341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Точки М н Ж, симметричные относительно прямой или окружности в плоскости (е), отображаются дробно-линейной функцией в тачки ЛХ' и У', симметричные относительно образа этой прямой или окружности в плоскости (ю). 13.175. Найти точки, симметричные с точкой 1+1 относительно окружностей: а) )е! = 1; б)* (з — г! = 2. х — 1 13.176. Для отображения ю = найти образ точки, симмег+1 тричной точке 1 — 1 относительно: а) прямой у = х; б) окружности ~х — Ц = 3.
П р и м е р б. Найти отображение круга )с! < 1 на круг )в~ < 1 такое, чтобы тачка с = сг((сг! < 1) отображалась в центр крута иа = О. э Запишем дробно-линейное отображение в виде 3. Коиформиые отображения 145 так как точка г = а переходит в точку ю = О, то го = а, а так квк симметричной с точкой ю = 0 является точка ю = ао, то гг является симметричной с точкой т = а относительно окружности ~г~ = 1, т.е. 1 ж — —. Поэтому й 1 = (дй! ае'Ф вЂ” 1 Но е" — а г г 1 + ~а( — е'ей — е '~а 1 (е'" — а)(е пя — й) (еий — 1)(е ьва — 1) ~а~э + 1 — еюй — е-юа епе6 — 1 Следовательно, )дй! = 1, т.е. дй = е'э, и искомое отображение имеет вид (2) ей — 1 Для отображения (2) единичного круга на себя найти параметры а и О по заданным условиям: 13.177.
ю(1/2) = О, агб ю'(1/2) = О. 13.178. ю(0) = О, агбю'(0) = и/2. 13.179. ю(то) = О, агбю'(па) = и/2. 13.180. Доказать, что функция юг — а ю = е'~, 1гп а > О, д — й (3) осуществляет отображение верхней полуплоскости на единичный Врут. Определить параметры а и О в формуле (3) по заданным условиям: 13.181. ю(г) = О, агбю'(г) = — и/2. 13.182. ю(2г) = О, агбю'(2г) = и. 13.183. ю(до) = О, агбю'(то) = и/2. Найти образ Е области Р при заданном дробно-линейном отображении: 13.184.
Р = (г! Не т > О, 1т г > 0); ю = в+1 Далее, точки окружности ~г~ = 1 переходят в тачки окружности (ю! = 1, а поэтому при г = еье имеем 146 Гл. 13. Теория ф нкций комплексной переменной гг 2 2 13.185*. Р = (2~0 < аг8г < — ); ю = 4) гг1 1 13.186*. Р = ) 2(1 < ф < 2, 0 < агпа < —,); нг = 1+ —. 4'1 ' ,1 — а 13.187. Р = (2! ф < 1, 1ш г ) О); го = г' —. 1+2 2 — 1 13.188. Р = ЦО < Ке 2 < 1); и = з — 2 13.189. Р— двуугольник (круговая луночка), заключенный 3 между окружностями ~г — Ц = 1, )з — 2! = 1; гп =— 2 — 1 — 1 13.190*'. Найти область Р в плоскости (г), которая при отображении цг = преобразуется во внутренность круга (иг~ < т 1 — 3 плоскости (пг).
3. Степенная функция. Отображение, осуществляемое степенной функцией ю = г" (и Е М, и > 2), является конформным в любом 2Ьг 2(й + 1).г ) угле Р = а — < агба < 2, к = О, 1, ..., и — 1 (кроме и и точки 2 = 0), причем образам этого угла является вся плоскость (в) с 2йл разрезом по положительной части действительной оси (лучу агб 2 =— 2(й+ 1)гг соответствует верхний, а лучу агба = — нижний край рази 11 хтг». 1 реза). Обратная функция а» = ~/а = бггег( " ', где й = О, 1, ..., и — 1, г = (г), у = агбг, является, как известно, многозначной.
