341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 22
Текст из файла (страница 22)
13. Теория функций комплексной переменной то при фиксированном го е Р функции ! Ф(г) = Дг1) о!г1 20 ивлнетсн аналитической в области Р, причем Ф'(г) = у(г). !Рункцил Ф(г) называется первообразной или неопределенным интегралом от у(г), причем если е'(г) — одна из первообразных длл у'(г), то г'(г1) Й1 = Р'(гг) — Р'(гг).
11 1(г) = — ~! !4!1, !с = 1, 2, )с) Р У(~1) 2гг' у' (г1 — г)а+' (7) Пример 4. Доказать, что если у(г) — аналитическая и ограниченнал в выпуклой области Р функции, то длл любых двух точек г! и гг из этой области имеет место оценка м /1(г,) йр ! г Из выпуклости области следует, что если г! Е Р, гг б Р, то и отрезок., соединяющий эти точки, также принадлежит области Р. Из теоремы Коши следует, что в качестве пути интегрировании можем взять именно этот отрезок, а потому, применил оценку задачи 13.229, имеем Д2 ( шах(у(г)) ~да теР = (гг — г!) шах(У'(г)!. 1> лен П р и м е р 5. Вычислить интеграл если путь интегрировании не охватывает ни одну из точек г! г —— ж1.
Л! Если у(г) аналитична в области Р, го б Р и 7 С Р вЂ” контур, охватывающий точку го, то справедлива интегральная формула Коши г'(го) = —. ~ — Й1. Г У(п) (б) 2п! У г1 — го При этом функция у'(г) имеет всюду в Р производные любого порядка, дли которых справедливы формулы д 4. Интеграл от функции комплексной переменной 159 г Ф згс!дг = ~ .
с г 1+!12' о П р и и с р 6. Вычислить интеграл а!ив 1= 2 г(х. хе+1 < Запишем интеграл в виде а)п— а+ ! з — г 1л-Ц=! и, используя формулу Коши (6), находим г агг а(п— 1 = 2ггг а+ ! агп ( — — ) = 2ггг — -л — = — гг. ~> 2г Пример 7. Вычислить интеграл 1= ег гг'ж з( 9-2(=3 'з Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной фУнкции обРащастсп в нУль в точках г! — — О и са —— 1, то РассмотРим многосвязную область Р, ограниченную окружностью Г = (г) )з — 2! = 3) и внутренними контурами у! = (з)(з) = Р) и Чт = И ~з 1~ = Р) 1 д Так как подынтегральная функция 1'(а) = является аналити- 1+ г ческой всюду, кроме точек з! з — — Ы, то интеграл Г(з) имеет смысл во всех точках, кроме г = хг, и при условии, что путь интегрирования не проходит череа зги точки.
Следовательно, если путь интегрирования не охватывает ни одну из точек англ = ~г, то в качестве одной из 1 первообразных для функции можно взять однознзчную функцию г+1 р'(з) = згсгдз, и, учитывая, что згсгдО = О, имеем 160 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной (О < р < 1/2). Тогда в атой области Р функция /(г) = з, являя ~я — 1 ется аналитической, и по формуле (5) можем записать: /(з) оз + /(з) ~Ь + /(з) ог = О, откуда следует, что е* е' е' з ~а+ з з~ ц / з~з ц у з~ ц г+ Примення теперь соответственно формулы 17) и (6), находим е'1зз — 4з+ 5) = згз №$ цз ез/зз 2л1 з з — 1 3 Таким образом, 1 = хз(2е — 5).
с Вычислить интегралы: 13.249. е' сЬ, 1 = 11х, у) )у = хз, 1 ( х ( 2). 13.250. а)пядг, 1= 1з(г =1з+з1, 1/2 <1 < 3/2). 13.251. я~соевое, 1 — отрезок прямой от точки го = 1 до точки г~ = 1. 13.252. 13 г дз, 1 = 11х, у) (х = уз, 0 ( у ( 11. 13.253*. 1в — го)" сЬ, и — целое число, 1 = 1г! )г — го! = /1). 13.254. 1г — ао)" оя, и — целое число, 1 = 1г()з — го~ = Л, 1гп1з за) > 0) З 4. Интеграл от функции комплексной переменной 161 13.255.
