341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти изображение функции Б!1 = ~ — г(т (зту т о функцию называют интегральным синусом). Гл. 14. Операционное исчисление 168 <С Используя теорему интегрирования изображения, находим згггС, с Пр —,=' / —. = агсгбгС С ' /о'+1 р гг = — — агсгб р. 2 Отсюда по теореме интегрирования оригинала получаем г сйпт 1(х 81С = 1 — Йт и — — — агсС8р . С> ,С т ' р~2 о Пример 6, Найти изображение функции соа(С вЂ” т)е ~'Пт. о О Используя теорему Пороля об изображении свертки, получаем соа(С вЂ” т)е т«Пт =совС»е гп ы . Сь (рз + 1)(р + 2) о Пример 7. Найти изображение оригинала г"(С), если ( з1пС при 0<С<а, 0 при С>х.
а Используя функцию Хевисайда и учитывая, что »С(С вЂ” л) = 1 при С х, функцию г(С) запишем в виде У(С) = вгпС+ »С(С вЂ” гг) з1п(С вЂ” гг). Пользуясь формулой 6 таблицы и теоремой запаздывания, получаем ] е — »г 1+ — »г г(р)= + —,= „.
С> р'+1 р'+1 рх+1 14.15*. Доказать следующие теоремы о связи «начальных» и «конечных» значений оригинала изображения, Если у'(С) ье г (р), то а) у(0) = 1пп рР(р) и (если существует конечный 1пп С'(С) = )'(+со)) С вЂ” »-Ьоо б) у'(+ос) = 1ппрР(р). р-ю З 1. Преобразование Лапласа 169 14.16. Доказать следующие соотношения '): 1Я 11е ((р+;ос)п+ ) "'=""'= (р+~)" ' сн, 1т((р+ 11с)"+с) Найти изображения заданных функций: 14.17. — С + 1. 2 14.18. с — -е .
2 1 с 2 2 14.19. е '+ Зе 2с+ 12. 14.20. 2яспс — соя -. 2 14.21. соя2 с. 14.22. яп2 (» — а). 14 23 яЬз 14.24. сЬСяпй 14.25. яЬЗСсоя2С. 14.26. СОЬ22. 1 14.27. яспС вЂ” СсояС. 14.28. — (ОЬСяспС+ яЬСсоя1). 2 14.29. Сзе 14.30. сзезс. 14. 31. е2' соя Ь 14.32. е 'яп21. 14.33. РсЬ2С. 14.34. ге сяспс. с 14.35. се сяЬг. 14.36*. е т т Йт. о 14.37. (1 — т)2 соя 2т с1т. 14.38. те' яп (г — т) с1т.
0 О Г сЬ г — 1 Г1 — е ' 14.39*. / Йт. 14.40. / дт. т ,/ т о о Г яЬт Г соя)ут — соя ест 14.41. / — Йт. 14.42'. / дт. т,/ т о О с Г елг еог 14.43. / Йт. т о ') Здесь обозначения Ее и1пс подчеркивают тот факт, что действительная и мнимая части соответствующего комплексного мнагочленв берутся условна, т, е. р считается вещественным числолг.
Гл.14. Операционное исчисление 170 1г при 0 <1< т, т 1г 6 — — (1 — Зт) при 2т < <1 < Зт, т 0 при 0 > Зт. при т <1< 2т, 14.53. /(1) = а 1пг при 0 <1< гг/2, 14.54. /(1) = — соаг при и/2 <1< гг, 0 при 1) гг. Ь при 0<1<1, Ье (' "1 при 1> 1. ( а1пс при О <1< гг, 14.56.
/(1) = ( ( аЬ(г — и) при 1> и. 14.57*. Доказать,что если /(г) — периодическая функция с периодом 1, то Р(р) =, е гл/(1) ггг. 1 о Найти изображения дифференциальных выражений при за- данных начальных условиях: 14.44. хг~'(1) + 4хп'(1) + 2хп(1) — Зх'(1) — 5; х(0) = х'(0) = 14.45. хп'(1)+бхп(1)+х'(1) — 2х(1); х(0) = х'(О) = О, хп(О) = 1. 14.46. хп(г) + 5х'(1) — 7х(1) + 2; х(0) = гг, х'(0) = О. Используя теорему запаздывания, найти изображения следую- щих функций: 14.47, г1(1 — 1)е' г. 14.48.
г1(1 — 2) ьбпт ((1 — 2)/2). 14.49'. г1(1 — 1)1ег. 14.50*. г1 (г — -1 з1п1. 4/ 1451 /(г) 1 прн 0(~< т, ( 0 при 1>т (единичный импульс, действующий в течение промежутка времени от 1 = 0 до 1 = т). 0 при 1 <Т, 1452. /(1) = 1 при Т< г <Т+т, 0 при 1>Т+т (запаздывающий единичный импульс). з 1.
