341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 11
Текст из файла (страница 11)
с Используя теорему Тейлора (формулу Тейлора с остаточным членом в какой-либо форме для функций действительной переменной), разложить в ряд по степеням х следующие функции, проверив тем самым справедливость соответствующих соотношений из а)-е): 12.203. е'. 12.204. соэ х. 12.205. э!пх. 12.206. (1 + х) . 12.207.
2'. 12.203. яп (х — — ). 12.209. соэг х. 4/ Написать первые три ненулевых члена разложения в ряд по степеням х следующих функций: 12.210*. 1дх, 12.211. —. 12.212. 1Ьх, 12.213. е'соэх. соэ х Используя разложения основных элементарных функций а)— ж), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням х и указать области сходимости полученных рядовг): 12.214. е ' .
12.215. япг х 12 216. г. 12.217. 4 + хг 3 + 4х ) См. также задачи 12,289-12.294. я 3. Степенные ряды 77 12 218 ~У27 — ж 12.219.. 12.220*. 1 Зв+ 1 ' Л+яг' ( -2)' 3 12.221.. 12.222. (1 — я)е г'. 12.223. ОЬ ж 1 + я 2яг' 12.224. О1п2я+2ясоя2ж 12.225. яш2ясоя2ж 12.227. 1п(яг+ Зя+ 2). 12.226.
1п(1+ я — 222). 12.228. 1п (я + Л + яг) 12.231. е О 7~Й1. о ЯСОЯ — Я1П2 12.233*. 12.229. агс18 ж 12.230. агсяЗп ж у я1пи 12.232. / — Ит~. П о вяшя — 1+ соя я 12.234*. Найти области сходимости указанных рядов и их суммы: 12.247.
~~> ( — 1)"(и+1)(п+2)2". 12.248. ,'> п(я+1)". п=р п=1 ОЭ 12.249. у ' . 12.250. ~~~ (-1)па г" ~вгп, а ~ О. п+1 =о =о 12.251. ~) ( — 1)п(и+ 1)я~", п=р Разложить функции в ряд по степеням я — яр и определить области сходимости полученных рядов: 1 12235 яз 2яг 5я — 2, во= 4 12236. —, во=2 1 — я 1 12.237., яо = 34. 1 — я 1 12.238., яр = 3. яг — 62+ 5 12.239. 1 яо = — 4 12 240 ~Уг, во = 1. яг+ Зя+ 2' 12.241*. —, яр = 2.
12.242. еп 4~+1, яо = 2. 2) 0 12.243. Оег' ', яо = 1. 12.244. яш(яг+42), вр = — 2 12.245*. 1п (52 + 3), яр = 1. 12.246. 1п(яг+ бе+ 12) яю = 3. 78 Гл. 12. Ряды н их применение 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Сформулируем теорему единственности. Если функции у (я) и д(я) аналитичны в области Р и если на множестве р зличных точек (тв)„ен, имеюсаем предельную точку а с Р, выпвлнлютлсл равенства у(яв) = д(св), п б !ч', тв 1(я) = д(я) всюду на Р. Пусть функция У(х) аналитична в области Р, а функция д(я) аналитична в области Р~ такой, что пересечение Р П Р~ —— Рз содержит последовательность различных точек (тв)вен, имеюшую по крайней мере одну предельную точку а Е Рт. Пусть, кроме того, у(х) = д(я) длн х Е Рт.
Тогда функция у(я) длл я Е Р, д(я) для я с Р1~Р2 называется аналитическим продолжением функции у(я) с области Р на область Р~~Рт. П р и м е р 8. Доказать, что если функция у (з) непрерывна в области /1 ! ( — 1)" Р, содержашей точку я = О, и если у ~ — ) = — длн и = по+1, по + 1,п) п + 2, ..., то у'(я) не аналитична в области Р (по > 1 — целое). а Так как у(с) непрерывна в Р, то на отреаке действительной оси она 1 1 также непрерывна, а в соседних точках х = — и х =, п > пв, она и и+1 принимает значения разных знаков.
