341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Применения операционного исчисления Цозтому по формуле (8) , п()и 7 (о+„)2+ нг / (о+о)г ч ~г о о е " гбп Зи Йи Г"',. о (0(и) = 1, так как о > О). Но о+а~ я а и агсгб = — — агсгб — = агсгб — . о | д (о + о)2 + ~32 о Таким образом, е "з!п,уи г!и,З |- =- ° ° =агсГ8 —, гг > О. > и гг о В ычислить несобственные интегралы, используя формулу (б): г е ас е-д'соа71 14.149. / Ж, а, )3 > О. о 14.150*. !ие '!п1й, сг > О, р > — 1. о Вычислить несобственные интегралы, используя формулу (7): +ао +00 14.151... 14.152. е го Ии. о п2 .! сг2 а Вычислить несобственные интегралы, используя теорему Парсеваля (формула (8)): г е "" — е О" 14.153.
/ г(и, сг,,9 > О. ~(и о и~/и о 2 2 г -ах -дк 14.155". / г(х, сг, Д > О. гс2 о Гл. 14. Операционное исчисление 192 / е "»у(г) г(1 ,/ 1хе ' о (9) З По условню Г(р)= / е»»~~(1) г(С Имеем: = ~ (х1) е (х1) е и 1~с ' а »»е В Поэтому »*»»' ~ ' »»'»~' = ~ »е»у'»ы»".-"'а = У 1 хе о о »»ел С»Э +СЮ СО =т.»н»" ) .-"'»р»а= т»ы»"г»». с. ч=в о п=ь Используя формулу (9), найти суммы следующих числовых рядов: СО ОО 2 14.156*** ~» г . 14.157**.
~~» агс15— 14.158*. 2п+ 1 *. Е (пг+ 1)(п'+2п+2)' 00 3 14.159*. ~ агс1ц па+ Зп+ 1 Пример 11. Пусть у(г),=' Г(р) (область аналитичности Е(р); Пер ) О). Пусть, кроме того, Ф(1, х) — производящая функция бес. конечной последовательности функций р„(х), т. е. 5. Суммирование рядов. Методы операционного исчисления могут быть использованы при суммировании числовых и функциональных рядов. Пример 10. Пусть у(1) ы г(р) (область аналитичности Г(р): Пер > я).
Доказать, что сумма 5 ряца ~~» (х1)" Г(п) может быть найдена по формуле 193 3 3. Применения операционного исчисления доказать, что сумма Я(х) сходящегося на (а, Ь] функционального ряда Г(п)1оо(х) может быть найдена по фоРмУле 5(х) = Ф(е ~, х)Я)»11. о (10) с1 Имеем: +со .~-со о »( ' *уэ»с'= 1»э»о,и.ь» о о о=о ' -»-со = с, с-ь» 1' "'/Р» о = с,о (*»г(» = » (е» ° =о о =о Используя формулу (10), с помощью подходящей производящей функции просуммировать следующие ряды: Х2"+1 14.160".,'» ( — 1)" я=о 1, 3 (2 Ц зов! 2 4...2п 2»»+1 о=1 14.162**.
~~~», х Е (О, чг). т» я=1 14.163'. ~~» ( — 1)", х Е (О, чг). 6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей. Методы операционного исчисления широко используются при расчетах процессов, протекающих в электрических цепях. Пусть 1(1) и и(1) — соответственно ток и напряжение в цепи.
Применение операторного метода основано на справедливости законов Кирхгофа для операторных тока 1(р),=' »(1) и напряжения 0»(р) ы и(1). На основании закона Ома для основных элементов электрической цепи могут быть записаны следующие соотношения: 194 Гл. 14. Операционное исчисление для сопротивления В, иь(») = Л вЂ”, »»»(») »»» для инцуктивности Ь и 1» ис(») = — / 1(т) йт+ ис(0) с/ о для емкости С.
Переходя к изображенинм, отсюца получаем Ся»р) = Ну(р), Уь(р) = рИ(р) — Ег(0), 1 1 с»с(р) = — » 1р) + -ис(0). рС р Использун закон Ома в операторной форме, для произвольного участка цепи можем записать С(р) = г»р)1(р), (11) гце Я»р) — операторное сопротивление указанного участка цепи. Длн участков с сопротивлением Н, инцуктивностью Ь или емкостью С при нулевых начальных условиях операторное сопротивление имеет, соответственно, виц: 1 г„(р) =Н, г,»р) =бр, Х »р) = —.
