341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3. Формулы запаздывания и опережении: а) у(п — Й),— ' е "'Г'(д), а-1 б) ~(п + й), †' е"ч Г*(д) — ~ у(г)е .=о 4, Дифференцирование по параметру: Если у'(п, х) .— ' Г'(д, х), то ду(п, х) дГ*(д, х) дх ' дх 5. Дифференцирование и интегрирование изобра- жения: ~а а) п~у(п) .— ' ( — 1)" — Г'(д), л,а б) — .— ' (Г'(а) — ((О)) да (п ) 1). у'(п) п 6.
Изображение конечных разностей оригинала: Ьау(п),— ' (еч — 1)~Г'(д) — еч ~ (е' — 1)~ ' 'Ь'/(О). 7. Изображение конечных сумм оригинала. Если д(п) = 2 у'(я), то д(п) . †' . Г*(д) а=о 8. Умножение иэображений. Если ,()(п) в ул(п) = ~' 71(г)ут(п г) г=о (это — так называемая <свертка» оригиналов), то 2 4. Дискретное преобразование Далласа и его применение 201 Припадем т а блицу и зо бр а жени й осноаных решетчатых функций: Р И) еч еч — 1 а" еч — а е" » еч — е» (еч — 1)з еч(еч + 1) (еч — 1)з ~Р п(п-1 2! 2 » (еч 1)з п~ ~ п(п — 1)...(п — Й->1) — С„ (еч — 1)чч' еч яп,З сйп 33п ечч — 2еч соз 33 + 1 еч(еч — соз)3) соз 33п 10 ечч — 2еч сок (3 + 1 е' в1ч 33 511 33п 12 ~Ц т' — Сз» »( (еч — е")" е' а еч (з! — а = С„а й» И (еч — а)" е' ГС, п=О, 'с О, п~О 1, п 1 О, л(.) = ~ О', . ~ О' ечч — 2еч сЬ 33 + 1 еч(еч — сЬ (3) езч — 2еч с3ч(3+ 1 ч.~.з Гл.
14. Операционное исчисление 202 Пример 3. Найти изображение функции у'(и) = е "яп5п. а Применяем теорему смешения (свойство 2) и, используя формулу 9 таблицы изображений, находим еч япд е " яп Дп — ' К(д — о)— его "ч — 2еч соз Д + 1 ечч'" яп д егч 2ечев сов Д + егв ' В частности, ае' вш 13 а" япДп = е"~"'япДя .— с егч — 2аеч соз,9+ аг Найти изображения следующих решетчатых функций: 14.174. Дя) = еа" сов)Зи. 14.175. у(я) = а" соври. 14.176. Дя) = иге"Я. 14 177 Д„) „гов (и — 1)( ) 14 178* Дя) О'с 14.179*. у(п) =, = Сяе+,„.
14.180*". у (и) = —. Пример 4. Найти решетчатую функцию у'(и) по ее изображению еч Г*(д) = чг Первый способ. Разложим на простейшие лроби функцию Р" И) 1 еч (егч — 9) г ' положив е' = г: 1 1 / 1 1 ') 1 ч' 1 1 (вг 9)г Зб ) (г — 3)г (в+3)г / 108 \ з — 3 г+3 Таким образом; ег' 1 ( Зе' Зеч еч еч — + + (егч — 9)г 108 ч (еч — 3)г (еч + З)г еч 3 еч + 3 Но по формулам 3 и 13' таблицы изображений имеем: еч „ еч .— ' 3", — .— ' ( — 3)", еч — 3 еч+3 Зеч, „Зеч (еч — 3)г (еч + 3)г .— пЗ", — — я( — 3)". 34. Дискретное преобраэование эуаплага и его применение 203 Отсюда после элементарных преобразований находим: е" 3" з(п — 1)(1 — ( — 1)") (езч — 9)з 4 Второй способ. Переходим к У-преобразованию (полагая е" = з); е' , .
Используя формулу обрашсния (2) и применяя (езд 9)з (зз 9)з ' * теорему о вычетах, получаем =выч ( з )з,'3 +выч ( т )з,' — 3 Но (зт — 9)з' = з сЬ (з+ З)з нгв — 1 2зв (и 1), Зо — 3 = Пш з з,(з + З)т (з + 3)з / 4 Аналогично, ) „(и — 1)3" ' выч ; — 3) = †( — 1)" ~(.2 — 9)з' ) 4 Суммируя зти вычеты, приходим к прежнему результату.
