341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 28
Текст из файла (страница 28)
14.190. хе+2+ хп4.4+х„= 0; хо = 1, хг = — 1. ч/З 14.191. хи+2 — ч/Зхп+г + хп = 0; хо = —, хд = —. 2' 2 14.192. х„+2 — Зхп+4 + 2х„= 0; начальные условия произвольные. Так как ечч + 1 = (еэ' + /2 е' + 1)(еэ' — ч/2еч + 1), то решение этой системы запишется в виде З 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 209 14.193. хп.~з — Зхп~т + Зхп~.~ — хп = 2"; хо = х1 = О, хз = 1. 14.194.
х„~т — 5хп+~ + бхп = 2 4"; начальные условия произвольные. Решить системы линейных разностных уравнений: 14195 х +1 хп+уп =Зп у„+1 + 2хп = — 3"; хо — — 3, уо = О. 14.196. 5х„.ы — 12хп — р„= О, 5уп~1 — 6хп — 13дп = О; начальные условия произвольные. Глава 15 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 1, Интегральные уравнения Вольтерра 1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с дифференциальными уравнениями. Дикейньлм ллнтезральньлл уравнением Волыперра 2-зо родо называется уравнение у[х) = Дх) + К[х, 1) у[л) дл, где у(х) — искомая функция, а К(х, л) и у[х) — известные функции, определенные соответственно в треугольнике а < х < 6, а < л < .т и на отрезке [а, 6].
Функция К(х, 1) называется ядром интегрального уравнения (1), функция У[х) — свободным !левом этого уравнения. Решением уравнения (1) называется всякая функция у[х), х Е [а, 6], подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Вопрос о существовании и единственности решения решается различныьи образом в зависимости от свойств ядра К(х, л) и свободного члена у[х), а также от того, в каком классе функций ищется решение. Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, мы будем предполагать, что функции К(х, л) и г[х) непрерывны в своей области определения.
Прп этом условии уравнение (1) имеет, и притом единственное, решение в классе функций, непрерывных на [а, 6]. Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода используются обычно при описании динамики различных процессов в системах. В частности, всякая задача Коши для линейного дифференциального уравнения дву дп — 1 — + а![х), +... + а„(х)у = у [х), у(хо) = уо, у [хо) = ул,,у~ ~~(хо) = у -! может быть сведена к решению некоторого линейного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.
Пример 1. Составить интегральное уравнение, соответствующее задаче Коши ио + 2и' + н = х~, и[0) = 1, и'(О) = О. 3 1. Интегральные уравнения Вольтерра 211 с~ Положим и" (х) = у(х). (2) Интегрируя (2) с учетом начальных условий, последовательно находим х Х и'(х) = и'(О) + у(г) г)г = у(г) гй, о о (3) и(х) = и(0) + сЬ у(1) сй = 1+ (х — Г)у(Г) сН. (4) о о о Подставлля (2)-(4) в исходное лнфференциальное уравнение, получаем у(х) + 2 у(Г)г11 + 1 + (х — Г)у(1)г)Г = хз, о о у(х) = х — 1 — (2 + х — 1)у(1) й.
о (5) Проверить, что данные функции являются решениями соответствующих интегральных уравнений: х 15.1. у(х) = е2*, у(х) = е*+ е* ~у(1) Ж. о 15.2. у(х) = хе* Уз, у(х) = х+ х1у(1) гИ. гх у 2 15.3. у(х) = е * ~ — + 1 ~ 2 х у(х) = е *+ е (* ) в1п(х — т)у(г) й. о Таким образом, показано, что если и(х) — решение исходной задачи Коши, то функция у(х) = и" (х) удовлетворяет интегральному уравнению (5). Обратно, если у(х) — решение этого уравнения, то функция и(х), определяемая соотношением (4), удовлетворяет как исходному дифференциальному уравнению, так и начальным условиям. Следовательно, ассматриваемая задача Коши эквивалентна интегральному уравнению 5).
с 212 Гл. 15. Интегральные уравнения Составить интегральные уравнения, соответствующие следующим задачам Коши: 15.4. и'+ 2хи = е*, у(0) = 1. 15.5. и" — 2и'+ и = О, и(2) = 1, и'(2) = — 2. 15.6. и" — япх и'+ е*и = х, и(0) = 1, и'(0) = — 1. 15.7, ига + хи = е*, и(0) = 1, и'(0) = и" (0) = О. 15.8. иш + и" — и = О, и(0) = й(0) = иа(0) = О, й" (0) = 1.
