341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 16
Текст из файла (страница 16)
г ггл — у 1 12.512. )'(х, у) = х ( ) при -1 < т < 1, -и < у < и, 1 = 2, я = 2гг. 3. Интеграл Фурье. Если функция Г" (г) абсолютно интегрируема на ( — оо, +со), т. е. Г(Г) е Ц вЂ” са, +ос), и кусочно гладка на каждом конечном отрезке действительной оси, то она представляется в виде интеграла Фурье г(ь=-г(,+ь)+го-ьа= 1Ьь'"я~ = /гьь'"'"~, 1 (5) где у( ) = г(г)е т""й.
Преобразование (6), которое будем обозначать Яу), называют прямым, а (5) — обрагяяььи преобразованием Фурье, выраженным в комплексной форме. В действительной форме эти преобразования записываются в виде: 1 г 1 а(ы) = — / Г(Г) совьгГг1г, 5(ы) = — / у(Г) ьбпьгГгй (7) (прямое) и (8) Г(Ь= г' (() 1+я ) ' ьб о Г2 г 3С(й = ус( ) = ~/ — /' аг) со. гаг о (9) (обратное), ы = 2ти. Если функция Г'(Г) четная, то (7) и (8) записываются в следующей симметрической форме: з 7. Ряды Фурье.
Интеграл Фурье 119 Г2 Г у(() = ~( — / )с(ы) соосной о (10) -(-оо Г2 Г Я,[Д = Яь2) = ~( — / ~(() з(пьА с(( о Д() = — Яь2) в! и ал с(ы. о Пример 3, Найти преобразованиеФурьедляфункции у(() = е а > О. О Подставляя заданную у(() в (6), получаем +со о +ос у(и) е-а(с(е-2л(лс с(( е-(тлсл-а)с с(( ( е — (2льо+а)г г(( (о +ос (а-2ли )С -(2юл+а)2 а — 2к(и а + 2к(и 1 1 2а + 2' а — 2к(и а+ 2к(и а2+ 4язи' ' т.
е. а2 + 4кзи2 ' Подставляя зто выражение в (5), получаем (-со +со +со 2лая а ( е™ 2а / совы( Е а('( =, ди со — (,, Г(Ы = — /,, Йас. (*) ггт + 4 гти2 к,/ а2 + ы2 к,/ а2 + о22 Последнее равенство следует из того, что .Юл Г /, С =С. в(псА, /' в(п Л( а2+ь22 (ч е у а2+ь22 и называются парой косинус-преобразований Фурье. Если же ((() не- четная, то имеем пару сакре-преобраэоеанпб Фурье Гл. 12. Ряды и их применение 120 Пример 4. Найти преобразование Фурье для функции т'(г) = е ', а > О.
Г21 /я ' 1 г 7г[е ~ ] = ~/ — / е ~ соаьяй = )/ — †(~ — е « = — е 4 я 2 ~( а т/2а о е "' = )/ — / — е т совю1сЬ =— Я т' чг2а ч'яа о г е созьяагн. ~> о Найти преобразование Фурье в комплексной форме для функций: 12.513. /Я = йбп (1 — а) — щп (1 — 6), 6 > а. И 12.514. /(~) = " 1 т) при 0 при ф >а. 12.515, /(1) = г 1 соза1 при (1( < л/а, а > О. при ($~ > л/а, 0 при (1) > 1. Найти пару косинус- или синус-преобразований Фурье указанных функций; 1 12.517*. /(1) =, а > О. аз+ гз 12.518*.