С Найти решетчатые функции по их изображениям 14.181. Р*(д) = ее 14.182. Р*(о) = езе + 1' ез" 14.183. Р*(Л) = е24 4 2еч + 2' в — 1 Пример 5. Найти сумму Я„= ~ соей,9. ь=о з Используем свойство 7 дискретного преобразования Лапласа: е'(еч — сов|3) Гл. 14. Операционное исчисление 204 поэтому Г'(!С) ев(ет — сов 13) 5„. ез — 1 (ет — 1)(езт — 2ет сов С3+ 1) Разлагая на простейшие множители дробь е' — сов 13 (ет — 1)(еэт — 2ез сов)3+ 1) и добавляя множитель е", находим ет(ет — сов)3) 1 ( ет ет(е' — 2 созС3 — 1)'! (ев — 1)(еэт — 2ев сов 3 + 1) 2 !,ев — 1 еэт — 2ев сов,9 + 1 ) еэв — 2ев сов!3+ 1 еэв — 2ез сов 13+ 1 е'ч — 2ет сов(3+ 1 1 + сов)3 . †' соз(3и — , яп 0и. япД Таким образом, $и = -(!3(и) — соз;3и + с!8 — в!о Суп) = 1 13 .
2 2 ;3, 2и — 1 з!п — + яп )3 2вш— 2 и,З и — 1 яп — сов — С3 2 2 (и>1). с яп— 2 Найти следующие суммы: и! () и 1 14.184. ~~! —, = ~~У Сь. й=г /с=г и-1 14.185. ~! 2 в!и й;3. а=о и — 1 14.188*. ,'! й~(т! — Сс)~.
Ь=! Пример 6. Найти сумму степенного ряда 5(С) = ~ (соз — + яп — 11 С" = 1+ 1/2С+ Сэ — С" — т(2Сз — Св + .. 4 4/ и=а е" Но .— ' !С(и) (формула 2 таблицы изображений). Следовательно, ев — 1 е4(ее — 2 сов 33 — 1) е" (ез — сов С3) ев (1 + сов,3) 4. Дискретное преобразование Лапласа и его л имеяение 205 а Данный ряд сходится при ф ( 1, так как !пл (/!о„! = 1.
Заменяя 1 иа е ', приходим к дискретному изображению функции /(и) = сов — + яв + сйп —: 4 г'(д) = ~ ~сов — + сйп — )е 4 4 к=о Но (см. формулы 9 и 10 таблицы изображений). Поэтому ь/2 1 т/2 е" ее — — + сев пн . пп ~, 2 ) 2 еэт /(и) = соя — + я(п 4 4 етл —;/2ев + 1 етя — меч + 1 Отсюда, возвращаясь к аргументу г, находим Найти суммы следуюших степенных рядов: 14.187. ~~) я(п — 1". 6 =о ип , ппх „ 14.188. ~ (соя —, — я(п — /! 1". 3 3/ =о 2.
Решение ревностных уравнений. Пусть дано уравнение аох(п+ й) + а,х(я+ й — 1) + +аьх(и) = у(я) (5) (ао, ам ..., аь — постоянные) с заданными (или произвольными) начальными условиями: х(0) = хо, х(1) = хы..., х(й — 1) = хь 1. Правая часть уравнения (5) — — решетчатая функция у(я) — предполагается оригиналом. Полагая х(п), †' Х*(д) и применяя формулу опережения (свойство З,б)), составляем операторное уравнение (оно линейно относительно Х'(д)) и определяем из него Х'(9). Затем одним нз способов, изложенных в и. 1, по изображению найдем искомое решение х(п). е' ея — сов— 4/ сов — .— 4 еэе — 2ев сов — + 1 4 7Г еч в!и— вщ — .— 4 4 еэв — 2е" соя — + 1 4 Гл. 14.
Операционное исчисление 206 Если исходнос уравнение было задано не через последовательные значения неизвестной функции, а через се консчныс разности, т.с. имеет вид боЬ х(п) + б,»Ае 'х(п) + + бах(п) = »»(и), (6) то вследствие громоздкости формул для отыскания изображений конечных разностей решетчатых функций (и. 1, свойство 6) его следует предварительно преобразовать к виду (5) при помощи известных формул, связывающих конечные разности функции с сс последовательными значениями: Ь'х(п) = х(п+г) — С~х(п+г — 1)+С~х(п+г — 2)+ +( — 1)'х(п). (7) Аналогично решаются и системы разностных уравнений. Пример 7.
