341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. и = Агссояг = — з?п(л+ ~(Р— 1). Отсюда получаем Агссоя 2 = — з ?,и (2 ~ ъ'3) = — з )п (2 ~ ч'3) + 2йзг, с 13.52. Используя данное выше определение функции е', доказать, что е' имеет чисто мнимый период 2хз, т. е. е'+зт' = е'. Выделить действительную и мнимую части следующих функций: 13.53. и = ег '. 13.54. и = езз+') .
13.55. и = я?п(х — з). 13.56. и = яЬ(г+ 2з). 13.57. и = С8(х+ 1). 13.58. и = Ззз'. Доказать тождества: 13.59. я?п зг = з' яЬ и 13.60. соя зд = с?з ж 13.61. зйзг = ззЬг. Вычислить значения функции в указанных точках: 13.62. соя(1+ з). 13.63. сЬз. 13.64. яЬ(-2+ з). 1+з 13.65.?,п ( — 1). 13.66. ?п з'. 13.67.?,и —. Л 13.68. сС8лз.
13.69. зЬяз. Получить аналитические выражения для указанных ниже функций и для каждой из них найти значение в соответствующей точке го (см. пример 7): 13.70. и = Агсейп г, ло = з. 13.71. и = Агсс8х, го = з/3. 13.72. и = АгяЬ з, го = з. 13.73. и = АгсЬ з хо = — 1. 13.74. и = АгзЬ х, го = 1 — з. Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках: 13.75. и = язп л, ер = 7Г + з ?п 3. 13.76.
и = з~е', хо = — аз. 13.77. и = 1 + сЬ~ г, го = з' !п 2. 13.78. и = гЬ г, ло = 1 + ?л з 1. Элементарные функции 133 Найти все значения ступеней: 13.79. 2'. 13.80. ( — 1)'. 13.81. (1+ г)'. 13.82. ( — 1)" ~. 13.83. (3 — 4э)!+'. 13.84. ( — 3+ 4г)'+' 13.85. 1 — ) . 13.86. — +— ~/2 ) ~ 2 2/ Решить уравнения: 13.87. е' — 1 = О. 13.88. етл = соа пт (т Е К). 13.89. !п(г — 1) = О.
13.90. эпэз = — 1. 3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Число А ф оо называется пределом функции у'(г) при г -+ го и обозначается А = !пп у(г), если для любого е > 0 найдется б = д(е) > О такое, что ->м для всех г ф зо, удовлетворяющих неравенству [г — го[ < О, выполняется неравенство [У'(т) — А[ < е.
Говорим, что )пп у(г) = со, если для любого Л > О найдется Б = ~ — ~м = Б(В) > О такое, что для всех л ф зо таких, что [т — зо[ < 4, выполняется неравенство [У(з)[ > П , Следует иметь в виду, что для данной функции у(т) существование пре, дела по любому фиксированному пути (г -~ ло) еще не гарантирует существование предела ! (з) при г -~ зо.
! тз йт Пример 8. Пусть у'(с) = — (т — -т!. Показать, что [пп у(т) не 21 (й т)' г-~о Существует. о Для предела при т -+ 0 по любому лучу тесе имеем 1 /те'т те ™ !пп —, 1 —. — ) = э!и 2у, т-~о 21 ! те те те'т т.е. эти пределы различны для различных направлений - — они запол- няют сплошь отрезок [ — 1, 1], и, следовательно, Не существует. > Функция у(г) называется непрерывной в точке го, если она определена в этой точке и !пп у(э) = у(зо). г — ~за 134 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной 13.91.
Используя логическую символику, записать данное выше определение непрерывности функции в области. Вычислить следующие пределы: 22 41г — 3 х — ~1 л — 1 сов л )пав о сЬ(г ,2м !пп — — егв + 4 т апл1л 13.94. !пп . 13.95. сЬз+1вЬз Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций: 13.96. и = й. 13.97.