Ср' При ненулевых начальных условиях к имеющимся в цепи источникам э.ц.с. добавляютсн цополнительные источники. Величины э.ц.с. дополнительных источников определяются запасами энергии в индуктивности и емкости и равны в операторном виде, соответственно, Ь»(0) и 1 — -ис(0). р Соотношение (11) нвляется основным для расчетов заданного участка цепи в операторной форме.
Пример 12. Найти ток1(») в цепи, изображенной на рис, 8 при подключении постоянной Рис. 8 э.д.с, е(») = Е. Начальные условин нулевые. э Так как (е)» = Е Ф Е!р, то, используя соотношение (11), находим: (12) г(р)1(р) = Е(р, 3 3. Применения операционного исчисления 195 где операторное сопротивление Я(р) цспп,изображенной на рис. 8, имеет вид 1 г(р) = гь(р)+ г,(р) + Лн(р) = Ер+ — + Л, в силу нулевых начальных условий.
Подставляя полученное выражение для Я(р) а (12), находим 1(р)— Е (13) Для отыскания оригинала г(1) следует рассмотреть три случая в зависимости от вида корней квадратного трехчлена в правой части выражения (13). Л Пусть — ) —,, тогда по формуле 10 таблицы изображений ЕС 4ьа ' находим УС 4ЕР Е ЬС 4Ьт Ла Пусть — = —,, тогда воспользуемся формулой 3 той же таблицы; ЕС 4Х,т' Е ж, $(1) = -ге-Ы. 1 Ле Наконец, если — ( —, то комбинируя формулы 8 и 3, находим: ЕС 4ьз' Е и~ Л 1 г(1)= е и'аб —,— — г, С Л' Ь 4Ет 1С 14.164. Найти ток г'(1) в ЛС-цепи (последовательно включены сопротивление Л и емкость С) при подключении постоянной э.д.с. е(1) = Е, если ис(0) = ио.
14.165. Найти ток г'(1) в ЛА-цепи (последовательно включены сопротивление Л и индуктивность Ь) при подключении постоянной э.д.с. е(1) = Е. 14.166. Найти ток г(1) в цепи, изобрая<енной на рис. 9, при подключении постоянной з.д.с. е(1) = Е, если ис(0) = ио. Гл. 14. Операционное исчисление 196 Для изображенных на рис. 9-12 электрических цепей определить напряжение на указанном элементе цепи при подклгочении постоянной э.д.с. е(1) = Е (там, где необходимо, положить ис(0) = О): 14.167.
Рис. 9. ил,(1) =? 14.168. Рис. 10. иь(1) =? 14.169. Рис. 11. ия,(1) =? 14.170. Рис. 12. ис(1) =? Рвс, 9 Рис. 10 Рис. 12 Рис, 11 При расчете электрических цепей, когда воздействие на схему представляет собой функции произвольного вила, полезно использовать интеграл Дюамеля (см. З 1, свойство 11 преобразования Лапласа). Сначала определяется переходная характеристика цепи — закон изменения напряжения илн тока при подаче на вход схемы единичного воздействия е(1) = п(1). В атом случае, из соотношения (11) находим операторный 1 ток Ес(р) =, где Я(р) — операторное сопротивление всей цепи, рг(р) ' Если теперь на вход схемы подается произвольное е(1), то операторный ток Е(р) имеет вид Е(х) = — = рЕ~(р)~(р) (Е(р) г(р) 3 3.
Применения операционного исчисления 197 где У(р) .=' е(1). Применяя формулу Дюамеля, окончательно нахоцилк 1(1) = е(0)г!(1) + е (т)1!(1 — т) !1т = о = е(0)1!(1) + ее(1 — т)1!(т) с(т = е(0)з!(1) + е' ч юм (14) о 1!(1) = — (1 — е " ) . Л Для определения тона 1(1) воспользуемся формулой (14). Предварительно вычислим второе слагаемое: е'(1 — т)!, (т) дт = !— о ! еи!!- 1 (т1 — е л!') 4т = — еи! 1 (е !" — е (л+т)) Пт = П о о ! е *1! —— ! л! е-В! 4 — т(ватт) 1 1 а П ц Л о у!+— о у (е!! — е т!) . у. „+- Теперь окончательно нахоцим 1(1) = е(0)1!(1) + е'*1! — — — 1 — е "+ л, П/7, т„, ах =П Л'1 ~е!! — е т у! . о.
