных уравнений: рг — — 1, 0,5 рг — — (0,593 + 3,2976рг + 1,3592рз) = 0,6065, 6 0,5 рз — — ' Ьг + 6, 5948рг + 2, 7183рз) = О, 3679.
(4) После упрощения система (4) перепишется в виде рг — — 1, 0 7252рг — 0,1133рз = 0 6482, 0 5496рг — 0 7735рз = -0 4512. (5) Решая систему (5), находим р~ = 1 р = 1 1079, рз = 1,3706. Следовательно, приближенное решение интегрального уравнения выражается формулой р(х) = е ' + 1,003х. Заметим, что точное решение уравнения есть р(х) = е ' + х.
Гл. 15. Интегральные уравнснил 262 Изложснный выше метод применяется так!кс для прибли1кснного решсниа интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода р(х) — Л К(хг 1) д(1) Й = Е" (х), а < х < б. гг В последнем случас полагают, что Ку =О .1 ~1. Действительно, уравнение Вольтерра с ядром ЕЦх, 1) можно свести к уравнению 6!рсдгольыа с ядром К*(х, 1), вводя функцию К(т.,г), 11<1<х, ЕГ*(х, 1) = О, х< 6 у(х) = у„(х) = Е(х) + ~~г с,д,(х), г=! (6) гдс с1, сог ..., с„—. нскоторыс постолнные. Подставлял (6) в (1)г полу- чаем невязкр к гг ЕЕ<у„(х)] = ~ ~с,чг,(х) — Л~~ с!ьб!(х) — Л Е( Еб(х, 1) Х(Г) !Н, (7) г=1 г=1 гдс ри(х) = / К(х, Г)гд,(Г)аН, 1 = 1, 2, ...,и. г Согласно методу моментов козффициенты с„г = 1, 2, ..., т! опре- ЛСЛНЮтСЯ ИЗ УСЛОВИЙ ОРтОГОНаЛЬНОСтн НЕВЛЗКИ КО ВСЕМ ФУНКЦИЯМ гав!(Х)г Чгз (х),..., Чг„(х). Эти условия дают следующую систему линейных у равнений: И <р„(х)] Чг,(х) гЕх = О, 1 = 1, 2, ..., и, Метод тлолгентов.
В методе моментов приближенное решение у интегрального уравнения ищется в виде суммы Е'(х) и линейной комбинации линейно независимых на отрезкс <а, б] функций гав!(х), газ(х), ..., ..., р„(х), т.с. 3 3. Численные методы решения интегральных уравнений 263 или в силу (7) (8) с.(сь; — Лр; ) = Л'у;, ( = 1, 2, ..., п,, 1=1 где еи = Ьоь(х) оьу(х)с(х, а ь ь А = ь(х К(х, ь) А(1) ьо (ь) с(г, а а ь ь Тп = Пх К(х, г) у(г) Ьо,(Ь) Й.
Если определить В(Л) = сает(сь„— Л)уь ) системы (8) отличен от нуля, то коэффициенты сы сэ, ... с„определяются однозначно. Подставляя их найденные значения в (6), получаем приближенное решение исходного интегрального уравнения. Замечание. Для улобства вычислений интегралов систему (8) иногда формируют, используя условие ортогональности невязки (7) к некоторой иной системе функций, отличной от системы Ьо1 (х), Ьоэ(х), ... ь .(х).
П р и и е р 2. Найти приближенное решение уравнения у(х) = К(х, ь) у(ь) с(ь = 1, о где (ь — 1)х, 0<х<1, К(х, 1) = ь(х — 1), 1(х(1. з Используя выражение для ядра К(х, ь), перепишем уравнение в виде Х 1 у(х) — 1(х — 1) у(1) Й+ (Ь вЂ” 1) ху(1) Й = 1. о х Положим у(х) = уэ(х) = 1 + с1 х+ сэхэ. Тогда невязка К(уэ(х)] имеет Гл. 15. Интегральные уравнения вид Л [уз(х)] = хз хзз, 4 с, /'хз ха 1 = сзх+ сзхт — (х — 1) сг + сз — ) + х ~ — сз '( — — ) 3 4) ~, 6 1,3 2) Из условия ортогональности невнзки Я[уз(х)] к функцияы х и хз получаелз следующую систему: 1 Л [ут (х)] х 41х = О, о 1 П [уз (х)] хз 4(х = О.
