341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 17
Текст из файла (страница 17)
пред- 2 ставляет собой открытое множество точек, ограниченное графикам параг болы у = -(хг — 1) и содержащее точку 0(0, О). с Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции у(х) = ггг — й. 126 Гл.13. Теории функций комплексной поромсгнной а Полагал х = х + мд находим г"(и) = и(х, у) + го(х, у) = г(х + гу) — (х — гу) = = г(хт — ув + 2гху) — (х — гу) = — х(1 + 2у) + г(.г — уэ + у). Таким образом, ЕеДх) = и(х, у) = — х(1+ 2у), 1гп (( ) = о(х, гу) = хе + уз + у.
~> Описать области, заданные следуюшими саотношенияьии, и установить, являются ли они односвязными: 13.1. (х — хо! < Л. 13.2. 1 < )х — г! < 2. 13.3. 2 < (х — г! < +оо. 13.4. 0 < Пе (2гх) < 1. 13.5. (х — хо! > Л. 13.6. О < (х + г( < 2. 1 1 13.7. 1пг(гх) < 1. 13.8. Вс — > —. а 4 Указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяюших указанным соотношениям: а+1 13.9*. 1ш = О. 13.10.
(х — г) + (х+ г! < 4. х — 2г 13.11. Ее = О. 13.12. (х — 5) — (х+ 5! < 6. х+ 2г г — х 13.13. аг8 = О. 13.14'. аг8 — = О. х — х2 х+г Записать с помощью неравенств следующие открытые множества точек комплексной плоскости: 13.15. Первый квадрант. 13.16. Левая полуплоскость. 13.17. Полоса, состоншая из точек, отстоящих от мнимой оси на расстоцние, меньшее трех. 13.18. Внутренность эллипса с фокусами в точках 1+ г, 3+ г и большой полуосью, равной 3. 13.19. Внутренность угла с вершиной в точке хо раствора и/4, симметричного относительно луча, параллельного положительной мнимой полуоси.
Для следуюших функций найти действительную и мнимую части: 13.20. у(х) = гй+ 2х~. 13.21. у(х) = 2г — х+ гх~. 13.22. Дх) = . 13.23. Дх) = —, + —. 'З 1. Элементарные функции 127 13.24. Дг) = Ве (гз +1) +11ш(зз — г). 3 +а+1 13.26. Д(з) = ах+ 3 Определить функцию ю = у'(г) по известным действительной и мнимой частям: 13.26. и(х, у) = х + у, о(х, у) = х — у. 1 г ег Если а = х+ г'р и б = х — гу, то х = -(г+ г) и у = — -(г — г). Тогда 2 2 1 1 1 — 1 1+1 и(х, р) = х+ у = -(г+ б) — -(г — й) = — г + — г; 2 2 2 2 1 г 1+1 1 — г, и(х р)=х р= (а+3)+ (з 3)= з+ 2 2 2 2 Следовательно, 1 — г 1+1 1+1, 1 — г, у(л) = и(х, р) + йг(х, у) = — з + — й + — ьа + — 13 = 2 2 2 2 1 — 1 1+гЛ гг1+г 1 — 1'1 — + — г~ з + ( — + — г) й = (1 + 1) й. 2 2 ) (, 2 2 ) Таким образом, г"(а) = (1+ г)а.
Рассмотренный в задаче метод поаволяст в общем случае получить для функции комплексной переменной выражение, зависящее от г и б. г 13.27. и(х, у) = хт — уз — 2у — 1, о(х, у) = 2ху+ 2х. х~+у +1 х~+у~ — 1 13.28. и(х, у) = х з т, о(х, у) = у хе+уз ха+уз 1 1 13.29. и(х. р) = —, о(х, у) = —.. х у Функция ю = г( ) называется ог)нолиетной в области Р, если любым различным значениям вг ф г и взятым яз области Р, соответствуют различные значения функции у(гг) ~ у(гз). Найти области однолистности следугоших функций: 13.36. У( ) = '.
'З ПУсть . г = Ргеьи и зз = Ртеге'. Найдем Условие, пРи котоРом аг, = аз~, хотя г, ф зз. Имеем ртге'т"" = рзуе'т"', Отсюда заключаем, что рг — — рт, а 2грз = 2чгг + 2Ьг (й = О, 1). Так как гг ф гт, то рз = гог + к. Таким г)бравом, область однолистности функции ю = гз не должна содержать внутри себя точек, мопули которых совпадают, а аргументы отличаются 128 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной на х, т.е. областью однолистности является любая полуплосность, например В.е з ) О или 1т з > О.
с> 13.31. 1(з) = зп, гз е 1Ч. 13.32. ~(з) = е~. 1 13 33 Дл) езм 13.34. Дз) = в+ —. Геометрически заданную на Р функцию у(з) можно рассматривать как отображение области Р плоскости (з) на некоторое множества С плоскости (ю), являющееся совокупностью значений Дз), соответствующих всем з Е Р. Пример 3. Исследовать отображение, осуществляемое линейной функцией ю = аз + Ь. Это отображение можно рассматривать как композицию трех простейших отображений.
Действительно, положим юз — — (а(з, ез мз аж юз = юг+ 5. Тогда нетрудно видеть, что ю = вз о юг ошз. Из геометрического смысла произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отображение ы~ есть отображение растяжения (сжатия при О < (а! < 1), отображение юг представляет собой поворот всей плоскости (ш~) относительно начала на угол у = агпа и, наконеп, отображение вз есть параллельный перенос плоскости юг на вектор, изображающий комплексное число Ь.