Преобразоваггис Лапласа 171 Используя результат задачи 14.57, найти изображения перио- дических функций (аналитическис формулы определяют заданные функции на периоде (О, 1]): ( 1 при 0<1<т, 14.58. /(1) = ~ (=Т '( 0 при т<1<Т: (периодическая последовательность единичных импульсов). 14.59. ((1) = в(п)31 при 0 < Е < я/)3; Х = я/г3 (т.с. /Я = ( а(п )3г!).
14.60. /(1) = г ( яш1 при О <1< я, 1 = Т. О при я<1<Т; ( )г при 0<1<с, 14.61. /(1) = ( 1= 2с. ( -6 при с <1< 2с; В 14.62. /(1) = — 1 при 0 < 1 < с; 1 = с. с )г — при 0<1<с, 14.63. /(1) = Ь 1=2с. — — при с<1< 2с; 14.64. /(1) = соа г31 при 0 < Е < —, Е = —. 2,9' 2)3' 14.65. /(С) = ! а)п1), 1 = 2х. 2.
Расширение класса оригиналов. Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть неограничены в окрестности конечного множества точек, но такие, что интеграл Лапласа от них тем не менее в некоторой полуплоскости Пер > гго сходится абсолютно. К числу таких обобшенных оригиналов относится степенная функция /(г) = Г" при р > — 1, функция 1и Г и некоторые другие. В частности, к такому классу относится всякая функция /(г), которая в некоторых точках Г = 1ь (/с = 1, 2,..., н) является бесконечно большой порядка, меньшего единицы, т.е. такая, что !пп (à — 1ь)'"/(г) = О при г-~н некотором гь < 1, и если вне некоторых окрестностей точек 1ь она удовлетворяет условиям, при которых функцик> можно считать оригиналом. Пример 8.
Найти изображение г'(р) функции /(1) = Г", р > — 1. -г(ж О Имеем Г(р) = е "'г~ й или, после подстановки рг = т, о .г'(р) = / е 'т" цт = 1 Г,, Г(р+ 1) рк+г,г' риег а Гл. 14. Операционное исчисление 172 2 Итак, 2) с, :Г(.1)= ' ' Замечание. Если ут — целое положительное число, то Г(ут+ 1) = = р1, и мы приходим к формуле 2 таблицы изображений.
Пример 9. Найти изображение функции у(1) = !"!пу, ут > — 1. , Г(р + Ц О Из соответствия Р',=' с помощью дифференцирования по рею параметру и получаем Г'(р+ Ц Г(р+ Ц, Г(р+ Ц (Г'(р+1) ряч.1 рич-г ри-ы ! Г(р + 1) В частности, положив р = О, с учетом того, что Г(1) = 1, Г'(1) = — у ( у = 0,577215... — настоянная Эйлера), получаем у+ 1пр 1п1=' — . с р Найти изображения функций: Фнеас 14.66. ((1) =, ут > — 1.
Г(р+ 1) ' 1'е"' 1п1 14.67. у(1) =, ув > — 1. Г(п+ 1) ' ен 14.66. 7(1) = е'*'1пе. 14.69. у(1) = соз)тс, р > — 1. Г(р+ 1) ен 14.70. у(1) = Г(р+ Ц в)п )М, ут > -1. 14.71. ((1) = сов)3т 1пе. 14.72. 7(1) = з!п)уг 1пй 14.73. 7(С) = 0 при 0<1<о, 1 при 1> а. т/à — а 92. Восстановление оригинала ио изображению 1. Элементарный метод. Во многих случанх заданное изображение можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко восстанавливается непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений.
) Здесь под функцией вемпвевсной переменной 1/р"+' понимается та из ветвей этой многозначной фунвппп, которая нв вешественней положительной полуоси комплексной плоскости (р) принимает вешественпые значения, т.е. !/р"+' = е Ы+О мв. Аналогичное замечание относится к изображениям функпий с"е ~, С"е ~!пй с" сов!Уй Г" в!пйй З 2. Восстановление.