о После вычисления интегралов и некоторых преобразований получим следующую систему линейных уравнений для определения сз и ст. О, 3555сз + О, 3146сз — — — О, 1167, 0,2638сз+ 0,2417сз = — 0,025. Решая эту систему, находим сз = 0,027, сз = — 0,029. Приближенное решение исходного интегрального уравнения имеет вид у(х) = 1 + + О, 027х — О, 029хз. 1> Замечание. Мы не приводим оценок точности приближенного решении для изложенных методов ввиду довольно громоздких выкладок. Изложение зтих вопросов можно найти в специальной литературе').
Решить интегральные уравнения методом конечных сумм, либо методом моментов. В методе моментов использовать функции 9оь(х) = х", й = О, 1, 2, ..., тк 15.162. у(х) — 4 а|и~(х1~) у(1) 411 = 2х — и. о 1 15.163. у(х) — еа""'" т у(1) с11 = 16 х. о )См., например, Березин И.С., Жипкаа Н.П. Методы вычислений.— Т. 2. — Мл суизматгиа, 1962, гп. 10, 1 10. о 3. Численные методы решения интегральных уравнений 265 15.164. у(х) — 18 е~й~* +О у(~) й = с18 (х + 5). о ! 15.165.
у(х) — е1п(х+ 1) у(1) й = х2+ 5. о 1 г 15.166. у(х) — — / (х + о1п х1) у(1) й = сов 2х. 3/ о 1 15.167. у(х) + — ! х!и (х2 + 101' + 3) у(1) й = х~ + Зх. 41 о 1 15.168. у(х) — 5 18 ео'1'* у(1) й = сод х. о 15.169. у(х) — (1 + еЗп е*') у(Е) й = — (х + 8). 8 о 1 15.170. у(х) — 3 (х~Х~ + е*1+ 1) у(Х) й = сое 2х. о 1 15.171. у(х) + 5 е*1+' у(1) й = 1п(1+ х). о 1 15.172. у(х) + (хе1пй — Л) у(1) й = сон Зх. о 1 15.173. у(х) — (х~ + х2 сое1) у(~) й = х — 2.
о 1 15.174. у(х) — (х + 3)е™ у(1) й = х(е* + 2). о Глава 16 УРАВНБНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В 1. Основные задачи и уравнении математической физики 1. Вывод уравнензгй и постановка задач математической физнви. Многие задачи механики, физики, широкий круг инженерно-технических задач приводят и исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, являкнцихсн частным случаем так называемых урионсний математической фвзакв.
Их вывод опирастсл на механические или физические законы. Из всего многообразия таких задач мы ограничимся лишь несколькими простейшими, иллюстриртюшпмн некоторые методы построения математических моделей реальных физических нлн механических процессов.
Пример 1. Вывести уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле. <1 Обозначим температуру тела в точке Лу(т, у, з) в момент времени 1 символом н(т, у, г, 1). 11ак известно, в теле происходит движение тепла от более нагретых частей к менее нагрею нь В теории тсплопроводности принято, гго количество тепла с11,1, проходлшего через некоторый злемент поверхности Ьо, лежашпй внутри данного тела, пропорционально схПЬ1, где ЬП вЂ” поток вектора цгас1н через злсмент Ьо, т. е.
Ьс1 = ЛЬВЫ. Здесь Л = к(х, у, г) — коэффициент теплопроводности. Выделим внутри тела произвольный объем 1г, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью Е, н составим уравнение теплового баланса длн вьшсленнаго объема. Пусть 1,11 — количество тепла, входлшего в 1г через поверхность Е за промежуток времени (1, Г + Ь1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