15.9*. Показать, что задача Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами — + а1 — +... + а„у = Дх), г(ну Е' 'у я. к ~~~~~-1 Уо(хо) = Уо У (хо) = Ум У (хо) = Ук-г (и-1) сводится к интегральному уравнению вида (1) с ядром (х — г)ь К(х, г) = — ~~~ аь а=1 зависящим лишь от разности х — г своих аргументов (интеграль- ное уравнение тина свертки, см.
и. 3). Задача Коши для произвольного дифференциального уравнения 1-го порядка вида р = у(х, р), у(хо) = уо эквивалентна в общем случае нелинейному интегральному уравнению Вольтерра у(х) = ро+ у(х, у(г)) й. Аналогично, задача Коши для произвольного дифференциального уравнения и-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, рбя = у(х, у, у', ..., р~" О), р(хо) = ро, у'(хо) = ры, р~" ~(хо) = у -1 может быть сведена к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра. Пример 2.
Составить систему интегральных уравнений, соответствующую задаче Коши р" = 2р — р', р(0) = 1, р'(0) = О. 3 1. Интегральные уравнения Волътерра 213 з Полагая уг(х) = у(х), уз(х) = у'(х), сведем исходную залачу к задаче Коши для нормальной системы 2-го порядка У( = Уэ Уэ = 2У! — Уэ, У~(0) = 1, Ут(0) = О.
В свою очередь, полученная система дифференциальных уравнений с учетом начальных условий эквивалентна системе интегральных уравне- ний х х У~(х) = 1+ Уг(Г) й, Уз(х) = (2У~(Г) — Уэ(1)) й. 1> о о у(х) = япх+ эш(х — 1)у(1) й. о (6) О Последовательно дифференцируя интегральное уравнение, получаем у'(х) = сов х+ сов(х — 1) у(1) й, о (7) у" (х) = — э1пх+ у(х) — яп (х — 1) у(г) й.
о (8) Составить интегральные уравнения или системы уравнений, соответствующие следующим задачам Ноши: 15.10. у' = 1 + х яп у, у(я) = 2я. 15.11. у' = — 1 + Зхт + уз, у(1) = 1. 15.12. ув = х + у, у(0) = 1, у'(0) = 2. 15.13. усч = -ху', у(0) = — 3, у'(О) = 1, ув(0) = — 1. 15.14. у'н = х + хуз — у', у(0) = 1, у'(О) = ул(0) = О. Во многих случаях решение интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода (или системы таких уравнений) в свою очередь может быль сведено и решению некоторой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Укажем здесь два способа, посредством которых это может быть сделано. а) Если в исходном интегральном уравнении (1) ядро К(х, 1) и свободный член у(х) имеют непрерывные производные К'(х, 1) и У'(х), то вто уравнение может быть продифференцировано (один или несколько раз), что и позволяет в ряде случаев свести его к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения.
Пример 3. Решить интегральное уравнение Гл. 15. Интегральные уравнения 214 у(х) = х+ 2ебпх — 1 — (х — !) у(!) й. о (9) а Дважды дифференцируя уравнение (9), получаем у'(х) = 1 + 2 соа х — у(!) й, о (10) ув(х) = -2а!их — у(х). Уравнение (11), или в стандартной форме (11) у" + у = — 2а!пх, (12) и есть дифференциальное уравнение для функции у(х). Начальные усло- вия найдем из (9) н (10) при х = 0: у(0) = — 1, у'(0) = 3. (13) Решая задачу коши (12), (13), нахолим у(х) = 2 з!и х + (х — 1) соа х, что и является решением исходного интегрального уравнения.
> б) Пусть исходное интегральное уравнение (1) имеет вид (14) (уравнение с вырожденным ядром). Запишем его следующим образом: Исключая из уравнений (6) и (8) интеграл а!и (х — !) у(!) й, получаел1 о для неизвестной функции у(х) дифференциальное уравнение у" (х) = О.
Из (6) и (7) находим начальные условия: у(0) = О, у'(0) = 1. Следовательно, у(х) = х. !> Рассмотренный прием всегда приводит к цели в том случае, когда ядро К(х, !) имеет вид многочлена по степенны бинома х — ! (см, задачу 15.9). Пример 4. Решить интегральное уравнение 5 1.
