341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 15
Текст из файла (страница 15)
( г + аг) (хг + Ьг) ' о 12.459. / г г, а > О. / (хг .1 аг)г ' о хдх Г х4+1 12.460, 12.461. / е ах. ,/ (хг+ 4х+ 13)г / хе+ 1 Г х4 е(х 12.462. / г ~, а > О, Ь > О. / (а+ Ьхг)4 12.463. дх. * хг+4х+20 12.465., дх, а > О, Ь > О. ( хг1Ьг о .~-СЮ +СО 12.466. (х+ 1) е4п2х Г (хо + 5х) впх дх. 12.467.
/ <Ь. хг + 2х + 2 ,/ х~ + 10хг + 9 Г (2хг + 13х) 12.468. / 4 г япхах. / х4 + 13х' + 36 Гл. 12. Рады и их примените 110 ,/ х'+бхт+ 1 соа х 12.469. / >)хл /,.2 о ,/ 3 1>(г)=з (1 — —,+ — )., г з]: (2) то очевидно, гго при обходе точкой г контура С>г против часовой стрелки агй- получает приращение х, а потол>у агд(хз) получит приращение Зт. (Сп отображаетсн в кривую и> = Л~е'о, — Зх/2 <»> < Зп/2). Так как второй гомножнтель в (2) длн достаточно больших Л близок к 1. то н приращение аргумента етого множителя мало.
Пусп теперь г = Л, т.е. точка з движется по л>нил>ой оси от точки сЛ до точки — 1Л. Тогда и=1, и= -1з — Зй р(>2) = и+ й> = 1 — >(л~+ Зг), т.е. Это означает, что при изменении Г от Л до — Л при Л вЂ” > +ос агеу>(гц) изменяетсн на х (от -х/2 до х/2). Таким об>разом, общее приращение агйр(г) при обходе контура равно 4х, а ато означает, что г>> = 2, т, е. в правой полуплоскостп многочлен р(г) = гз — Зг + 1 имеет два нулл. С Длн данных многочлснов найти колич> ство корней, лелгаших в правой полуплогкости: 12.471*.
р(з) = зз + 2хз + Зз~ + - + 2. 12.472. р(з) = 2х" — Зхз + Зз~ — з + 1. 12.4ТЗ. р(в) = з' + хз + 4х~ + 2з + 3. 12.474'. Доказать> что если функции /(з) и р(з) аналитичны в замкнутой области 0 = Р+ Г и для точек» е Г справедливо неравенство ]р(>1)] < ]/(Л)], то число нулей функции Р(д) = / (а) + + д(х).
лежащих в ооласти 1г', совпадает с числом нулей функции /(з) (теорема Рушс). 4. Принцип аргумента. Пусть функцнн /(г) в области 1>, ограни >анной простым замкнутым контуром С. имеет конечное число М нулей ц конечное число Р полюсов, где каждый нуль и каждый полюс считак>тел столько раз, какова их кратность, причем на контуре С не имеет нн нулей, ни полюсов. Тогда разность ь> = Х вЂ” Р равна числу оборотов радиус-вектора ю = /(с) прн обходе точкой г контура С.
Если /(г) — - аналитическая в г> функция, то Р = 0 и ы = г>>. Пример 9. Найти число нулей многочлена р(х) = гз — Зх+ 1, лежащих в правой полуплоскости. з Рассмотрим контур С, состонщнй иа полуокружности Сп радиуса Л, лежащей в правой полуплоскости, и отрезка мнпмой осн ] — >Л, 1Л], и длн достаточно большого Л применим к атому контуру принцип аргумента. Так как з 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 12.475*. Доказать основную теорему высшей алгебрьк много- член р„(г) = ного+ агх" '+ +а„степени и имеет в плоскости (х) точно и нулей.
Опираясь на теорему Рушс (задачз 12А74), найти число нулей данных функций в указанных областях: 12.476*. Г(г) = ге + 2гт+ 8г+1: з) в круге ]х] < 1; б) в кольце 1<]х]<2. 12.477, Р(з) = гз — 5х+ 1: а) в круге ]х] < 1; б) в кольце 1 < ]х] < 2: в) в кольце 2 < ]х] < 3. 87. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическая система функций 1, совх, в1пх, сов 2х, ящ2х, ..., сових, в1п нх, ... является ортогональной на отрезке ] — и, х] (квк, впрочем, и на всяком отрезке длины 2х), т.е.
интеграл по етому отрезку от произведения любых двух различных функций втой системы равен нулю. Если Г(х) 6 Е( — х, х) (т.е. ]Г(х)]йх < +сю), то существуют -х числа 1 Г 1 аь = — / э'(х)совЬхпх, Ьь = — / т'(х)в1пйхох, Ь = О, 1, ..., называемые коэффициентом Фурье функции Г(х); ряд э'(х) = — + ~ ~(оьсояйх+Ььв|пйх) оо 2 ь — — 1 называется рядом Фурье функции у" (х). Члены ряда (1) можно записать в виле гармоник аь сов йх+ Ьь сдпг = Лесов(lсх — Чц) Ь„ с амплитрдой Аь = ~/а~ + Ьэ~, частотой ыь = Ь н фазой Уь — — агссб —. аь Для функции Г(х) такой, что у~(х) е х ( — х, х), справедливо равенсгпао Парсееалх Л о2 СΠ— / Г~(х)~Гх = — о+ ~(о~ь+ Ьь). ту 2 в=1 Гл. 12.