Позтому сушествуют точки х„б ( 1 11 б, — ), в которых 1(х„) = О, причем х„-+ О. Следовательно, !и+1 и) в точках х„б Р функции у(я) совпадает с аналитической функцией д(а) = О, а так как у(я) ф О, то у(я) не может быть аналитической функцией. > Пример 9. Доказать, что функция нвляетсн аналитическим продолжением функции у(с) = 1 + 2я + 2'я' + ... + 2ь як + ... 0 Определим область сходнмости рядов длл д(я) и у(я). Имеем — !г<" !пп" = — (! <1 с~в-~-1 3 3.
Степенные рлдьг т, е, ряд длп д(») гходитсп в области Рг — — (»~ Вс» ( 1гг2) (см, задачу 12 143), а рял для ?(») — в области Рт = ( ~ (»! < 1/2). Определим суммы »тих рядов в указанных областях; 1 гг д( ) ( 2 ''') — (1,) ) -1 1 †» 1 г(») = 1 — 2» Так как Р» С Рг и в ооласти Р» справедливо тождество?(») = д(»), то функция д(») лвлястся аналитическим продолжением функции ?(») с области Р» на область Рг.
о. 12.252. Доказать, что при любом а ф О и (а! ~ 1 функциональное уравнение у (») = у'(а») нс имеет решении, аналитического в точке» = О и се окрестности, отличного от у(») = — сопя1. 12.253*. Доказать теорему единственности в том случае, когда гг» е Р д(») = О, т. е. доказать следующую теорему: если аналитическан в области Р функция ?'(») обрашаетсн в нуль в точках (»ь)век, лсжаших в области Р и таких, что )1пг»ь = а Е Р, то Ь-гсо Ч» Е Р у (») = О. 12.254.
Будет ли аналитической в точке» = О и ее окрестности функция ?(»), осли она при всех целых п ) ио удовлетворяет гг11, лп, соотношению ? ~ — ) = яш — '? 1п) 2 Найти аналитические в окрестности точки» = О функции у'(»), удовлетворяющие условиям: /1'1 12.255. у' ( — ) =, п Е И.
п 2п+ 1' 12.256.,? — =,? -- = —, п б Я. (» — 1)" 12.257. Показать, что функция д(») = ~ , является — ~ (2,). гг=о аналитическим продолжением функции у(») = — ~ ( — ) . Найти л=е аналитическое выражение этих функций в общей части областей сходимости рядов. Гл. 12. Ряды и их применение 80 12.258. Показать>что функция (з 1 21)п д( ) = 1п(2+ 27) + ~ ( — 1)"~~ п=1 является аналитическим продолжением функции )'(г) = ОЗ п пз (-1) —.
Найти аналитическое выражение этих функций в и п=! обшей части областей сходимости рядов. 94. Применение степенных рядов 1 1 е=~ —,+ 8=О ' 8= -71 Оценим остаток 1 1 8=8->-1 1 1 ~ 1 < — з (и .1 1) й и> ~ (71 1. 1)ь-и 1 — — и->-1 Ь=п->-1 1 и+1 и. 1 п)71 п+1 п Следовательно, равенство е = ~ — имеет предельную абсолк>тную по8=О 1 1 грешность, равную —. Найдем к, для которого — < 0,00001, нли и!и П>71 8 п!71 > 100000, Получаем п > 8. Вычисляя 2+ ~~ —, и округляя, находим 7=2 ответ с требуемой точностью е = 2, 71828.
с 12.259. Определить, сколько нужно взять членов в разложении функции !п(1+ х),чтобы вычислить 1п2 с точностью до 10 >. 1. Вычисление значений функций. Разложения а) — ж) пз З 3 позволяют получать значения соотвстствуюших функций в заданных точках с любой точностью. Пример 1. Найти число е с точностью до 10 8. а Подставив х = 1 в разложение функции е', имеем з 4. Прнмененне отененных рядов 81 12.260.
Определить, сколы1о нужно взять членов ряда в разложении функции соз х, чтобы вычислить соз 10' с точностью до 10 ". 12.261. С какой предельной абсолютной погрешностью можно вычислить 1/5 ь/36 = (32+ 4)'/5 = 2 1+ -) ) взяв три члена биномиального ряда? .3, 5 12.262.