Ес однозначная 'ветвь (выделяемая заданием образа одной из точек) отображает плоскость (г) с разрезом по неотрицательной части действительной оси на соответствующий угол 2йт 2(й + 1)гг 1 Е = ю — < агбю < ), и и где к = О, 1,..., и — 1 — фиксирована. Пример 7. Найти отображение внутренности двуугольника с вершинами гг и 22, образованного окружностями Сг и С2, на единичный круг. 21 + 22 Э Преобразование юг = — — отображает точку 2 = в точку аэ 2 юг = 1, точку г = аг — в нуль, а точку 2 = аэ — в бесконечность. Таким образом, отрезок, соединяющий тачки г1 и 22, отображается на положительную действительную полуось.
Дуги окружностей, образующие двуугольник, отображаются в лучи агй юг — — ол и аг8 а11 — — — ГУя. Следовательно, область Р отображается на сектор Е1 — — (юг ~ — Дл < агб юг < ггл) 3 3. Конформяые отображения 147 (ср. с задачей 13.189). Повернем зтот сектор на угол бя, т.е.
произведем преобразование зиз = еьз'юы и возведем полученную функцию в степень 1 р+а 1 юз (юз) "'" ° Сектор отобразится в верхнюю полуплоскость. Функция и юз — юз о юз — — е' -о юз — юз осугцествляет отображение полуплоскасти на единичный круг. Величины юзо и 0 определяются дополнительным заданием отображения Рис.
4 точки го в точку ю = О и условием агбюо го) = 7. Окончательно, зи = = зя4 0 зез 0 юз О зиг (рис. 4). ~> Найти функцию, отображающую заданную область Р плоскости (я) на верхнюю полуплоскость (в ответах указана одна из зрункций, осуществляющих указанное отображение, причем если функция многозначна, то имеется в виду одна из ее однозначных Ветвей): 13.191.
Р = Ц (я) < 1, )я — 1! < 1). 13.192. Р = 1г) — я/4 < агц я < гг/21. 13.193. Р = (я( )г! < 1, 1гп г > О). 13.194. Р = 1г! )з! > 1, 1пз я > О). 13.195. Р = 1я! )г! < 2, О < агц я < зг/4). 148 Гл. 13. Теория ф лкций комплексной пе емениой 13.196. Р = (и[ [г[ > 2, О < аг8 г < Зя/2). 13.197. Р = (я] [л[ < 2, 1ш л > Ц. 13.198. Р = (я[ [и[ < 1, [г+ г[ < Ц.
13.199. Р = (л[ [я[ < 1, [л + г[ > Ц. 13.200. Р = (я[[я[ > 1, ]я+ г[ < Ц. 13.201. Р— плоскость (л), разрезанная по отрезку [ — г, г]. 13.202. Р— плоскость (л), разрезанная по отрезку, соединяющему точки 1+ г и 2+ 2г. 13.203. Р— плоскость с разрезом по лучам ( — оо, -Л] и [В, +со), В > О. 13.204. Р— полуплоскость 1шг > О с разрезом по отрезку, соединяющему точки О и туг (уг > О). 4. Функция Жуковского. Имеем ю = — [ г+ -), и' =— 2 [, л)' 2 лг Функция Жуковского ') осуществляет конформное отображение как внешности, так и внутренности единичного круга плоскости (л) на плоскость (ш) с разрезом по отрезку [ — 1, 1].
Полная плоскость (л) отображается на двулистную риманову поверхность, склеенную крест-накрест по разрезам [ — 1, 1]. Обратная функция гя+ ~Дг двузначна, причем каждая ветвь осуществляет отображение плоскости (ю) с разрезом по отрезку [ — 1, 1] на внутренность или на внешность единичного круга в плоскости (г). П р и м е р 8. Найти образ полярной сетки р = сопле и сг = соггзс при преобразовании плоскости (в) с помощью функции Жуковского. г Полагая л = ре'т, имеем ю = и + го = — [ ре'" + -е си) = — [ р+ -) солсо+ г — [ р — -) аш ог.
