341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Конформные отображения 151 <з Искомое решение получим, например, с помощью композиции отобра- жения: о в юз цгз юз цгз я юг = — огг, цг1 = ейбз, Ири последовательном выполнении этих отображений заданная полоса преобразуется в области, показанные на рис. 6. с ог, огг Рис.
б Найти образы следующих областей при отображении гл = 1пя, я1 цг(з) = —: 2 13.217. (з[1щл > 0). 13.218. Ц )з[ < 1, 1пгх > О). 13.219. [я[ [я[ < 1, з ф [О, 1]). 13.220. Ц [з ф [ — со, — 1] Ц[0, +со]). 6. Тригонометрические и гиперболические функции. Функция и = ек -Ре " = созз = 2 однолистна в полуполосе — х < х < х у > 0 и Найти образ Е области Р при отображении цг = е'. 13.211. Р = [х[ — х < 1гцх < 0).
13.212. Р = 1з[[1т з) < и/2). 13.213. Р = [х[0 < 1тп х < 2х, Вел > 0). 13.214. Р = 1х[0 < 1т з < и/2, Ве з > 0). 13.215. Р = 1з]0 < 1щ х < х, 0 < Не з < Ц. 13.216. Найти образы прямых х = С и у = С при отображении цг = е'. 152 Гл.13. Теория функций коътлексной переменной отображает зту полуполосу на плоскость (ю) с разрезом ( †, Ц. 1'пманова поверхность атой функции более сложная, чем у предыдущих, так как склеивание листов происходит отдельно по лучу (-со, -1) и по отрезку [ — 1, 1]. Функция и = ебп г сводится к предыдушей с помошью соотношения гбп г = соз — — г). 1! в!па и соля сводятся и гиперболические срункцин: ~2 зЛ г = — ! зшма сЛ л = сов!к 13.221**.
Найти образ Е полуполосы .0 = (а~О < Вез < я. 1т г > О) при отображении и! = соз г. 13.222. Найти образы прямых х = С, у = С при отображении ю=сЛж 13.223. Найти образ Е прямоугольника П = (з! — и < )1ег с < и, — 6 с 1гп г с 6, Л > О) при отображении ю = соз г. 34. Интеграл от функции комплексной переменной 1. Интеграл по кривой и егв вычисление. Пусть 1 — дуга направленной кусочно гладкой кривой в плоскости (г), точки яь б 1, 1с = О, 1, ..., и, разбивают дугу 1 на частичные дуги, на каждой из которых выбрано по одной точке уы к = 1, ..., и.
По определению полагаем у(я) сЬ = Псп ~~с у(ьа) сзаь та» )Лаа ) — ао /с=! при условии, что предел в правой части (1) существует и нс зависит нп от способа разбиения луги 1 на частичные дуги, ни от выбора точек б! Если функция у'(я) непрерывна на 1, то интеграл (1) сушествует. Если у'(а) = сс(т, у) +го(т, у), то вычисление интеграла (1) сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода г"( )сЬ = / н(ж, у)с1х — о(х, у)с1у+! ~о(т, у)с1х+сс(х, у)с1у. (2) Пример 1. Пользуясь определением (1), вычислить / Ветс(г, где ! 1 — радиус-вектор точки 1+ !.
а Разбиваем радиус-вектор точки 1+! на п равных частей, т. с, полагаем й я 1 вь = — + ! —, Ьяь = — (1+ !), й = О, 1,..., п, и п' п и пусть 5ь = яы Тогда интегральная сумма запишется в виде 1+! 1+! к 1+! п(я+1) Пег! Ьяь — — ~ ха. — = — ~~ п п п пт 2 сс=! ь=! ь=! 3 4, Интеграл от функции комплексной переменной 153 бледовательно, (г+ 1)(и+ 1) 1+! Й,сзггз = 1пп ~> Н вЂ” ~ ОО 2и ! П р имер 2. Используя представление интеграла в форме (2) и правила вычисления криволинейных интегралов 2-го рода, вычислить интеграл !з!!йг(з, где 1 — всрхнпя полуокружность (з( = 1 с обходом против ! часовой стрелки.
< Имеем Переходи к параметрическому уравнению кривой х = сов!, у = з1п1, О < С < зг, и учитывая, что „ГР+ рз = ф = 1 в точках кривой, получаем л х ЬКЬ =/(--г ~!' ~+..~ .е!! у..; /(го 1+тех ~)~~ =.й о а Если дуга 1 задана параметричсскиь! уравнением з = г(!), причем начальная и конечнап точки луги соответствуют значениям параметра 1 = !о и ! = г! соответственно, то /(з) Пг = /(з(!))з~(!) Ж. СО (3) П р и м е р 3.
Используя формулу (3), вычислить интеграл (з + й) о!з, (з + й) !!г = (е' + е ' )1е' Ш = ! ~ — сто + 11 в/2 где 1-- дуга окру!кности ф = 1, к/2 < згд» < Зл/2. "З Положим г(!) = е", л/2 < ! < Зх/2. Тогда «'(!) = ген и, используя формулу (3), находим; 154 Гл. 13. Теория функций комплексной переменной Непосредственным суммированием вычислить следующие интегралы: 13.224. 1тгах, где 1 — радиус-вектор точки 2 — 1. 13.225. )г) аг, где 1 — радиус-вектор точки — 2 — 31.
