341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 33
Текст из файла (страница 33)
с Исследовать решения заданных уравнений с вырожденным ядром при различных значениях параметра Л: 15.139. у(х) — Л х(1+1) у(1) й = хг. о 1 15.140. у(х) — Л ху(~) й = яп2пх. о 1 3 15.141. у(х) — Л (1+ 2х) 8у(1) г(1 = 1 — — х. 2 о 1 15.142. у(х) — Л х а1п 2х1у(1) Й$ = х. о 3 2. Интегральные уравнения Ф едгольма 251 15.143.
8(х) — Л 181у(Ь) йй = сЬЯх. 1 15.144. р(х) — Л агссоз |у(~) й = хУ1 хт о 15.145. Я(х) — Л згпхсоаьр(~) й = созх. о ! 15.146. у(х) — Л (1+ хЬ) у(У) й = выл пх. -1 1 1 3 15.147. у(х) — Л (х+ Ь) у(1) Й = — + — х. 2 2 -1 15.148. у(х) — Л соз (х+ 1) у(Ь) й = 1. 4. Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным ндром. Ядро К(х, г) называется симметричным, если оно удовлетворнет условию К(х, 1) = К(1, х) длп всех а < х, 1 < Ь. Длп симметричных ядер, удовлетворпющих условию ь ь )К(х, 1)1~ дха! < +ос, дополнительно к основным теоремам Фредгольма (см. п. 3) справедливы следуюшие утверждении; 1. Симметричное ядро, отличное от тождественного ндлл, имеет по крайней мере одно характеристическое число.
2. Хар!ьктеристпические числа симметричноео лдра действительны, а собственные й!ункиии, соответствуюиЬие различным характеристическим числам, ортозональны. На практике часто встречаетсн случай, когда интегральное уравнение с симметричным ядром является решением некоторой самосопрпженной однородной краевой задачи длл обыкновенного дифференциального уравнении. В таких случаях нахождение характеристических чисел и собственных функций ндра сводитсл к решению указанной краевой задачи. Гл.
15. Интегральные уравнения 252 (34) хэ Заметим, что ядро (34) симметричное. Действительно, из (34) следует х (1 + 1), 0 < 1 < х < 1, К(х, 1) = (х + 1)1, 0 < х < Г < 1. (35) Сравнивая (34) и (35), видим, что К(х, г) = К(1, х) для любой пары (х, Е). Однородное интегральное уравнение у(х) — Л К(х, 1) у(1) й = 0 о (36) с ндром (34) запишем слелуюшим образом: х 1 у(х) = Л х (М+ 1) у(1) О+ (х+ 1) гу(1) е(1 . (37) о х Далее, дважды продифференцируем (37): у'(х) = Л (1+ 1) у(1) й + х(х + 1) у(х) + о 1 + Гу(1) <й — (х+ 1) ху(х), (38) у" (х) = Л((х+ 1) у(х) — ху(х)) = Лу(х).
(30) Таким образом, число Л и функция у(х) таковы,что у" — Лу = О. (40) Найдем теперь краевые условия, которым должна удовлетворять искомая функция у(х). Для этого, подставляя в (37) и (38) х = 0 и х = 1, Пример 10. Найдите характеристические числа и собственные функции ядра з 2.
Интегральные уравнения Фредгольма 253 получим откуда у(о) = у'(о), у(Ц = у'(Ц . (41) Соотношение (40) и (41) образуют в совокупности однородную краевую задачу, решая которую, найдем характеристические числа и соответствующие им собственные функции исходного интегрального уравнения. Рассмотрим три случая. 1) Л = О. Уравнение (40) принимает вид у"=О, его общее решение: у(х) = С1 + Сэт. (42) Используя краевые условия (41), получим для нахождения постоянных Сэ и Сэ систему С1 =Со, С1+Сэ =Сг, которая имеет единственное решение С1 — — О, Сэ = О.
Следовательно, краевая задача, а вместе с ней и уравнение (36) при Л = 0 имеют лишь тривиальное решение у(х) = О, т.е. Л = 0 не является характеристи- ческим числом. Впрочем, это можно было заметить сразу из уравнения (36): если в нем Л = О, то у(х) = О. 2) Л = ыэ > О. Уравнение (40) имеет вид у — ы у=О, его общее решение: у(х) = С|е~*+ Сэе ~*.
