341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4хуп+ 2у'+ у = О. 3 Уравнение и функции Бесселя. Частным случаем уравненин (6), вовффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 2, является УРавнение Бесселя (8) хгун г ху' ~ (хг нг)у = О, Гл. 12. Ряды и ях применение Его решениями являются цилиндрические функции Бесселя первого ро- да порядка и (-')'" (9 (*)=:*Е(-) )(.,1)(.„) (.,„) и для нецелых и (.)х-я, ~2) 1 1- (*)=ао * ~~',( 1) ~~(1 )( ) (1 ). (О) а=о Если же и — целое число, и = п, то вторым частным решением уравне- ния Бесселя (8) является функция Неймана (или Вебера), определяемая из соотношения 1 (х) соа ит — 1 (х) У„(х) =!йп и->и а!и ия являющаяся цилиндрической функцией второго рода порядка я. Посто- янная ае" в формулах (9) и (10) берется обычно следуюшая: а! ! = О 2РГ(и + 1) где Г(и) = е *х" ~ дх — гамма-функция Эйлера.
о — (х 1,(х)) = х'1 ~(х), (12) (1 ( 1,(х) ~ 1,+!(х) <Ц~ 1 хи / хи (13) 12.336. Исходя из соотношений (12) и (13), вывести соотноше- ния 2и 1 -!(х) + 1 -н(х) = — 1 (х) 1 !(х) — 1 ~ь~(х) = 2~1(х). 12.335. Используя представление (9) для 1,(х), доказать следующие соотношения: 5. Ряды Лорана 93 12.337*.
Используя представление (9) и значение ао из (11), выразить 1 2~2(х) и 12~2(х) через элементарные функции. 12.338. Доказать, что если 1Дх) — решение уравнения (8), то 1о(ах) является решением уравнения х ун + ху'+ (сь х — и )у = О. (14) Записать общее решение уравнения (14). Используя результат задачи 12.338, найти общие решения уравнений: 12.339. хун + у'+ 4ху = О. 12.340.
9хэуо + 9ху'+ (Збхэ — 1)у = О. 12.341. хэуо + ху' + (Зхэ — 4)у = О. 1 2 12.342. хэуо + ху'+ 9хэ — — ) у = О. 251 3 б. Ряды Лорана 1. Ряды Лорана. Теорема Лорана. Рядом Лорана называется ряд Сп(2 — эв)п; и=-ьь при этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд 12(2) = ~л~ сп(2 20) п=о ' — правильной частью.
Если 1 Вт 1/)с „(=с<В= 1пп ~/)с„( и-Кю то областью сходимости ряда (1) является кольцо К = (2~0 < г < < )2 — вр! < В). В этом кольце к сумма ряда 1(2) = 12(2) + 12(2) Гл. 12. Ряды и их применение 94 является функцией аналитической, причем коэффициенты ряда сп свя- заны с функцией у(г) посредством формул сп = — / Г У(9) 1111, я = О, ~1, ..., (2) 2л1,1 (й — эо)" е1 1О-:о1ь и где г < г' < В.
Пример 1. Найти область сходимости и сумму ряда Лорана п(а — 1)' ~ 2п(я 1)п+1 и ~ Зп +7 п=1 =1 З Применяя признак Коши к каждому из этих слагаемых, имеем и 1 !цп <1 и +по 2п1а 11п1-1 я1з — Ц~ 1 я — 1 !пп — — < 1. и-п00 3" 3 Отсюда заключаем, что областью сходимости исходного ряда является кольцо К = (э11/2 < 1г — 1~ < 3). Замечая, что слагаемые являются производными от рядов ( 1)п Е 2п(, 1)п с , Зп и п=о п=о можем записать, что в кольце К ( 1)п — 1 (и' я Е 2п(, 1)п-11 и Зп — 1 Е, 2п(, 1)п / п=1 п=1 п=о ~'*'~ ...
(.)= — ('3')' 3 2 = — 2 + — = + 2я — 3/ ~,4 — з/ (4 — я)э (2я — 3)э 3 5. Рлды Лорана 95 Такиул образом, суммой данного ряда является функпип 3 2 1 у(г) — г+,, <~г Ц<3. с Тсорелуа Лорана. Если фрннцил Дг) аналтцггчна в кольце. П < г < )г — гс! < эг. то в зтвлу кольце вна едннтгувснным образом оредставилуа в виде рлу)гу Лоргунгл Дг) = ~~ с„(г — гв)", П= — ОО коэбэг)уициг нты нотоувео вычислльэтсл пв формулам (2).