! 13.226. Доказать, что при изменении направления пути интегрирования интеграл иаменит знак, т.е. ,) (г) аг = — у (г) аг. 13.227. Доказать, что если а~ и аг — постоянные, то (аД~(г) + аз~я(г)) Нг = а~,(~(г) Ыг+ аг Яг) <Ь. 13.228. Доказать, что если кривая интегрирования 1 является объединением кривых 1~ и 1г, то 13.229*.
Доказать, что имеет место оценка Пг) 1г < И )~йя, 1 где ая — дифференциал дуги. Вычислить интегралы по заданным контурам 13.230. (2г + 1)г аг, 1 = (г( (г) = 1, О < аг8 г < и). 13.231. 1пггсЬ, 1= ((х, у)(у = 2хг, О < х < 1).
( 13.232. (4гг — 22) аг, 1 = (г! !г) = 2, 0 < аг8 г < и/2). / 3 4. Интеграл от функции комплексной переменной 155 13.233. Ве (г + г~) дг, 1 = ((х, у) (у = 2х~, 0 < х < Ц. 13.234. (г~ — г) сЬ, 1 = (г! )г! = 1, и < ат8 г < 2п). 13.235. ге' с1г, 1 — отрезок прямой от точки го = 1 до точки г~ — — 1. 13.236. е' сЬ, 1 — отрезок прямой от точки го = н до точки г1 = — Ы, 13.237. г1т (г~) сЬ, 1 = (г! сье г = 1, (1птг( < 10). ! 13.238. Ве(созг)а)пгниг, 1= (г(Вег = т/3, (1тпг! < 1/2). 13.239. соа 8 с(г, 1 — отрезок прямой от точки го —— и до точки г~ +а ° 2 13.240.
аЬгдг, 1 — отрезок прямой от точки го = 1п2 до точки г~ = 1п10+ п1 1п 5, 13.241. 1тпг~ Вега сЬ, 1 = ((х, у)(у = Зхз, 0 < х < Ц. 13.242. — сЬ, 1 = (г! ф = 1, 0 < аг8 г < а /2). Пусть в области Р задана многозначная функция ю = Дг). Однозначная функция ш = р(г), аналитическая в области Р, называется однозначной ветвью функции /(г), если для любой точки го Е Р значение ~р(го) принадлежит множеству значений функции /(г) в точке г = го, т.е. д(ге) Е (/(го)), Многозначная в области Р функция может иметь как конечное число однозначных ветвей (например, в = фг), так и бесконечное (например, и = 1,па). Точка г комплексной плоскости, обладаюшая тем свойством, что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за собой пере- 156 Гл. 13.
Теория функций комплексной переменной Вычислить интегралы по заданным контурам: / О)2 13.243. / —,, 1 = 12()2! = 1, — и/2 < агпг < и/2), Я 3 = — — + 2 —. 2 2 2 ФУНКЦИЯ з/2 НВЛНЕтеа МНОГОЗНаЧНОй: з/2 з/~ ~еэ(з)тгьк) ь 0 ,/3 где д = агп2. Условию )/1 = -- + з — удовлетворяет та однозначная 2 2 ветвь этой функции, для которой к = 1. Лействительно, при к = 1 (и так как агц 1 = 0) зг з(э+эл] 2' 2п, .
2н 1 , з!3 ч1=е =е з =сов — +ласо — = — -+з —. 3 3 2 2 Полагая теперь 2((2) = еье ( — и/2 < )/) < л/2) на кривой 1, находим з/2 — зз (к+ 2") ) 2 (р) = зе'~, и, следовательно, к/2 л/2 ,з/2 / Ез(Л+2л) / -л/2 -л/2 3 з(2Р-21') / 3 2 — к/2 2 9 Зт/33 — с 4 4 у ~ь 13.244. / —,, 1 = 12!(з~ = 1, О < аги2 < э.), Я = 1. з/'' ход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой ветвления (роэеетелекил) рассматриваемой многозначной функции.
Так, точками ветвления многозначной функции ю = фз нвляютсн точки 2 = 0 и 2 = со. В каждой из своих точек ветвления многозначнал функция принимает только одно значение, т, е. различные однозначные ветви функции в этих точках совпадают. При интегрировании многозначной функции необходимо выделить ее однозначную ветвь. Во всех задачах нйже это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. 3 4.
Интеграл от функции комплексной переменной 157 13.245. Яг(з, ( = (з!)з! = 1, х/2 < агКг < и), ~/1 = — 1. ! Г1п~з 13.246. / — г(з, ( = (г~ ф = 1, О < агК г < х/2), Ьп1 = 2а(. 13.247. Ьпзс(з, ( = (зЙг( = 1)! Ьп( = — Ь 2 13.248. вк Ьпз с(г, и Е М! ( = (г! ~з! = Ц! Ьп ( — 1) = тЬ 2. Теорема Хаши. Интегральнан формула Коши.
Если функцил /(з) аналитична в односвязной области 1У, ограниченной контуром Г, н 7— замкнутый контур в В, то /(ч) Фц = О. (4) Если, дополнительно, функцин Дг) непрерывна в замкнутой области В = В()Г, то У(ц) йц = О г (теорема Коши). Если функция /(г) аналитична в многосвлзной области В, ограниченной контуром Г и внутренними по отношению к нему контурами 'ум..., уа, и непрерывна в замкнутой областий = ВДГ+() Г! () О у„,гдезнаки Г в верхних индексах означают йаправления обходов (рис. 7), то /(!г) г(гг = О (5) г.!и ц г, (теорема Коши для многосвязной области). Если функцил /(г) определена и непрерывна в односвязной области Й и такова, что длп любого замкнутого контура 7 С О 158 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