1 1/ )Конформное отображение, осушествляемае функпией ю = — ~а+ -), 2~ в)' было использовано впервые Н.Е. Жуковским в качестве метода получения одного класса аэродинамических профилей, названных профилями Жуковского. Профили Жуковского отображаются на врут, для которого можно легко решить задачу обтеканил, а зто дает возможность исследовать обтекание крыла самолета. З 3. Кояформньге отображения 149 Оледовательна, 1/ 1/ и=-~Р+-)соэР, а= Р--~51пр, ) --[ р) и для р ф 1 имеем 2 2 2 2 1 р+- — р —— (4) аэ 2 — — — 1 соз2 р э;пэ „, (5) отображает внешность отрезка [ — 1, 1] на внутренность единичного круга, причем выбирается та ветвь этой функции, которая при ю4 = со обрагцается в нуль.
Итак, ю = ю5 о ю4 о юэ о ю2 о ю4 (рис. 5).~> В задачах 13.205 — 13.207 найти образцы заданных областей при 1/ 11 Отображении ю = — [г + — ) . 2[, 2) Из этих равенств заключаем, что окружности [2[ = р ~ 1 отображаются в эллипсы плоскости (ю) с полуосями а = — [ р+ -) и Ь = — ~р — -) 2[4 р) 2[4 р) 1/1 при р ) 1 или Ь = — ~- — р при р < 1. Лучи р = сопэ1 в плоскости 2 1,р (л) преобразуются в плоскости (ю) в гиперболы с полуосями а = ~ сов 52~ и 5= [э)п р1 Заметим, что фокусные расстояния с = з/а2 — Ь2 эллипсов (4) и с4 —— — з/а2 + Ь2 гипербол (5) равны 1, т.
е. (4) и (5) — семейства софокусных эллипсов и гипербол. о. Пример 9. Найти отображение плоскости (2) с разрезами по от- евку, соединяющему точки 0 и 44, и по отрезку, соединяющему точки 5 и 2+ 2г, на внутренность единичного круга [ю[ С 1. 0 Искомое отображение ю находим в виде композиции пяти отабраже- Ний.
Функция ю4 = 2 — 24 переводит точку 2 = 24 в начало координат, а ункция ю2 = е45ю4 осуществляет поворот плоскости (ю4) на угол я/2. очка 2 = 42 переходит в результате этих отображений в тачку ю2 = — 2, тачка 2 = 24 — в точку юэ — — О, точка 2 = 2+ 24 — в точку ю2 — — 22, а гочка 2 = 0 — в точку ю2 = 2. Далее, в результате отображений юэ = ю22 и ю4 — — юэ/4 разрез отображается в отрезок [ — 1, 1) плоскости (ю4), и, наконец, Ю5 — Ю4 + ~Д~ 150 Гл.
13. Теория функций комплексной переменной 13.205. Внутренности круга ]с] < Я при Н < 1 и внешности круга ]х] > Л при Н > 1. 13.206. Внутренности круга ]г] < 1 с разрезом по отрезку ]1/2, 1]. (ю) Рис. 5 13.207. Внутренности круга ]х] < 1 с разрезом по отрезку [ — 1/2, 1]. 13.208*. Найти отображение круга ]г] < 1 с разрезом по отрезку (1/3, 1] на круг ]ш] < 1. 13.209*.
Найти отображение области .0 = 1г]1шг > О, ]х] > 1с) (верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) на верхнюю полуплоскость. 2 2 13.210'. Отобразить внешность зллипса — + — = 1 (а > 5) и2 52 на внешность единичного круга. 5. Показательная функция. Функция ю = с' однолистна в любой полосе шириной менее 2х, параллельной действительной оси. Она отображает полосу †< т < +ос, — х < у < н в полную плоскость (и) с разрезом по действительной отрицательной полуоси.
Вся плоскость !с) отображается на бесконечнолистную риманову поверхность. Обратная функция х = Вп и = 1и и + 2хп1, п = О, ж1,..., однозначна на втой римановой поверхности, а ее главное значение !и и~ = !и Ц + 1 агб ю определяет конформное отображение всей плоскости (ю) с разрезом ( — оо, О] на полосу — х < 1шс < х шириной 2х, параллельную действительной оси. Пример 10. Найти отображение полосы шириной Н, О < Ие с < Н, параллельной мнимой осн, на единичный круг плоскости (ю). 3 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