~> Найти образы указанных точек при заданных отображениях: 13.35. зо —— 1 + з, зо = зг + 1. 1+1 13.36. зо =, щ = (з — 1)г. 2 1гп 3 13.37. яо = 1 — —, го = —. 2' 13.38. ло —— 3 — 2з, щ = —. 3 13.39. Найдите образы координатных осей Ох и Оу при отоз+1 бражении го = з — 1 Для отображений, задаваемых указанными функциями, найти образы линий х = С, (з~ = Л, згбз = сг и образ области ф < г, 1щя)О: 1340 ю яг 1341'* го =— 3 Один из наиболее употребляемых способов задания функций — задание с помощью формулы — в случае функций комплексной переменной часто приводит к многозначным функциям. з 1. Элементарные функции 129 г/2 Пример 4.
Найти все значения функции ю = — — т/а в точке 2 до = г. з Так как )г! = 1 и агдг = х/2, то в соответствии с определением корня и-й степени из комплексного числа (сы. Часть 2, гл. 5, З 5) находим юь = — — е1(3+ к), 2 Ь = О, 1. Таким образом, /2 - 2 и . х,2 гео = — е-г'- — соэ — — г гбп — = — г —, 2 2 4 4 2 ' ~/2 г., ~/2 5п, бп г/2 гег = — — е г = — — соа — — гсйп — = г/2+ г —. г> 2 2 4 4 2 Найти все значения следуюгцих функций в указанных точках: 13.42. ю = з + ~4/л, ло = -1.
./з+ г 13.43. гл =,, зо = г, ь/л — г 13.44. ю = г/1 — т/л, ло = — г. 13.45. ю = т/г + т/з, ло = -1. Найти Аг8Дл), если з = те'": 13 46 Дл) лг 13 47 Дз) лз 13.48. /(з) = т)та+ 1. 13.49. Дл) = ь/л — 8. 1з.го. д ~ = Р -4. 11.г1. ле = ~~ — ~)~~ ~ о. 2. Основные элементарные функции комплексной переменной.
Следуюгцие функции (как однозначные, так и многозначные) называются основными элементарными: 1. Лробно-рациональная функция аоэ + ага + + ав п, т е рг. Ь~л'"+Ь з '+ +Ь Частными случаями этой функции являются: а) линейная функция ал+Ь, а, Ье С, афО; Говорят, что в области П определена многозначная функция га = Да), если каждой точке а Е П поставлено в соответствие несколько комплексных чисел пг.
13О Гл. 13. Теория функций комплексной переменной б) степенная функция »", а Е 1'(; в) дробно-линейная функция а»+Ь а,б,с,йЕС, сааб, а4 — Ьсфб; с»+ 11 г) функция Жуковского »+ 2. Показательная функция е' = е*(соз у + 15(п у). 3. Тригонометрические функции 1 соз» = -(е" + е "), 1 51п» = — (е1-" — е "), 21 51п» 1К» = Соз»' СО5» сгд» = —, 51п» 4. Гиперболические функции б. Логарифмическая функция Ьп» =!и ~»~ + 1(агб» + 2йк). Функция Ьп» является многозначной. В каждой точке», отличной от ну- ля и оо, она принимает бесконечно много значений. Выражение 1п ф + + 1згд» называется главным значением логарифмической функции г обозначается через 1п ». Таким образом, 1п» =!и»+2к7Гз.
б. Обшая степенная функция »Я васям а а 1О 1 511» = -(е' — е '), 2 511» 1)1» = —, с11» 2 с)1» = -(е' + е *), 2 с)1» с111» = —. 5)1» э 1. Элементарные функции 131 Вта функция многозначная, ес главное значение равно ез ж '. Если а = 1 = —, и 6 1ч', то получаем многозначную функцию — корень п-й степени и ' из комплексного числа: 7. Общая показательная функция ол ез!.па и б С Главное значение этой многозначной функции равно е'!"". В дальнейшем при а > О полагаем а- = е"'"'. 8.
Обратные тригонометрические функции Агсзш 2, Агссоз 2, Агс!ц 2 и обратные гиперболические функции АгзЬ 2, АгсЬ 2, Аг1Ь 2. Определения этих многозначных функций рассмотрены в примере 7 и задачах 13. 70 -13. 74. Отображения, осуществляемые некоторымн элементарными функциями и простейшие свойства этих функций будут рассмотрены позднее (в э 3); здесь ограничиысп только вычислением конкретных значений этих функций. Пример 5. Вычислить з!п1'. а Имеем: О -К -1 1 1 -1 е — е е — е,е — е З1П1 — —, — 1' — 1ЗЬ1. > 21 21 2 Пример б.
Вычислить сЬ(2 — 31). ° з Имеем: ,2-21 ! Е-2ЬЗ1 сЬ(2 — 31) = = -!еэ(созЗ вЂ” гз!пЗ)+е ~!созЗ-ЬЗЗ1пЗ)) = 2 2 = созЗсЬ2 — ЗзшЗЗЬ2. !> П р и м е р 7. Найти аналитическое выражение для функции Агссоз 2 при любом комплексном 2. Вычислить Агссоз2. ~З Так как равенство ю = Агссоз 2 равносильно равенству соз ю = 2, то еи+е ' можем записать з = 2 . Отсюда находим еэ' — 22е' + 1 = О. Решая это квадратное относительно е1" уравнение, получаем е' = 2+ т/22 — 1 132 Гл.13, Теория функций комплексной переменной (здесь рассматриваются оба значения корня). Из етого равенства нахо- дим зи = ? и (з + з/Р— 1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