и =1г(В.сг. 13.98. и = е'. 13.99. и = сов ф. Как доопределить данные функции в точке я = О, чтобы они стали непрерывными в этой точке: зВез г1гп(22) 13.100. /(г) = . 13.101. /(2) = !4 ' ' 1зР 13.102. /(я) = е ~у!'~. 13.103. /(2) = г/!г~. 13.104. Доказать, что функция /(з) = е 11' непрерывна в полукруге О < !з/ < 1, /агяя/ < л/2, но не является равномерно непрерывной в этом полукруге, а в любом секторе 0 < ф < 1, ! агб г/ < сг < и/2 она равномерно непрерывна. 3 2. Аналитические функции. Условия Коши — Римана 1.
Производная. Аиалитичиость фуикцви. Если в точке г й Р существует предел !пп г+ ьъз е Р и. о то ои называется производной функции /(г) в точке г и обозначается д/(з) через /'(з) или — . дя Если в точке з е Р функция /(г) имеет производную / (г), та говорим, что функция /(г) дийУфсренпирусиа в точке и Функция /(я), непрерывная в каждой точке области Р, называется непрерывной в этой области. Функция /(г) называется равномерно пспуюрывкой в области Р, если для любого е > О найдется б = б(е) > О такое, что для любых точек г1 и г2 из области Р таких, что )я~ — г2! < б, выполняется неравенство !/(з~) — /(г2)! < с.
3 2. Аналитические ункцин. Условия Коши-Римана 135 ди(х, у) ди(х, у) дх ду ди(х, у) ди(х,у) ду дх или, в полярных координатах, ди(тсоьдг, тьшвг) 1ди(тсоььг, тьшдг) дт т др до(т сов р, тяп~р) 1 ди(тсоьсг, тыл ~р) (2) При выполнении условий (1) или (2) производная у'(г) может быть записана соответственно: ди ,ди ди ди ди ,ди ди .ди У'(г) = — +1 — = — — г — = — — г — = — + г — (3) дх дх ду ду дх ду ду дх или (4) Формулы дифференцирования функций комплексной переменной аналогичны соответствуюшим формулам дифференцирования функций действительной переменной. П р им е р 1.
Доказать, что функция у(х) = ег' аналитична и найти У'(х). я Имеем ег' = сг*(соь 2у + г яп 2у), т.е. и(х, у) = ег*ь!п2у. и(х, у) = ег'соь2у, Поэтому ди — = 2е *соь2у, дх ди — = — 2е *яп2у, ду гт — = 2е *соь2у. ду ди г* . — = 2е~* яп 2у, дх Функция у(г), дифференцируемая в каждой точке области Р и имеюшая в этой области непрерывную производную ('(г), называется аналитической а области Р.
Будем также говорить, что у(г) аналитическая ь точке го е Р, если у(г) является аналитической в некоторой окрестности точки го. Для того чтобы функция у(г) = и(х, у) + ги(х, у) была аналитической в области Р, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и(х, у) и и(х, у), удовлетворяюших условиям Коши — Римана 136 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной Следовательно, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по первой из формул (3) (ез')' = 2е'*сов2у+12ез*вш2у = 2ез*(соь2у+1гйп2у) = 2ез'.
С Пример 2. Показать, что функция ш = гз аналитична во всей комплексной плоскости (кроме з = оо). ° З действительно, имеем з = геке и ш з гз1~зд гз сов Зр + 1тз в1ц Зу причем т.е. при любом конечном з = тс'" выполнены условия (2). Применяя первую из формул (4), имеем у'(з) = (зз)' = -(ЗтзсовЗш+13тзв!пЗр) = Зз~.
1> При мор 3. Показать, что логарифмическая функции ш = Ьп з аналитична во всех конечных точках, кроме з = О, причем 1 (Ьп г)' = —. а Так как Ьпг = 1пт+1(р+ 2йн), то имеем ди 1 до дц дс — — =1 — = — =О, дг т' д~р др дг т.е. выполнены условия (2), и по первой из формул (4) находим т 1 1 (Ьпз)' = — — = —.
1> з т г Аналитические функции находят применение при описании различных процессов. П р и м е р 4. 1'ассмотрим плоское бсзвихревое течение идеальной несжимаемой азидкости. Пусть ст(х, у) и о, (х, у) — компоненты вектора скорости ч течения вдоль осей х и у, и пусть 1'(х) = и (х, у) — 1и„(х, у) (5) ди — = Зт совЗ~р, дг з . — = -Зт вшЗ~р, др дс — = Зт сйпЗвз, д.