Интегральные уравнения Воль терра 215 Пводя функции иг(х) = 91(1) у(1) 11, о (16) и„(х) = ц„(г) у(г) г(г о и подставляя их в (15), заключаем, что решение интегрального уравнения (14) имеет вид и у(х) = ((х) + ~~~ р;(х) и,(х). (17) Далее, дифференцируя соотношения (16) и подставляя вместо у(х) выражение (17), получаем для неизвестных функций и;(х) систему дифференциальных уравнений п и',(х) = щ (х) у(х) + ~~ о~(х) р,(х) и;(х), и„(х) = д„(х) у(х) + ~~ у„(х) р;(х) и;(х). Из (16) при х = О находим начальные условия: и~(0) =... = и„(0) = О. Определив функции и;(х) и подставив их в (17), получим решение у(х) интегрального уравнения (14).
Пример 5. Решить интегральное уравнение „(4, = , Г „(, . Г сЬ| / сЬх о ° з Полагая и(х) = сЬ1у(1) й, получим о 1 у(х) = 1 + — и(х). сЬх Далее, дифференциальное уравнение для и(х) имеет вид 1 и'(х) = сЬху(х) = сЬх ( 1+ — и(х) с1г х или и — и = сЬх. Гл. 15. Интегральные ураакеккл 1 хе*+ впх опх Решить интегральные уравнения, сведя их предварительно к обыкновенным дифференпиальным уравнениям х е* + у(1) й. О 1+ ~у(1) й. о х 1 — + ьбп (х — 1) у(г) й. о х е *соах — соахе (* )у(г)й.
о 4е* + Зх — 4 — (х — 1) у(1) й. о 15.15. у(х) = 15.16. у(х) = 15.17. у(х) = 15.18. у(х) = 15.19. у(х) = х х — 1+ (х — 1) у(1) й. о ебпх+ — ~ (х — 1) у(1) й. 2/ о сЬ х — аЬ (х — 1) у(1) й. о х х+ (4вбп(х — 1) — х+ 1) у(1) й. о 1 + ((х — 1) — (х — 1)) у(г) й. о 15.20. у(х) = 15.21. у(х) = 15.22. у(х) = 15.23. у(х) = 15.24. у(х) = Решая это уравнение с учетом начального условия и(0) = О, находим 1 и(х) = -(хе* + аут), откуда 2 з 1.
Интегральные уравнения Вольтерра 217 у(х) = Дх) + К(х, С) у(1) й а заключается в слсдуюшем. Строится последовательность функций уо(х), у2(х), ..., Уп(х), ..., где нулевое приближение уо(х) — — произвольная функция, а последующие приближения определяются с помощью рекур- рентного соотношения уп(х) = у(х)+ К(х, 1)уп 4(1)г)1, п = 1, 2,. а Если ядро К(х, 1) и свободный член Дх) непрерывны соответственно при а < х < б, а < 1 < х и на отрезке ]а, б], то построенная таким обрааом последовательность приближений уп(х), и = О, 1,..., при и — > оо сходится к единственному непрерывному решению интегрального уравнения.
Обычно полагают уо(х) = Дх), однако зто вовсе не обязательно: удачный выбор нулевого приближения часто позволяет ускорить сходимость последовательности у„(х) к точному решению. П р и м с р 6. Методом последовательных приближений решить урав- нение у(х) = 1 — (х — 1) у(С) Й. о 43 Положим уо(х) = 1. ХЪгда 2 у4(х) = 1 — (х — 1) Й = 1 — —, 2' о Уг(х) = 1 — (х — 1) 1— о ааля и-го приближения получим х2 х4 -) Э=1- — + —. 2) 2 4! х2 х4 хо 2п Хзй Уп(х) = 1- — + — — — +...
+ (-1) и — = Е (-1)" 2! 4! 6! ' (2и)! ь о (2Й)! ' 2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью реаольвенты. Метод последовательных приближений применительно к линейному интегральному уравнению Вольтсрра 2-го рода 218 Гл. 15. Интегральные уравнении откуда х2" д(х) = йш у„(х) = ~ ( — 1) —, = сов х. > ь=о Решить интегральные уравнения методом последовательных приближений: 15.25. у(х) =1+ у(~)й, уо(х) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