С~3 у Следствие. Пусть 11г) аналитична в циогосвлзной области Л, ограниченной контуром Г и внутренними контурами у,, .у,, ..., у„, (рис. 2). Если точка гв леувит внутри (или на границе) одного нз внУтРенних контУРов бл и величина г = пэзх )го — Ц( меньше гуе 'у расстоянии гг от гс до остальной части границы области 0 или до точки, вкоторой у(г) нс аналитична, т.с. О < г = уууах ~го — у1~ < ль = пэш ~го — уД, ВЕ "г Паси ууы.. ну уиг .у~УЭ...УЭЭ У(г) = ~ ~сп(гс)(г — гв)", г < ~г — г~~ < Л, коэффициенты которого суу(го) опрсдсллютсп по формулам (2). Радам Лорана для функпии Дг) в охрестнотлн тв тгу г = сс нааывастсп рнд у(г) = ~~~ спг или ~ сгууг — г4 П= — ~ П= — ОО (3) в некотором кольце г < (=! < +ос 1соотвстствснно < +ос), прц атом главной частьуо ряда Лорана лвллется сходлщийся < ) г — гу~ рлд ~~' с,г с е (г — а)п, а правильной — Рлд П=! в у в с„(г — а) П= — ОО П= — ОО то в кольце г < ~г — гуэ! < Л фуш.пия Дг) может быть представлена ее рядом Лорана Пл.
12. Ряды и их применение Пример 2. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию у(г) = 1 г(1 — г) а Так как аналитичность функции нарушается в точках г = О и г = 1. то областью сходимости ряда Лорана будет кольцо О < !г( < 1. Зал2ечая, 1 по при я < — 2 функция аналитична в крут! !2( < р < 1, гвег(1 ) можем записать, что 1 ! 1 с(а=О для п= — 2, — 3, 2х! „/ г"+2(1 — г) 1 Далее, применяя формулу Коши для функции р(г) = — и се произ- 1 — г водных, для и > — 1 можем записать 1 / 'т.(г) 'т2" ' (О) 1 (Я+ 1)! 2х1 / г"'!2 (и+ 1)! (и+ 1)! (1 — г)" ьг .
о Таким образом, для О < (г( < 1 Пг) =,(, „) =,-+,'.', 1 1 тт=е т.е. главная часть содержит один член, а правильная —. бесконечно! число членов. С Вычисление контурных интегралов (2), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются искусственные приемы, Так, в примере 2 функцию у" (г) можно было бы представить в виде суммы дробей, т, с. причем первое слагаемое является уже рааложением в ряд Лорана по степеням г, а второе слагаемое есть сумл!а геометрической прогрессия со знамонателем г, т.
е. имеем разложение (4). Найти области сходимости и суммы следующих рядов: 1 нттт2тт 12.343. ~ . 12.344. ~ тт=с я=! -я-!-з 12.345. ~, . 12.346. ~ (и+ 1)2'"~ (г — !)". я=о я = — ОО 3 5. Рлды Лорана 97 Найти области сходимости рядов 12.347. + с;-( ( (х + 1)2п 4п2 ~,,2п(я+ 1) Зп(з+,)и п=1 12.348. ~~ + / (г — 21)" я2и '~"~ ~ Зи(яз + 1) (е 21)и и=1 00 l 2я+ 1 12.349. ~ — 12 350 ~~), 1 яихи 1,4я(з+ 1),~ и=1 и=1 12.и1. у ( — ) и=1 иья — 4х 2 371 соз во — 2 2)2 ' 2 12.370. взел, зо = оо.
Найти все разложения указанных функций в ряды Лорана по степеням г — го и установить области сходимости полученных разложений: 1 1 12.352. , зо = 1. 12.353*, зо = оо. (~ 1) г(г — 1) 1 1 12 354 хо=2 12 355,, хо= — 3. (х — 2)(г + 3)' (г — 2)(г + 3)' 1 я+1 12.356., го = оо. 12.357. з, хо = 1. зз — 4' юз — Зз + 2 г + 1 12.358. з 2, зо = 2. 12.359". з ~ га = ж. юз — Зх + 2' зз — 2з + 1 4 12360 зо = — 1 12361 з, зо = сю. + 1)з ' ' ( + 1)з 12 362 ео =1. 12.363, зо = оо. гз+1' 1 12.364*., зо = г.