Решить уравнение х„ьт — х„ь»+х„= О, хс — — 1, х» — — 2. а Полагаем х„.— ' Л *(Ч). По формуле опережения находим: х„е» .— ' е" (Х'(Ч) — хо) = е" (Х*(Ч) — 1) = е"Х" (Ч) — е», х„ьг — ' е '(Х" (Ч) — хо — х»е ") = е (Х'(Ч) — 1 — 2е ) = = ет»Х'(Ч) — е~» — 2е». Внося вти выражения в походное уравнение, приходим к операторному уравнению (ст» — е' + 1)Х'(Ч) = ст» + е» Таким образом, ет» + е» Х (Ч) = ет» — е» + 1 х 1 в ~/3 Так как сов — = —, аш — = —, то Л*(Ч) запишем в следующем виде: 3 2' 3 2' "("-И -'" "("--э Л (Ч) ет» — 2е» вЂ” -ь 1 ет» — 2е»соа — + 1 2 3 Отсюда по формулам 10 и 11 таблицы изображений и. 1 находим пя;, пя 2п+ 1 х„= сов — + НЗ вш — = 2 ебп »г.
Р 3 3 6 и — 1 Замечание. Записать ответ в форме х„= 2сов я нельзя, 3 так как в атом случае получим хо = 0 ф 1 (по условию равенства нулю решетчатой функции от отрицательного аргумента). 3 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 207 Пример 8. Решить уравнение х„.12 — 4х„т1+4хп = 3" при произвольных начальных условиях хо, х1. 2 Полагая хп,— Х*(д) и используя приведенные при решении примера 1 иаображения х„ь1,— ' е'Х'(о) — хоее, хпч.2 .
' е ~Х" (д) — хое2" — х1е2, приходим к операторному уравнению еа (е~т — 4е' + 4)Х*(о) — хое~ч — (х1 — 4хо)е' = е2 — 3 е" поскольку по формуле 3 таблицы п. 1 3" .— ' . Отсюда находим еч — 3/ е2 ( ~ — 2)2 ( )( ~ - 2)~ ( ~ — 3)( ~ - 2)~ 1 Разлагая дробь на простейшие, имеем (еч — 3)(еч — 2)2 е20 е2 е' е' Х"(д) = хо + (х1 — 4хо — 1) г + "(ед 2)2 (еч — 2)2 е2 — 2 еа — 3 Но е Ч Ц . †' 3, е .— ' 2, е2 — 3 ' ' еч — 2 ' 2ет 2ет" .— п 2", .— ' (и+ 1)2п+ пе1 (еч 2)2 ' (еч 2)2 (последнее соотношение следует из предыдущего по формуле опереже- ния).
Переходя от Х'(д) к оригиналу, находим: и+1 х1 — 4хо — 1 хп = хо 2"~~ + п 2" — 2" + 3" = 2 2 2 и 2" + (хо — 1) 2" + 3" = (С1 + Сг и) 2" + 3". ~> Пример 9. Решить систему разностных уравнений хпч-2 — уп = О, Уп-1-2 + хп = 0 при начальных условиях хо — — Уо — — 1, х1 = /2, у1 — — О. Гл.
14. Операционное исчисление 208 а Полагая х„.— ' Х'(д), у„.— ' У*()1) и по формуле опережения имеем: х„е2 .— ' еэч(Х'()1) — хо — х)е ') = етчХ" (д) — етч — ч/2е", у 4-2 ' е 4(У (г)) уо у)е ч) = еэчУ (гч) — еэч Получаем систему операторных уравнений етчХ'(д) — У*(д) = еэч + ч/2 еч, еэчУ'(о) + Х"(д) = еэ". е4ч + ч/2 еэч + еэч е2ч х И)- е44 + 1 етч — ч/2 еч + 1 44 24 /2 ч 24 ч/2 еч У"И)— е44 + 1 еэч †,/2 еч + 1 Применяя формулу опережения, имеем: е 24 еч е' в)п— и '2 — — Ч вЂ” — .— ' 2 1 ) ~1) —, еэч — ь/2еч + 1 еэч — 2еч сов — + 1 4' 4 е' (еч — соа -) — еч э)п— еэч — 1/2 еч еэч — ч/2 еч + 1 т е2ч — 2еч сов — + 1 4 пчг, пчг г- (и+ 1)чг .
†' соа — — а1п — = 4г2 соа 4 4 4 Следовательно, (и + 1)т , — (я + 1).г х„= ъ'2 э)п 4 ' 4 у„ = ъ'2 соэ г> Решить следующие линейные разностные уравнения: 14.189. х„ж2 — Зхп+4 — 10х„= 0; хо = 3, хг = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