Краевые условия (41) приводят к системе С1 + Сэ = ыС1 ыСэ~ С1е + Сэе = ыС1е — ыСэе нли, в матричной форме, .-..~ —.) (с,) = Ы (43) 1 у(0) = Л гу(г) 11, о 1 у'(о) = л гу(1) (г, о у(1) =Л (1+1)у(1) и, о 1 у'(1) = Л (г+ 1) у(г) (г, о Гл. 15. Интегральные уравнения 254 Эта система имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, когда выполняется условие е +осе ( )( ) е е" 1 — !с е"' — ые" = — 2(1 — ьс)(1+ сс) ЯЬ!с = О, т.
е, !с = х1 (!сэ > О!), или Л = ссэ = 1. При !с = 1 из (43) получаем 'хО 2/е) ВСЯ) хО) " хСЯ) хО) ' откуда у(х) = С!е*, С! — произвольная постоянная. Аналогично, при ы = -1 получаем ус+!с'у = О, его обшее решение: у(х) = С! соя! /х + Сэ я!и ! !х. Краевые условия (41) приводят к системе С = С, С! соз!с+ Сэз!пас = — ьсС! з!Пас+!сСэсоз!с или, в матричной форме, хсоз !с + ы Я!и! ! Я!и! ! ! ! созы) хСЯ) хО) Эта система имеет отрицательные решения в там и только в том случае, когда !сэ з)пас = О, т.е.
!с„= яп, п = х1, х2, ..., или Л„= — !с~ = = — нэпэ, и Е (Ч. откуда у(х) = Сэе *, Сэ — произвольная постоянная. Таким образом, Л = 1 — характеристическое число ядра (35), соответствуюшая ему линейно независимая система собственных функций состоит из двух функций у! —— е', уэ = е *, а любая собственная функция имеет вид у(х) = С!е* + Сэе ', где С! и Сэ — произвольные постоянные. 3) Л = — !сэ ( О. В этом случае уравнение (40) имеет вид я 2. Интегральные уравненнн Фредгальма При ы = ы„= хи, и = х1, х2, ..., нз системы (44) получаем ((- )- я.(- )-) (С,') = (О) 255 у(х) = С(яп соя япх + яп хпх), и е И, С вЂ” произвольная постоянная.
Подводя итог, заключаем, что для заданного ядра задача о характеристических числах и собственных функциях имеет следующее решение: У0,2 — ч л уел = е*, Л„= — тэпэ, у„= нп соя япх + яш хпх, и Е я. Для заданных симметричных ядер найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя инте- гральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновен- ного дифференциального уравнения: 15.149. К(х, г) = — х, 0<х<1, 15.150. К(х, Е) = — г < х < 1. 15.151.
К(т, 1) = ' « 1 152 К( ) я1пгсоях, С < х < л. ( я1пгсоях, 0 <х <1, 15.153. К(х, г) = 1 соя гя1пх, 1 < х < и. я)п(1 — 1) япх 0<х<г, яп1 яп1яш (х — 1) 1<х<1. я1п 1 15.154. К(х, г) = откуда С~ — — ппС, Сэ = С н у(х) = С(нп сояхпх + яп них), где С вЂ”. произвольная постоянная и п = х1, х2, ... Заметим, однако, гго в этом выражении лля у(х) переход от п к — п приводит лишь к смене знака, т.е.
к изменению константы С. С учетом этого получаем, что каждому из характеристических чисел Л„= — х п~, и е К, соответствует одна базисная собственная функция у = хи соя хпх+яш пях. и Е Я, а любая собственная функция имеет вид Гл, 15. Интегральные уравнения 256 яЬ(« — 1) яЬх 0<х<«, яЬ1 яЬ «яЬ (« — 1) «< х < 1.