/(г) =, а > О. 12.519. /(1) = 1е ' . 12.520. /(1) = е ~й сов)й, а > О. 12.521. Доказать, что преобразование (6) является непрерывной функцией, причем 1пп /(и) = О. я — г~ог а Так как функция /(1) четная, получим пару косинус-преобразований Фурье. Потому воспользуемся формулами (9) и (10). Используя резуль- тат задачи 8.192, получаем з 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 121 4. Спектралыиае характеристики ряда и интеграла Фурье. Стектпральной функпнсй Б(ыь) ряда Фурье или т1ектпральнай плапгнастью называется отношение коэффициента Фурье функции Г(х) периода 1 1/2 1 Г С( ) ~ Г( ) — 2ьгтьал 1/ -172 й ыь = —, й Е К, к прирашению частоты к+1 12 1 ггыь = — — — = -, т.
е. 11'2 Я(ыь) = — = / Г(н)е "'"'" ди. С(ыь) Г ггив ./ -112 Ам лнтрднь1м спскпьрам р(ыь) называется модуль спектральной функ- ции, а фааав1лм спектром Ф(иь) — взятый с обратным знаком аргумент спектральной функции, т.е. р(иь) = (5(ыь)! =1(с(гь)( и Ф(иь) = — агдЯ(ыь). На графиках р(иь) и Ф(иь) обычно строят только ординаты р и Ф в точках иь и спектр называют линсйчатым. П р им е р 5.
Найти спектральную функцию ряда Фурье и построить амплитудный и фазовый спектры для функции при при прн 2 Имеем ыь = Й/4 и Я(ыь) = / Г(х)е ""'* дх = Е2ьюь Е-тл1ль Вщ 2КЫЬ 22 0 Г(х) = 1 О хЕ( — 2,— 1), х б (-1, 1), У'(х + 4) = Г(х), х Е (1, 2). 1 е — 2е1тх Е 2ь1ы„*дХ вЂ” 2кгиь -1 Гл. 12.
Ряды и их применение 122 Следовательно, р(иь) = (5(иь)! = ! а!и 2ггиь ! к)иь! Р 4 н Ф(иь) = — агбар(иь) = 4 Зк О, если в!п2ггиг, > О, — если в!п 2киь ( О. 3 2 2 О ! 1 2 Ф О Графики р(иь) н Ф(иь) представлены на рнс.З. > Спектральной функцией интеграла Фурье называется прямое преобразование Фурье о(и) у(и) у(г)е-злыгг!Г (1Ц 0 при !Е( — 2Т, — Т), — 1 при 1 Е ( — Т, 0), 1 при 1Е(0, Т), 0 при 16(Т,2Т), ( 0 при !г!>О, 12626* Р) = 0 при !!( > 1/2. 1+ ! при ! б ( — 1, 0), 12.526.
2(!) = 1 — ! при й Е (О, 1), 0 при )г) > 1. 12.527. ((!) = 2 при г Е (О, 2), 0 при ! Е ( — оо, 0)()(2, +со). 2(!+4Т) = 2(Х). Величина р(и) = (Я(и)( называется амплцтудным спектром, а величина Ф(и) = — агам(и)— фазовым спектром. Найти спектральные функции Я(иь) или Рнс. 3 Я(и) и построить амплитудные и фазовые спектры следующих функций: з 7. Ряды Фурье, Интеграл Фурье 123 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Аналитическое вычисление преобразования Фурье (спектральной функции) (11) и обратного преобразования (5) вызывает, нак правило, аначительные трудности.
Разработаны методы их численной реализации, одним из которых является так называемое г)кскрстнос прсобразовинве Фурье; Т о(ив) = у„= — ~~ ~(сь)е ' й, и =О, 1, ..., 211' — 1, (12) 2М 1=О Т 1 где 11. = 1 — (Т вЂ” длина заданного интервала) и и„= п.—. Обратное 21"1! Т к (12) преобразование имеет вид 2)Ч вЂ” 1 у(11) = ть = — ~ ~у„с' вь, Й = О, 1, ..., 2!У вЂ” 1.