При каких х многочлен х — — + — дает значение б 120 функции вт х с точностью до 10 4? 12.263. !!авива предельная абсолютнан погрешность равенства х х2 и2+х = и+— 2и 8из при вычислении ь/5? Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значении функций с точностью до 10 4: 1 Я 12.264. ь/ею 12.265. —. 12.266. сйп —. е 5 12.267. е!п12'.
12.268. соз1. 12.269*. з!к!000. 12 270* Л20. 12 271 ъ/Г5. 12 272, ~ъ/700 1 12.273'. !п2. 12.274. згсьб —. ,/3 2В 12 275 /о(0,5). где Уо(х) = ~~) (-1)" 22е (ь!)2 ' о=о 12.276. ой 1. 12.277. сЬ 1. В задачах 12.278-12.287, используя разложения в степенные ряды, требуется составить на фортране подпрограммы-функции для вычисления значений указанных функций с заданной про дельной абсолютной погрешностью. Использовать параметры Х, ЕРЯ, где Х -- аргумент, ЕРЯ вЂ” предельная абсолютнан погрешность. Имена подпрограмм выбрать не совпадающими с именами соответствующих стандартных подпрограмм-функций.
12.278*. у = в!и х. 12.279. у = соз,т,. 12.280*. у = ет. 12.281*. 8 = (1+ х)". 12.282. у = )п(1+ х). 1+х 12.283*. у = !и . 12.284. р = агссйх. 1 — х Гл. 12. Ряды и их применение 82 12.285. у = 1о(х) (см. задачу 12.275). 12.286. у = в!1х. 12.287. у = сЬх. 12.288. Составить на фортране программу решения одной из задач 12.264-12.277, применяя подпрограммы-функции, полученные при решении задач 12.278-12.287.
В программе предусмотреть сравнение результатов, вычисленных с помощью составленной подпрограммы-функции и с помощью стандартной подпрограммы-функции, входящей в библиотеку обязательных подпрограмм. 2. Интегрирование функций. Разлагая подынтегральную функцщо Г11) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить интеграл Я) Й в виде степенного ряда и о подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении х иа интервала сходимости полученного ряда. Р П ример 2. Разложить функцию ~ е ' й в степенной ряд по ств- о пеням х ь х < Используя разложение с = ~ —, получим 2 ы ь=о 12ь ( 1)ь 10 Й=О на всей числовой оси.
Применяя почленнос интегрирование,находим У СО е ~ Ж=~ ( — 1)ь о ь=о "ь.~-1 (2А;+ 1)18 Разложить указанные функции в отененные ряды по степеням х: х 12.289. / г)г. 12.290 Г 1п(1+ 1э) о 12.291. сов 1э ог. 12.292 1 /' а)па 2т/х,/ ьГ1 о Г я1 Д+~з' о 83 З 4. Применение степенных рядов х х Г в1пг 12.293. 8о(г)вй (см. задачу 12.275).
12.294. / — й. о о с точностью до 10 4: Вычислить интегралы о,з 0,2 В задачах 12.301 — 12.305, использун разложения в степенные ряды, составить на фортране подпрограмму-функцию для вычиСления указанных интегралов с заданной предельной абсолютной погрешностью. Параметры: Х, ЕРЯ, где Х вЂ” верхний предел интегрирования, ЕРЯ вЂ” предельная абсолютная погрешность. х х Г 51п1 12.301. Б1(х) = / — й. 12.302.
егух = — е й. Г/ о о 12.303. (1+ г') й(в ) О, с8 ~ О). о Г агс161 Г 1п(1+1) 12.304. / й. 12.305. / й. ./ о о 12.306. Используя подпрограммы-функции, полученные при рсптенин задач 12.301 — 12.305, составить на фортране программу реПтения одной из задач 12.295 — 12.300. 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости. При Нахождении суммы числового ряда вычисляют его частичную сумму, для которой величина остатка ряда не превосходит заданной абсолютной погрешности.
Используя известные разложения в степенные ряды, сумму числового ряда в некоторых случаях можно выразить в виде значения ФУНкции в определенной точке. 12.295. / й Г 1п(1+ Г) о 0,5 12.297. е ' й. о о,в 12.299. о 12.296. / й. Г агссб1 о о,в 22.298. ) А о 1 Г в1пх 12.300. / — 81х. о Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