яЬ1 15.155. К(х, «) = 1 15.156. К(х, «) = — я!и ~х — «~, О < х < «< !г. 2 -е ~сЬх, 0<х<«, 15.157. К(х, «) = — сЬ«е *, «< х < 2. Если задано неоднородное интегральное уравнение у(х) — Л К(х, «)у(«) !«« = «(х) а (45) с симметричным ядром К(х, «) = К(«, х), удовлетворяющим условию ь ь (К(х, «)!э «хг««<+с, а а то его решение в общем случае мажет быть найдено следующим образом. Пусть Л!, Лг, ..., Л (46) — последовательность характеристических чисел ядра К(х, «), а у!(х), уэ(х), ..., у„(х), ...
(47) у(х) = )(х) + Л ~~~ у„(х), А и=1 (48) где у(х) у„(х) г«х, я = 1, 2, а (49) — соответствующая ортонормированная последовательность собственных функций. При этом в последовательности (46) каждое характеристическое число выписывается столько раз, каков его ранг, т.е. чисдо линейно независимых функций, соответствующих этому характеристическому числу. Если параметр Л в уравнении (45) не совпадает ни с одним из характеристических чисел Л„, я = 1, 2, ..., то решение этого уравнения (существующее и единственное в силу З-й теоремы Фредгольма для любой правой части у(х)) даетсн формулой З 2. Интегральные уравнения Фредгольх»а 257 Если жс параметр Л совпадает с одним из характеристических чисел, имеющих ранг г, т.е.
Л = Л,„».1 — — Л»и».э =... — — Л»»»« „ для некоторого т, то решение существует в том и только в том случае, когда функция г'(х) ортогональна ко всем собственным функциям, соответствую»цим данному характеристическому числу, т.е. выполнены г условий Дх) у„(х) а»х = О, п = т + 1, н» + 2, ..., т + г. (50) и В этом случае уравнение имеет бесконечное мноа»ество решений, имею- щих вид у(х) = »(х) + Л Х~ " у„(х) + С»у„,«.1(х) +... »»=1 »»фи»«-1,, и»+и ...
+ С„у «.„(х), (51) аде С», ..., С, — произвольныг постоянные. П р и л» е р 11. Найти все решения неоднородного интегрального урав- нения у(х) — Л К(х, !) у(!)»(! = — — я!и —, (52) соя!я!пх, 0 < х < 1, К(х, !) = я!и!соях, ! < х < х, при различных значениях параметра Л. з Характеристические числа и соответствующие ил» собственные функции ядра (52) имеют вид (см. задачу 15.152) 1'2п+ 1Л, 2п+1 Л„= — 1+( ), у„=я!и х, я=012, 2 ) ' " 2 Заметим, что в данном случае каждое характеристическое число имеет Ранг» = 1, а последовательность собственных функций ортогональна, но не нормирована иа отрезке [О, х[: нормированные собственные функции имеют вид (2, 2п+1 яп х, я=0,1,2, )»и 2 Гл. 15. Интегральные уравнения 258 т х По формулам (49) для Г(х) = — — яп — получаем 4 2 Г Iт, хт Г2 .
2п+1 Га = ( ( — — яп — ))/ — з!и хйх = ,1 4 2!!/л 2 о 2 (т Г 2п+1 Г х, 2я+1 — — ( яп х!1х — )! яп — яп к~4/ 2 ,/ 2 2 о а 0 при п = О, 2 ( т л т ),2(2я+1) 2 ' .Г при и ~ О. 1/ 2 2п+1 При Л ф Л„, и = О, 2, ..., уравнение имеет единственное решение 2я+ 1 яп х р(х) = — — яп — + Л~~! и п=о При Л = Ло — — — 3/4 в силу ортогональности /(х) к собственной х функции уо(х) = з!и — получаем бесконечное мнол!ество решений вида 2 2п+ 1 лх, х 3 т у(х) = — — —,!и — — — Е 2 +Се!п — ', 4 2 2 4, п(я+1)(2я+1) 2' где С вЂ” произвольная постоянная.
Наконец, при Л = Л„, и = 1, 2, ..., уравнение решения не имеет. !> Найти решения неоднородных уравнений Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром при различных значениях параметра Л (характеристические числа и собственные функции соответствующих ядер см. в задачах 15.149-15.157): 1 5.158. у(х) — Л К(х, 1) у(1) й = 1, о (1 — 1)х, О < х < 1, К(х, 1) = 1(х — 1)! ь < х < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