оригинала по иэображению 173 Для преобразования изображения широко используетсл в этом случае метод разложения рапиональной дроби в сумму простейших. Пример 1. Найти оригинал для функции 1 рг+ 2р+ 5 < Первый способ. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее, используя табличное изображение для яп(г1 и теорему смешения, получаем: 1 1 1 2 1 рг + 2р + 5 (р 4- 1) г + 4 2 (2 .1- 1) г + 4 2 -'-е 'э1п2й Второй способ. Раскладывая дробь в сумму простейших и используя изображение для е ', получаем 1 1 1 1 рг+ 2р+ 5 4г р — ( — 1+ 21) р — (-1 — 21) гп †( (-1+гйс е(-1-г1)с) е-с е-1 эш21 4г 2 2г 2 1 Пример 2. Найти оригинал для функции Г(р) = (,г + 1р' а Первый способ. Раскладывая дробь в сумму простейших, получаем ( г+ цг (р г)г(р+ .р 1( 1 г 1 1 , +, + 4 ~,р — г' р+ г (р — г)г (р+ г)г/ Ф вЂ” -(1е" — ге "+1еи+1е ') = -(э)п1 — 1соэ1).
4 2 Второй способ. Заметим, что 1/ (рг + 1)г 2р 1 рг + 1 / причем согласно теореме о дифференцировании изображения Гл. 14. Операционное исчисление 174 Применяя теперь теорему об интегрировании оригинала, находим — — ) и — / тейп тйт = -(сбп1 — 1созг). (рт+1) 2р ~р +1) 2/ о 1 1 1 — — — 'а1п1ез1п1= сбп(1 — т)а1птг1т= (р2 + 1)2 р2 + 1 рт о 2 = сйп1 соатз1птйт — совГ~ сйп тг1т = -(з|пà — тсоз1). 2 р2 — те Пример 3. Найти оригинал для функции —. з+1' г < Найдем сначала оригинал для лроби, причем в отличие от двух +1 предыдуших примеров разложение дроби в сумму простейших произведем в множестве действительных чисел. Имеем: р р 1 1 2р — 1 — — + рз+1 (р+ 1Нрз — р+ 1) 3 1,р+ 1 рт — р+ 1/ 1 1 1 /,,у, .т'3 '1 +2 г е +2е' сов — г р+1 1 3 ' 31 2 )' 1 3 А теперго применяя теорему запаздывания, учтем сомнозситель е зг.
Окончательно находим: те т" 1 н 2 т 8 2 3 — ' — я — 2)(е и т1 + 2еги т) соз — (1 — 2)) С, рз+1 ' 3 2 Найти оригиналы для заданных функций: 14.74.. 14.75. 1 1 ( - )' ' (р+1Ир-3)' 14.76. 1 14.77. ' рг+ 4р+ 3' ' ' рз+ 2рз+р Третий способ. Используя теорему Пороля об изображении свертки, получаем г 2. Восстановление оригинала ло изображению 175 1 2р+ 3 2 2 14.79. ,г(,г+ ц' рз + 4рг + бр 14.80..
14.81. (р' — 4)(рг + 1) (рг + 4)' 14,82. —. р 14.83. р р + 1 р4+ 4 е -2р е -гр 14.84. —. 14.85. р2 ' ( +1)з' -Р 3 -4Р 2 — Р 14.86. — + — + —. 14.87. — — —. р 2 р рг+9 рг+4 рг — 4 2. Формула обращения. Теоремы разложения. Если у(1) — оригинал и Г(р) — его изображение, то в любой точке непрерывности у'(г) справедлива формула обращения Меллина У(г) = —. 1 Е(р)егл бр, 2хг' где интегрирование производится по любой прлмой Йе р = о, а ) оо. Замечание. Вовсякой точке го, являющейсяточкойразрывафунк- 1 пии у(г), правая часть формулы Меллина равна -(у(ьо — 0) + у(го + 0)).
Непосредственно применение формулы обращения часто затруднительно, и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее: Первая теорема разложения. Если функция г'(р) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в рлд по степеням 1/р имеет вид то функция гп У(г) =~ а„—,, Г>0 (у(Г) =Опри Г<0) п=о лвляется оригиналом, имеющим изображение Р(р). Вторая теорема разложения. Если зображение Р(р) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек ры рг, ..., р„, лежащих в конечной части полуплосхости Пер < чао, то в у(г) = ~ ваныч(ер Г(р); рь).
ь=! Гл. 14. Операционное исчисление Если, в частности, Р(р) =, где Р (р) и О„(р) — много- Р (р) и Р члены степеней тп и и соответственно (и ) ги), р!, р2, ..., р„— корни многочлена О„(р) с кратностями, соответственно равными 1!, 12, ..., 1„ (1! + 12+ + 1, = и), то г 2-! У(1) = ~!, !ип —,((р — рь)" Р(р)е"'). ь=! Если все коэффициенты многочленов Ргв(р) и О„(р) — действительные числа, то в правой части (1) полезно объединить слагаемые, относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