и+ Е 14.171. Найти ток в ЛЛ-цепи при включении синусоидальной з.д.с. е(1) = Ез(поЛ. Пример 13. Найти ток в ЛХ-цепи прн подключении з.д.с. е(1) = — еР! < Сначала опрецеляем переходную характеристику цепи, в данном случае ток г!(1), возникаюгций в г11.-цепи при поцключении э.д.с. е(1) = 0(1). Имеем (см. ответ к задаче 14.165) Гл, 14. Операционное исчисленнс 198 14.172. Найти ток в ЛС-цепи, в которую при нулевых началь- 1 ных условиях подключена з.д.с. е(г) = Ие сл . 14.173. К электрическому контуру, изображенному на рис.
8, ,2- — "с1 1 подключена з.д.с. вида е(1) = Еб с и 1 — > —,~. Найти ток ' (,у,с 4Ь2/. в контуре (начальньее условия пулевые). В 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 1. У-преобразование и дискретное преобразование Лапласа.
Х-преобразованием числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности (а„) называется функция комплексной переменной Г(л), опредсляемая при 1г) > ут' = (цп АД рядом Лорана Г(г) = ~~~ я=о 1 а„= —, / Г(е)ли сЬ 2яе / с (2) (С вЂ” контур, внутри которого лежат все особые точки функции Г(в) 4)). Пример 1. Восстановить (а„) по се Я-преобразованию Г(л) = 1 (л — а)(л — 6) ) Формула (2) является фактически формулоа обращения Я-вреобразоваиия, и аналитически продолженная в круг 1л( ( )т. Если последовательность (а„) удовлетворяет условию 1а„! < Луе " (ЛХ > О, а — постоянные), то функция Г(л) будет аналитической в области 1л! > е, т.е. вне круга с центром в нулевой точке и радиусом Й = е . Формула (1) дает разложение Г(е) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (являющейся правильной точкой Г(г)), позтому для восстановления последовательности (а„) по се Я-преобразованию надо Г(л) любым способом разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; в частности, можно воспользоваться формулой для определения коэффициентов етого разложения (см.
формулу (2) З 5 гл. 12) 4. Диск етное и еобразоааяие Лапласа и его применение 199 и! Имеем; 1 1 ( 1 1 (» — а)(» — Ь) а — Ь 1 » — а » — Ь / и Ьп ( -Ь). ~1 а Ь) 1-Ь~- 1 —— п=о » обозначают символам Г(п) .— ' Г'(д) (иногда пишут Р'(о) = ?1(у(п)]). Изображение Г'(д) — функция комплексной переменной с периодом 2л, при этом в основной полосе -л <?ш д > л она аналитична при Йе !? > а. Таким образом, все ее особые точки лежат в этой полосе слева от прямой Ие!? = а.
Из формулы (3) вытекает следуя!шая формула обращения дискретного преобразования Лапласа: ,1(п) = —, / Г'(д)е"~г(д. 1 Г 2!г! / (4) 7 Пример 2. Г(п) = а", найти Г'(д). 1 со О Имеем и'"(д) = ~ ~апе "' = =; а потому ап 1 — ае о ео — а п=о е" еч . Полагал а = 1, получим 1п = и (п) .— ' ес — а е Свойства дискретного преобразования Лапласа (всюду ниже предпо- пагается Гу(п) — ' Ге(д)): 1. Линейность:, С!уз(п) .
†' ~! С!р'с(д). и ! йп 1 а — й 'Таким образом, ап = прин>1,ао=О с а — Ь Введем вместо последовательности (ап) решетчатую функцию у(п), полагая ап = Г(п). По-прежнему у(п) удовлетворяет условию ]з'(п)] < ,< Ме ", и примем дополнительно, что Г(п) = О при п < О; такие решетчатые функции будем называть дискретным оригинале»с ДисУ етное преобразование Палласа функции у(п) мы получим, если в -преобразовании положим» = егч! Ь *(4) = ~ Г(п)е-". (3) п=о Связь между дискретным оригиналом Г(п) и его изображением Г'(д) 200 Гл. 14. Операционное исчисление 2. Формула смещения: е "у(п) .— ' Г*(д — а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