= дс з — = Зг совЗр, др 3 2. 4штлитичегние функции. Условия Коши -Римана 137 — комплексная скорость течения. Показать, что Г(г) — аналитическая функпил. 0 Из несжнмасмости жидкости следует, что дивергенция вектора скоро- сти тождественно равна нулю, т.е.
дюс дес — + — "=О. дх ду (б) Далее, течение являетсн безвихревым тогда и только тогда, когда ротор его вектора скорости равен нулю, т.е. дну дни = О. ду дх (7) Но равенства (б) и (7) являютсл условиями Коши — Римана для функции (5), т. е. комплексная скорость Г(з) является аналитической функцией комплексной переменной з = х + 1у. ~> Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции: 13.105*. и = 3.
13.106*. ш = Ве з. 13.107. и = х 1ш ж 13.108. и = х Пс ж 13.109**. и = ф. 13.110. и = )з — Цз. 13.111*. Предполагал выполненными условия Коши — Римана (1) в декартовых прямоугольных координатах, доказать справедливость условий Коши-Римана (2) в полярных координатах и справедливость формул (4) вычисления производной в полярных координатах. Проверить выполнение условий Коши — Римана (1) или (2) и в случае их выполнении найти у'(з): 13.112. 7(з) = ез'. 13.113. у'(г) = яЬж 13.114. 7(г) = х", п Е У.. 13.115. у" (з) = соз г. 13.116. ~(з) =1п(хз). 13.117.
~(х) = яп —. 3 13.118*. Пусть у(х) — аналитическая функция в области 17. Доказать, что если одна из функций и(х, у) = Ве7" (х), о(х, у) = 1ш7'(з), г(х, у) = (Дз)(, д(х, у) = агбу(х) сохранлет в области постоннное значение, то и у (х) = сопзс в Р. 2. Свойства аналитических фуницнй. Ряд свойств, характерных для дифференцируемых функций действительной переменной, сохраняется и для аналитических функций. 13.119. Доказать, что если у(з) и д(х) — аналитические в области О функции, то функции у(з) х д(х), у'(х) д(х) также аналитичны в области Р, а частное у(з)/д(х) — аналитическая функция 138 Гл.
13. Теория функций комплексной переменной во всех точках области Р, в которых д(г) ф О. При этом имеют место формулы (У (х) л 9(х)) = У (х) х 9 (х), (П )9( )) = У'(х)9(х) + 1(х)9'(х) П~) 1 У'(Я)9(х) У(х)9 (х) 9(х) г( г(х) 13.120. Пусть у(х) — аналитическая в области Р функция с областью значений С = (у (х)(г Е В), и пусть функция ~р(ю) аналитична в области С. Доказать, что г (х) = ~р(у (г)) — аналитическая в области Р функция.
Используя утверждение задачи 13.119, найти области аналитичности функций и их производные: 13.121. у'(х) = Фбх. 13.122. у'(х) = я е '. 13.123. у(х) = . 13.124. у(г) = е' 13.125. )'(х) = 13.126. у(х) = —. Сбх+ сцх 13.127. у(х) = сгЬх.
13.128. ('(х) = соэ г — а1п х 13.129. Доказать, что действительная и мнимая части аналитической в области Р функции у(х) = и(х, у) + (о(х, у) являются гармоническими в этой области функциями, т.е. их лапласианы равны нулю: дн дн дтн дэ о Ьи= — + — =О, Ьо= — + — =О. дх2 д92 дх2 д92 13.130. Получить выражение лапласиана Ьи в полярных координатах (и = и(г, ~р)). Заметим, что заданием действительной нли мнимой части аналитическая в области Р функции определяется с точностью до произвольной (комплексной) постоянной. Например, если и(х, у) — действительная часть аналитической в области Р функции у(г), то (,я) п(х, у) = 1гп ('(г) = / — и'„г(х + и', Иу, (яо, ао1 где (хо, ре) — фиксированная тачка в области Р и путь интегрирования также лежит в области Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