Ряды и их применение 112 / Если же /(х) й Г ~ — —, -), то коэффициенты Фурье записываются 2' 2)' в виде !,!2 2кйх 2 Г 2к/сх /(х) соэ — дх, Д = — ) /(х) э!п дх, (2) 1) -гзз суз с!ь=( -!Гг а ряд Фурье — в виде с!о Г 2к(сх 2~йх!! !а ь* Я(х) = — + ~~! 1 сьь соэ — + Д,. э1п — ) = ~ Сье! ~ . (3) 2 1, ' 1 ' 1 ) !=! Ь=-ьь Последний ряд называется рядом Фурье в комплексной форме. Здесь суг 1 2 ь* се= — ) /(х)е ' т дх, Й=О,х1,..., -1) -! /2 идляй)0 1 + ОΠ— (/(х + О) + /(х — О)) = у све! 2 (4) Вели, дополнительно, /(х) непрерывна на всей оси, то ряд (4) сходится к /(х) равнольсрно. П р и м е р 1.
Разложить в ряд Фурье функцию /(х) = э!якх, — а. < х < к, и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница ( 1)ь Л~-' 2п + 1 оь — гДь сгь + Щ сь = 2 ' 2 с ь= = сь. Суммы рядов (1) и (3) имеют соответственно периоды 2к и 1. Функция /(х) называется кусочно гладкой на отрезке (а, Ь], если сама функция /(х) и ее производная /'(х) имеют на [а, Ь] конечное число точек разрыва 1-го рода. Теорема.
Если периодическая функция/(х) с периодом1 кусочно гладка на отрезке ] — 1/2, 1/2], то ряд Фурье (3) сходится к значению /(х) в каждой ее точке нспрсрывностпи и к значению (/(х+ О) + + /(х — О))/2 в точке разрыва, т, е. Э 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье э Так как функция нечетная, то (см. задачу 12.479) ал,=О, 9=0,1, !! 2 2 Г сових! 1 5е — — — )! ядггхяпихдх = — ( —— л л и о е 2 = — (1 — сов ил) = ли 4 при и =2т — 1, л(2т — 1) и Е г'!. 0 при и=2т, Следовательно, при — л < х < л 4 т яп(2т — 1)х ядпх = — ~ !г~ 2т — 1 п~=! откуда прн х = л/2 получаем 4 ( — 1) !и+! 1= — 7 !г "-, 2т — 1 ' т.е.
(-1)"' л '~ 2т+1 4 12.478. Доказать, что если /(х) имеет период 1, то при любом ее К а-Н гуг /(х) г(х = /(х) ггх = /(х) ггх. о -гуг 12.479. Записать выражении коэффициентов Фурье (2) длп чет- ной и нечетной функций на ( — 1/2, 1/2). Разложить периодическую с периодом 1 функцию в ряд Фурье, построить графики его первых частичных сумм Яо(х), 8г(х), Яэ(х) и Яз(х) и найти значение Я(хо) суммы полученного Ряда в заданной точке хе. 1 при 0<х<!г, 12.480. /(х) = ~ 1 = 2л, хо = л. 0 при — л<х<0, 114 Гл.
12. Рлды и их применение 12.481. ~(х) = при О < х < 2х, 1 = 2х, хо = —. 2 2 12.482. г" (х) = ф при х Е ( — 1, 1), ( = 2, хо = 1. Разложить в ряд Фурье следующие функции периода 1: 12 483. г" (х) = ) сов х(, — эг < х < х; 1 = 2;г. 12.484. ~(~) = хг, — ~ < * < л;! = 2эг.
à — 1, — т<х<О, 12.485. ~(х) = ~ ' ' 1 = 2т. 1, 0<х<т; 12.486. у (и) = ) в1п х(, — и < х < х; 1 = 2х. 12.487. у (х) = 2т, О < х < 1; 1 = 1. 12.488. ~(х) = 10 — х, 5 < х < 15; 1 = 10. 12.489. у (х) = нэпах, — х < х < х, 1 = 2эг. 12.490.
у (х) = сов ах, — эг < х < х, ( = 2х. 12.491. у (х) = в1эах, — х < х < л, 1 = 2л. 12.492. у (х) = сЬ ах., — и < х < эг, 1 = 2и. Доопределяя необходимым образом заданную в промежутке (О, а) функцию до периодической, получить для нее: а) ряд Фурье по косинусам, б) ряд Фурье по синусам.
