341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Указать все конечные особые точки заданных нижс функпий и Впредслить их характср: 12.382.... 12.383. 1 '(з+,)з ' ' ( +ц( цз' 1 Е 12.384. 12.385. В1п Л ' ( + Ц( 2)з(а+1)з' 12.386.... 12.387. ат ч!и (л — 1) ' ("+ 1)з(г' — 1) ' 12 388 ( 4 12.389..1 в!и 2а 18 а — 1 Гл. 12. Ряды и их применение 100 1 12.390. 182 з 12.391. е*-з . 12.394. г — 1 12.39т. 1 е' — 3 1 12.393. Ц вЂ”. х — 1 1 12.392. сов —. а+ 21 1 — сов з 12.395. в)па 12.396. —. зв Длн заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной): д2 Ззв — бз + 2 12'398' 2 ' 12'399 5 — 2з2 з2+ г — 4 12.401.
1 — я+ 2г2. 12.402. е '. 12.404. е + 2з2 — 5. 12.405. е*т. 12.407. е 2'+ Ззз — а+ 8. 12.400. ' 1 — Зз4' 12.403. сов з. 1 12.406. ез-~ . 1 выч (у(я); яо) = с г = — у(п) Йп, 2пг ~ч- о~=я Если го — — со — изолированная особая точка функции у(г), то 1 / выч(у(я); со) = — / у(П) щ 2пи' / 36. Вычеты и их применение 1. Вычет функции и его вычисление.
Если функция у (я) аналитична в некоторой окрестности точки го, за исключением, может быть, самой точки яо, то вычетлом функции у(г) относительно точки яо, обозначаемым гев [у(я); го), или выч (у(г); зо], называется число, равное значению 1 интеграла — / ((ц) ф, где С вЂ” некоторый простой замкнутый кон2пг,/ с тур, лежащий в области аналитичности у(г) и содержащий внутри себя только одну особую точку го.
В качестве С удобно брать окружность ( — го) = р достаточно малого радиуса р. Вычст функции совпадает с коэффициентом с 1 разложения у(г) в ряд Лорана по степеням я — яо, т.е. Э 6. Вычеты и нх применение 101 где Сн = (4 ]г1) = Л], В достаточно велико и обход контУРа — по часовой стрелке. Заметим, что если у(а) = ~~~ с„а", т <]а~ <+ос, св = —, / — дО, и =О, ~1, ..., 1 У ПЮ) 2л1 / Оп+г ~Чаев> то выч [Да); оо] = — с и Если ао — полюс 1-го порядка функции у[а), то выл [у[а); ао] = Пгп (а — ао)у[а), причем если у(г) представима в виде да) = —, тле Ф(ао) Ф 0> уэ(ао) = М) И)' = О, ф'(ао) ф О, то выч [у(г); ао] = —. ~Р(ао) Ф'(ао) Если «о — полюс порядка гп > 2 функции у'(а), то и'"-'И -")-и )) выч [у[а); го] =, 1пп е$' Пример 1.
Найти выч; 31 . 0 Так как точка ао — — 31 является полюсом 1-го порядка, то е" е" е~ 3' выч —; Зг~ = )пп (а — 31), . — —,. с [аэ+ 9' ~ з' (а+ 31)(а — Зз) 61 беэ соа 2а Пример 2. Найти выч; 1 . чЭ Точка ао — — 1 является полюсом 3-го прядка, поэтому ~ соа2а ) 1, ~Р / э соа2э '1 выч ~; 1~ = — 1нп — (а — 1)э ( = ] (а — 1)э ' ~ 2! -+~ Ыаэ [, (а — 1)э ( 1 = — 1пп ( — 2эсоа2а) = — 2соа2.
~> 2 -) Гл. 12. Ряды и их прихюиснис 102 1 Л ример 3. Найти выч (е*-~; 2~. 2 Точка хс —— 2 пвлпстсн сУщсствснно особой, позтомУ длп нахождениа вычста найдем коэффициент с Г раалол ения с*-' в рлд лорана по Гтспснпм я — 2. Так как .л 3 1/ 3 е:-- "= 1 + — + — (х — +..., О < ! — 2~ < +со, х — 2 2! ~,с — 2/ то с 1 — — 3.
Слсдозатсльно, выч (е:-~; 2~ = 3. с Найти вычеты указанных нижс функций относительно каждого из ес полюсов, отличных от оо: з +1 2 12.408.— 12.409. и — 2 ( '+1)' 2п 1 12.410. и ' и Е Гч. 12.411. (П 1)п' ' ' ' ПЗ( 2+4)2 12'412' г ' 12'413 1 1 в(1 с2х)' и!п я —— 2 зГп2п зГп 22 12.414... 12.415. ( 2) 12.416. г г . 12.417. Ц л. 12.418. с18г а.