Вычислить интеграл (2 — 1) соз г оз по произвольной 3к. кривой 1 соединяющей точки зо = и и 21 = — 1. 2 4(2 13.256*. Какие значения принимает интеграл ~ —, если в качестве 1 брать произвольные кривые, соединяющие точки ге = 1 1+1 И21 = 2 Вычислить интегралы (обход контуров — против часовой стрелки): Г 22 Г 13.257. а) ~ пз; б) ~1 —, дг.
2 — 21 ' „1 2 — 21 (л)=1 ф=4 е22 Г е2' 13.258. а) ~, дз; б) ~ —, 4Ь. 2 — н1 ' 2 — н1 (4=4 (~(=1 а г 13.259. а); б) у —; в) у )г(=1/2 (л-6=1 (г4-1)=1 1Г2 З1П— г 21П— 13.266. а) —,, Ь; б) ~ — 112. )2 — 1)=1 (~(=4 Пз соз г 13 261 ~ 13 262' ~ 2 2 сл. ~,+. 2 иг ~ 4=2 (г(=4 г з" (2+1) 13.263. ~ 1Ь. ф1 13. 264. 21п г зш (2 — 1) 412. (21=2 1Ь 13"265' )з( )з, где: с а) С = (2) )2 — Ц = 1); б) С = Ц (2 + 1! = 1); в) С = (2 ф = Л, В ф 1). 162 Гл.13. Теория функций комплексной переменной а«12 г 13.267. ~ — гЬ з ьйп г ,,(.
(2+,)з !«+Ц=1 («)=! агп— 4 (2 — 1)2(г — 3) )«-1(=1 сЬег ' 13.269. ~! з ~з — 4~2 )г-2)=з г' 1 гг ! егг« 13.270. — соз — г12. 13.271. )!г 2 2 ггпу, ,з , + , ~ (,г + 4)2 ~«~=1,«г («-2)=! 13.272. Доказать теорему о среднем: если функция у(г) аналитична в круге )г — го) < В и непрерывна в замкнутом круге ~2 — го~ < В, то значение фУнкции в центРе кРУга Равно сРеднемУ арифметическому ее значений на окружности, т.
е. 2« Пго) = — / Пзе + Лег ) ЫО = — йг!) сь, 1 Г 10 211 / 2ггВ о 1ч-«0!=п где Не — дифференциал дуги. 13.273*. Известно, что если )'(г) ф сопз! — аналитическая в области Р и непрерывная в замкнутой области Р = Р () Ь функция, то гпах ~Дг)~ достигается только на границе области (прин- «Е«1 цип максимума модуля).
Доказать, что если, кроме того, Чз е е Ру'(г) ф О, то и ппп ~Дг)~ достигается также на границе. «ЕТ» 13.274. Используя формулу (6) для у'(г), доказать теорему Лиувилля: если у'(г) — аналитическая и ограниченная во всей плоскости (я) функция, то у (г) = сова!. Глава 14 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О 1. Преобразовапне Лапласа 1. Определение и свойства преобразования Лапласа. Преобразованием Лапласа функции у'(С), 1 с И (которал, вообще. говоря, может принимать и комплексные значения), называется функцил тг(р) комплексной переменной р, опредсляемая следующим равенством: Г(р) = е е'дс)й.
о Оригикалом называется вслкал функцил у (1), удовлетворяющая следующим условиям: 1) Х(1) = 0 при С < О, причем принимается, что до) = у'(+О) 2) существуют такис постоянные а и М, что ~У(с)~ < Ме'~ при с >0 (2) (величина оо = упбл называется показателем роста функции 1(с)); 3) на любом конечном отрезке (О, 1) функцил у(г) может иметь лишь конечное число точек разрыва, причем только 1-го рода. Если г"(Ф) — оригинал, то стоящий в правой свети равенства (1) интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Йер > л > оо.