12.493. г" (х) = е*, т, Е (О, 1п2). 12 495 у (х) = 12.496. )'(х) = хвэпх, х б (О,х). 12.497. у"(х) = ггг, х Е (О, 1). 12.498. г" (х) = х+ —, х Е (О, л). 12.499. 1(х) = — — т,, х Е (О, и). 12.500. у(х) = х, х Е (О, 1). 12.501. Используя рпд Фурье, полученный ээ задаче 12.482, найти суммы следующих рядов: 1,~ ь 21+1 ~-' (2гэ+ 1)г: .~., (41+ 1)г(4й+ 3)з 12.502. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12А97, найти сумму ряда ~~э ( — 1) ь-~-1 1 в=э 7. Ряды Фьу!ье. Интеграл Фурье 115 12.503.
Используя равенство Парсеваля для функции задачи 1 12.481, найти сумму ряда ~ —.. 7! и=! 12.504*. Зная выражение ядри Дирихле 2п+ 1 я ьш х 2 7!„(;г) = — + ~ сов/сх = 2 2в!и— 2 найти выражение ядра Фейсра У„(х): У„(х) = ,'! ь ь(х) = — + ~~> ( 1 — сов /сх. и+1 2 ~, и+1/ 12.505. Используя равенство Парсеваля для функции задачи 1 12.484, найти сумму ряда 7 и!' и=! 12.506.
Зная выражение для ядра Дирихле (см. задачу 12.504), получить интегральное представление для частных сумм Я„(7', х) = — + ~~> (аь совях+ бе в!пьх) оо 2 ь=! ряда Фурье функции 7'(х) периода 2я. 12.507. Зная вырахсение для ядра Фейера (см, задачу 12.504), получить интегральное представление сумм Фейера ст„()', х) = ~~! Яь(г", т) 1 ь=о функции 7(х) периода 2л.
12.508**. Используя полученное в задаче 12.507 выражение для сумм Фейера о„(7', т), показать, что для непрерывной на оси функции 7'(х) в каждой точке х Е [ — я, я] справедливо соотношение (У, ) =Х( ). Гл. 12. Ряды и нх применение 116 2. Двойные ряды Фурье. Если функция /!х, у) имеет период ! по переменной х, период Ь по переменной у, непрерывна и имеет непред/ д/ дт/ рывные частные производные —, — и — в прямоугольнике К = дх' ду дхду = !(х, у)~ — 1/2 < х < 1/2, — Ь/2 < у < Ь/2), то /!х, у) представима двойным рядом Фурье / 2итх 2тпу 11х, у) = ~ Л„,„~ач, „соя — соя — + Ь та,а=о 2итх 2тиу 2итх, 2я пу + б,„я!и — соя — + с „соя — ап — + Ь '" ! Ь 2итх, 2тпу'! + Ы, я!и — я!и' — ) та ! Ь )~ где 1/4 при т = и = О, Л,„= 1/2 при т>0, я=О или т=О, п>0, 1 при т>О, п>0 иприт>О,п>0 4 Г Г 2птх 2ипу а~,„= — д /!х, у) соя — соя — Нхду, 1Ь)/' ' ! Ь 4 Г Г, 2ттх 2тну б,,„= — )) /!х, у) я!и — соя — с)хе)у, 1ЬЛ ' ! Ь 4 ГГ 2птх .
2апу с,„= — / 1 /(х, у) соя — ап — дх ф, 1Ь// ' 1 Ь 4 Г Г, 2ттх, 2ипу И,„= — д /1х, у) ап — я!и — дхду, !ЬП ' ! Ь В комплексной форме ряд Фурье для /!х, у) записывается в виде .ь го /(х, у) = ~~' стпе где с„,,„= — /1х, у)е "~ ' ') ахну, т, и е Ж. к з 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 117 1 ГГ о„, „= — О хусоятхсояпуйхйу = '"" „гД 1 — г усояпугГу хсоятхЫх = О, г ( т,п)0; 1 Г б,„,„= — 1 усояпугГу хягптхг1х=О, гп, п) 0; .l а л 1 Г с „= — / уягппуггу хсоятхггх = О, т, п ~ >0; 1 Н „= —, / уягппуйу хат тхг(х = „г / 4 Г = — Г уягппуггу хягптхдх = ,г / о о а.г г! т Следовательно, при х 6 (-х,х), у Е (-х х) +„ягп тх ягц пу ху=4 ( — 1) ( 1)-" Ь тп ~и,п=! Разложить в двойной ряд Фурье следующие функции: 12509.
Г(х,у) =хуцриО<х<2гг, 0<у<2х,(=гг=2гг. Пример 2. Разложить в двойной рнц Фурье функцию Г(х, у) = ху в квадрате -гг < х < х, -х < у < х. < Принимая во внимание четность или нечетность подынтегральных функций, находим Гл. 12. Ряды и их применение 118 и — х и — у 12.510. у(х, у) = при — и < х < я, — и < у < я, 1=я=2и. 12.511. 7(гг, у) = х~у при — 1 < х < 1, — 2 < у < 2, ( = 2, 6 = 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