12.365*..., хо = оо. (з + 1) (х + 1) соз з соз г 12.366. —., зо — — О. 12.367. —,, хо = оо. 3 3 1 г =- 12.368. з1п, зо = 2 12.369. з е, го = 0 х — 2' 98 Гл. 12. Ряды и нх применение а+1 12.373. , во=( гз+ 2г — 8 !пп Да)=а~ос; ь — > 'о 1 полюсок порядка гп > 1, если для функции д(в) = точка го Па) является нулем порядка гп, т,е. д(г) имеет вид д(з) = (г — го)'"д(г). д(ло) ф. О (очевидно, что если го — полюс, то !пп у(г) = ос); ?->ьо суп!ественио особой, если !пп Дз) не существует. 2->ьа Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удобнее 1 проводить путем замены г = —, с помощью которой бесконечно удаленц' ная точка з = оо переходит в точку й = О.
Пример 3. Найти все особые точки функции У()= 1 е ° +1 и определить их характер. 1 12.372. —, го = 1. 2 (зэ + 4)(з' + 1)' 1 12.375. э э зо = О. 12.376. Найти три первых члена разлогдения функции Дз) = 1 = з)п в ряд Лорана в окрестности точки зо = со. Какова 1 — г область сходимости этого ряда? 2. Характер изолированных особых точек. Точка го называется правильной точкой для аналитической в области Р функции у'(г), если существует степенной ряд у с„(зе)(а — го)" с радиусом сходимости ь=е г(зе) > О такой, что в общей части круга сходимости (з — ге( < г(зо) и области Р сумма этого ряда ~р„(г) совпадает с у(г). Точки, не являющиеся правильными, называются особыми.
Точка го называется изолированной особой точкой функции у( ), если Дз) — однозначная аналитическая функция в кольце О < )а — го( < < В, а го — особая точка. Аналогично, точка го = оо называется изолированной особой точкой функции у'(г), если ((г) — однозначная аналитическая функция в кольце т < )г( < оо и з = со — особая точка. Изолированная особая точка го функции г'(г) называется: устранимой особой точкой, если существует конечный предел ~5, Ряды „7о1юна ,З Особыми то пюми пвлянлса точка: = О и то пщ, в которых жьчмскатсль обряшаетгя в нуль.
Имссм от+ 1 = О и с: = -1 = ст™з"', т.с. с' +1 = О, ссли — == !й — (2гп + 1)хг', гп б К, причсм чти то'и и явлаклсл нулями 1-го порядка. 1 Следовательно, в точках л„, = , щ Е У, функции 7(х) имсст (2гп + 1)хг' полюсы 1-го порндка. Точка л = О ис авлнстсп изолированной особой точкой, так как она пале тся прсдслом полкюов, ибо !пп =„, = О, ~> П! — > О: 12.377'. Доказатгч что отсутствиг в разложспии (1) главной части, т.с, равенство пулю всех коаффициснтов с„с отрицательными поморами (и = — 1, — 2, ...
), явлпстся необходимым и доСтаточным условием того. что точка хо пвлпстсн устранимой особой точкой функции 7(х). 12.378*. Доказать, что наличие в главной части рачложсния *,(1) не болсс ис > 1 членов, причсм с,„, ф О, а с „= 0 длп и > г~ т + 1, есть нсобходимос и достаточное условие того, что точка '~о авлпстсп полкзсом порпдка ги для функции 7(г). 12.379*. Докачатзо что если хо — гущсствснно особая точка функции 7'(х), то сущсствует послсдоватсльность точск (вп), х!щ ап = хо, такая, что 1пп )'(гк) = сс.
'Ф ФОО ч — ~во 12.380'. Опираясь на результат задачи 12.379, доказать, что если хо — сущсственно особаа точка функции 7'(х), то для любого комплексного числа А ф оо существует послсдоватсльность точек )(дв(А)), 1ип гп(А) = ао, такая, что !ип 7'(яп(А)) = А. и -> Оо 3 1 — ~ Оо 12.381. Установить области сходимости правильной и главной Мастей разложении Дорона (3) в окрестности бссконсчно удалснной Мочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