При атом функция Г(р) является аналитической в полуплоскости Пер > оо и называется изобралсскием функции у(с). Соответствие между оригиналом г"(г) и его изображением Р'(р) символически записывастсл в виде Р(р) ы 1(С). Пример 1. Найти показатель роста многочлена у(С) = аау" +... + + а11+ ао. < Заметим, что длл любого о > 0 аас" + .. + а1г+ оо 1пп с ес ею Значит, для любого а > 0 существует такое число М = М(а), что выполняется неравенство: )а„С" + .
+ а~С + ао~ < М(а)е~', 1 > О. следовательно,ао = уп(а = О. г>о Гл. 14. Операционное исчисление 164 Заметим, что при ц = по — — 0 неравенство (2) не выполняется. > Пример 2. Найти изображение функции Хееисавзда а 'Гак как функция Хевисайда является оригиналом с показателем роста о'о = О, то .~-оо 1 З(1) ы с "~й = --е р а .~.
оз о Р при Пер > О. с Всюду в дальнейшем под заданной с помощью формулы функцией у(1) булем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда З(1), т. е. считать у(1) = 0 при г < О. Используя формулу (1), найти изображения для следующих оригиналов: 14.9. у(1) = 1, 0<1< — 1, 2<1< О, 3<1. 0 1 -(4 — 1), 2 О, 4 2, 3, 14.10. у'(1) = < 1. 14.11. у'(1) = 14.12. у'(1) = О <1< т, 1, т<г. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами, и найти их показатели роста: 14 1 у (1) = ез'+з 14.2.
у (1) = е' . 14.3. у(1) = е '. 14.4. Д1) = ~ ( 1, 0<1<1, 14.6. Д1) = 1п(1+ 1). 146 у(1) 1з 1 14.7. Д1) = 1ьбп —. 14.8. у(1) = е1~'. З 1. Преобразование Лапласа 165 0<1<1, 1<1<2, 2<1<3, 3<0 0<1< —, гг Зп 1) — < г <— 2 2' Зп — < 8 < 2п, 2п < Е 1, 3 — 8, О, 14.13. у(1) = з)п 2 — (к— 7Г 14.14. у'(1) = з(п1, О, Свойства преобразования Лапласа: 1.
Свойство линейности. Для любых постоянных Сю й = 1, 2,...,я, в И Са,г'а(г) ве ~~',Сара(р), Вер > щах(ог, от, ..., а„). а=1 а=1 2. Теорема подобия. Для любой постоянной а > О .г (ггг) Ф вЂ” Г ( — ), Ве р > гите. р 3. Теорема смещения. Умножению оригинала на е ', сг е К, соответствует смещение аргумента изображения на сг, т.е. е 'У(Г) Ф Г(р — гг), усе(р — гг) > оо гг(à — т)л(г — т) нее " Г(р), ггер > ао. 5. Дифференцирование оригинала.
Если г(Г) и ее производные У'00(г), гг = 1, 2, ..., явдяются оригиналами, то для любого (г=1,2, ...,я урй(Г) ,— —'раК(р) — (р" 'у(О) + р"-'у'(О) +" + УГв "(О)). В частности, Г'(Г) ф рГ(р) — у'(0), Кер > оо. б. Интегрирование оригинала: у(т) ят и —, гсер > оо. . р(р) р ' о 4. Теорема запаздывания. Запаздыванию оригинала на т соответствует умножение изображения на е г', т. е. 3 1. Преобразование Лапласа 167 С помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы основных изображений можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике.
Пример 3. Найти изображение функции зшз6 з Имеем па формуле Эйлера яп 1= 3 ~ ~ и ~ ~ ~ ь ~ ~~ 3 ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ь ~ ~ ~ ь ь ~ ~ ~ 3 и 21,) 4 (, 21 2г' 3 1 = — яп1 — — зш 36 4 4 Используя свойство линейности и формулу 6 таблицы, находим: 3 1 1 3 6 4 рг + 1 4 рт + 9 (рз + 1)(рт + 9) Пример 4. Найти изображение функции гг соа 26 З Используя формулу Эйлера и формулу 4 таблицы изображений, получаем: 2 ' (р-2')' (р+21)з (рт+4)' Заметим,что изображение указанной функции можно было бы получить и другим способом, а именно, дважды дифференцируя изображение соз 26 ~> 1 япт Пример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