(13) п=е Преобразования (12) и (13) выполняются с помощью так называемых быстпрььт алгоритмов (БП11)), состоящих в том, что если 2Х = гггг... 1„, г, — целые > 2, то матрица преобразования (12) (или (13)) 1 1 1 ... 1 Ч2 Ч2М вЂ” 1 г 4 2!2)ч — 1) Ч 2)2Х-1) )гг)-!) Ч ге) — 1 Ч где Ч = е ' (Ч = с'й для (13)), представляется в виде произведения и квадратных матриц И'„порядка 2Х, И = Иг„И'к !... ИггИы (14) имеющих каждая по г, 2Х отличных от нуля элементов. Умножение матрицы И', (и = 1, 2, ..., и) на вектор-столбец Я = (ео, 21,..., 22)2-1)1 за счет отбрасывания умножения на нули может быть произведено за т . 211" операций комплексного умножения на множители Ч и сложения. ь Все ДПФ (12) вычисляется тогда за (г1 + гг+ . + г„)2М таких операций к умножения конечного результата на множитель Т(2М.
Если 211' = 2" (г) = гг =... = г = 2), то в качестве матрицы Иг )т), к = (св у ), й, ~' = 1, 2,..., 2", лля разложения (14) можно взять матрицу, элементы которой выражаются следующим образом (Ч = е "-'); пусть и = О, 1,..., 2" "' — 1 и р = 1, 2,..., 2ьч ', тогда с,„, = с~ .)„, = 1, и 2'"В-жи.г !-Ьи ~ 2'"В-2 'В-Юи 2 — '-)-и Гл. 12, Ряды и нх применение 124 )т) ) ) )н — 1)г"- сиг .~-и,г" 1.ьи.г 1.ии г .).г 1-ьи,г" ~-~-и.г 1+и (15) сь = 0 для остальных пар (Й, 1).
12.528. Выписать матрицы И"), Иг и И'з, соответствующие формулам (15) при 2Л) = 2з = 8. 12.529. Пусть Х = (хо, х), ..., хт)т. Составить произведения ЯО) = И)Х, У(г) = Иггх()) = Иг(И)Х) и Я(з) И)зЯ(г)— = И'з(И'гИ')х). Сравнить полученный результат с произвелением ИгХ. Для конечной последовательности комплексных чисел (хо, хм ..., , хн 1) ДПФ по формуле (12) можно представить в виде и-1 у„= — ~ хье в (я=0,1,...,М вЂ” 1), )у ь=о а обратное ДПФ (ОДПФ) — в виде М-1 хе=~ у„е Я (Й=0,1,...,)Ч вЂ” 1).
Обозначим кратко ДПФ и ОДПФ соответственно У = 2(х) и Х = 8-'() ), где Х = (хо, х„..., хм ~)т, )' = (уо, ум ..., ун 1)'. Глава 13 'РЕОРИИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 1. Элементарные функции 1. Понятие функции комплексной переменной. Множество точек Е расширенной комплексной плоскости (х) = С()(со) называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется обласпгью и обозначается через 11, С и т.п.
Область 11 называется односвлзиой, если ее граница является связным множеством: в противном случае область 0 называется многосвязной. Если каждому комплексному числу г, принадлежащему области Р, поставлено в соответствие некоторое комплексное число ю, то говорят, что в области В определена комплексная функция го = 1(х). Пусть г = х + гу и ю = и + 1тс Тогда функция ю = у'(х)может быть представлена с помощью двух действительных функций и = и(х, у) и о = о(х, у) действительных переменных х и у: ю = у(х) = и+ го = и(х, у) + 1о(х, у), где и(х, у) = Пе)'(г), о(х, у) = 1т г"(г).
Пример 1. Указать область, определяемую условием (г! — 1щх < 1. < Так как ф = ~/хг + уг и 1щ х = у, то получаем неравенство /хг+уз, < 1 или +уг < 1+у, Из последнего неравенства следует, что у ) — 1. Возводя обе части не- равенства в квадрат, находим хг + уг < 1 + 2у + уг. Следовательно, г искомая область определяется неравенством у ) -(х — 1), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