12.419. 2(вг + 9)' ' ' ' ' ' ' ' аз 2 1 12.420., 12.421. гг(п — 1) ' з(1 — зг)' 12.422.. 12.423. 1 г з ' ' ( 2)з Найти вычеты функций относительно точки ао = О: Г 1 1 12.424. с . 12.425. соз —. 12.426. зш Найти вычсты функций относитсльно точки ло = оо: 1 1 ЗГП П 12.427. зш —. 12.428., г . 12.429*. цг( г+ц' ' ' гг+9' ал + 2 2 7Г 2 12.430. з . 12.431. з соз~ —.
12.432. зш —. з х — 1 з З 6. Вычеты я их применение 103 2. Теорема о вычетах и их применение и вычислению ионтурных интегралов. Первая теорема о вычетах. Если ууункиил Дг) аналитична в обласгпи Б, за исключением изолированных особых гяочск гы гз, ..., гк, лежащих в атой области., то длл любого простого замкнутого контура С С В, охватывающего точки гы гю ..., гк, Дг1) сй1 = 2к1 ~~г выч [Дг); гь).
сь | с=1 Вторая теорема о вычетах. Если Дг) аналитична во всей комплексной плоскосгаи, за исключением изолированных особых точегсгыгз,...,гк г игл =ос,то вычла); гь) = О. ыы Г ез Пример 4. Вычислить интеграл~ — бг, где С = Ц [г[ = 3). ге+4 с~- 0 Тан кан внутри контура С находятся две особые тачки подынтегральной функции — полюсы 1-го порядка гг з — — х21, то, применяя первую теорему о вычетах, можем записать — гЬ = 2кг' выч —; 21 +выч,; — 21 с = 2кг' — + — = 2кг' = — (ез' — е з') = кг'сйп 2 = к вЬ 26 г 2 Пример 5.
Вычислить интеграл бг го+1' !4=г 1 з Подынтегральная функция 1(г) = имеет десять особых того+1 иг -г11 чен гь = егг, к = О, 1, ..., 9, являюшихся простыми полюсами, Гл. 12. Ряды и их применение 104 1 — —,+ — —... 1 1 1о я1а ( 1 1 1 — — — + — —..., 1< (г! <+со, з10 220 ззо 1 то — с 1 =выч ; оо = О. Поэтому, применяя вторую теорему о 1о.Ь1' вычетах, можем записать, что Таким образом, 1 гзам~н) Х=2хг~ выч; е и ~ =О.
[> ~ 1о+1' ь=о Используя теорему о вычетах, вычислить следующие инте- гралы дз 12.433. / —, где С = (з) !г — Ц = Ц. ./. +1 сзНз 12.434. / , где С = 1з) (з — 2! 1 (г — 1)(з — 2)' сч. е' ~Ь 12.436. / з з, где С = 1з))з! = Ц. 3 (з + 9) с+ Г з1п з 12.436*. / сЬ, где С = 1з! !г! = 41. /, „О с+ дз 12.437., где С = Ц )з! сь ральное число и О < )а~ < 1 < )Ь!. = Ц, и — нату. лежащими на единичной окружности.
Так как разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид 105 3 6. Вычеты и их применение 12.438'., где С = 1х()х( = Ц, п — — натудг (г — а)" 12 — 6)" с+ ральное число и 0 < ~а! < )5~ < 1. 1 12.439. згп — дх, где С = Ц ~х! = т > О). сч- 12.440. гЬ , где С = (х( )2( = Л < Ц. ( — 1)2122 + 1)' с+ 12.441. / ~Ь, где С = Ц)х! = 4).
Г 2+1 / "+1 с+ п 12.442. згп — ) На, и Е 14. (я)=п г Г 1 — е 12.443. хне= сЬ, и Е И, 12.444. / 2, сЬ. (г(=Я )г-1(=2 22 1 Е' 1Ь 12.446... 12.446. З1П Х СОЗ Х 2+22+ ~4=5 /г-6=1 гг 12.447. згп — + е' соз х 112. 22 (г(=1 23 4 12.448. х 18 а х Йх. 12.449. / ,/ 2хг + 1 )г)=1 )г(=1 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. г. а) Интегралы вида / Л(агах, сов х) Ых, где Я вЂ” символ рациональо ной функции, с помешаю замены х = е" приводитсн к контурным интегралам от рациональных относительно х функций.
П р и м е р 6. Вычислить интеграл Пуассона г' 4х ,/ 1 — 2рсозх+рг' о Гл. 12. Ряды и их применение 106 егв + е-юх З Производя замену х = ег* гЬ = 1е'* ггх = ге г(х, сов х = 1 Е+ 2 = — = —, получаем г 2 2з гЬ гг г(х У(р) = = -1 г а+1 ( у г+ га+ ~.~=г гх (1-Р +Рт) р1=г / ~.~= Р( -Р) 2яг~ 1(р) = — выч р Р ( -Р) Р2 ' а если (Р) > 1, то 2ягт У(Р) = — выч р 1 1 2х Р2 Таким образом, 2я — при (р~ < 1, рт 2я при )р! > 1.
с Р2 1(Р) = ьОО б) Интегралы вида У(х)г(х, где ((х) — функция, непрерывная на ( — оо, +ос), аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением конечного члена особых точек хг, гз, ..., зьг, лежаших в конечной части верхней полуплоскости, и удовлетворяюшая для достаточно больших ~г~ условию (у(х)( ( — га, М > О, б > О.
М Так как при любом р, )р! ф 1, внутри круга Ц < 1 находится только один корень знаменателя подынтегральной функции, то при )р( < 1 имеем: э 6. Вычеты и их применение 107 В этом случае -ь ээ л у(г) Пх = 2п! ~ выч (у(г); г!.). ь=! ог Пример 7. Вычислить интеграл ( г4 0)г' 1 э В верхней полуплоскости функция у(г) = имеет один полюс ( г 4.0)г Л! 2-го порядка в точке го — — 3!, и у(г) ( — для достаточно больших ф. 14" Поэтому = 2п! — ~(г — 3!),, ) = 2п! — ~ с(г 1, (ге+9) ) . э! Пг ~,(г+3!)г/ 4я! 44п!' — — — !> (г+ 3!)э =з! (6!)э 54' Замечание.
Формула (Ц справедлива и в том случае, когда функция у(г) имеет вид у'(г) = ец'-Е(г), где о > О, а функция Г(г) аналитична на действительной оси, в верхней полуплоскости имеет лишь конечное число особых точек г!. гг, ..., гм и 1!и! Р'(г) = О. ганди П р и м с р 8. Вычислить инт!трал 1 г, Их. у гг — 2г+10 о Подынтсгральная функция является мнимой частью функции ген , значение которой совпадают со значениями на дсйствитсльгг — 2г+ 10' ной оси функции у(г) = е', (1>ункция Е(г) = гг — 2г + 10 гг — 2г + 10 имеет в верхней полуплоскости полюс 1-го порядка в точке гс — — 1 + 3! и !ш! Г(г) = О, т, с, выполнены сфорыулированн!,!с в замечании условия, Гл. 12. Ряды и их применение 108 а потому можем записать: 1= хе™ ае" дх = 2тп'выч з; 1+ 31 хз — 2х+ 10 ~яз — 2ю+ 10' (1+ 31)е' ' ' л(1+31)е зж 2(1+ 31 — 1) 3 = -е з(соз1 — Зып1+1(3соз1+ з1п1)).
3 Таким образом, /- -1- хз1пх хе'* ге з дх = 1пт ( Йх = — (Зсоз1+з1п1). хз — 2х + 10 ./ хз — 2х + 10 3 Заметим, что одновременно мы вычислили интеграл ч-ОО ьОО х сов х хегл зе з 6х = Ве / 4х = — (соз1 — Зз!п1). > хз — 2х + 10 / хз — 2х+ 10 3 Используя один из рассмотренных выше методов, вычислить определенные интегралы: 2л 12.450. ~ дх , а > 1. ,/ а+ созх о зл дх 12.451., а) Ь) О.
./ (а+ Ьсозх)з' о 2л созз Зх 12.452. с(х, а > 1. у 1 — 2асозх+ аз о зл сов х Нх 12453, 0 < а < 1. у 1 — 2аз(их+ аз' о г 6. Вычеты и их применение 109 хссах 12.464. / е(х / хг ге Г япгхдх 12.454. /, а > Ь > О. ./ а+ Ьсозх' о 12.455. сй8 (х — а) Ых, 1т а > О. о +СО .~. 00 Г хг-~1 Их 12,456. / дх. 12'451' / г и Е / х4 '/ (г41) йх 12.458. г г, а > О, Ь > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
